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2022年高考數(shù)學 中等生百日捷進提升系列 專題11 計數(shù)原理(理)(含解析)

上傳人:xt****7 文檔編號:105300760 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?12.52KB
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1、2022年高考數(shù)學 中等生百日捷進提升系列 專題11 計數(shù)原理(理)(含解析) 排列與組合的綜合問題 【背一背重點知識】 1. 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成,則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加;如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成,則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘. 2. 排列與組合的定義 (1)排列:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)公式是A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)或?qū)懗葾=. (2)組合:

2、從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素組成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)公式是C=或?qū)懗蒀=. 3. 組合數(shù)的性質(zhì) ①C=C; ②C=C+C. 【講一講提高技能】 1.必備技能: (1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時,一般先分類再分步,每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理. (2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題,可恰當列出示意圖或表格,使問題形象化、直觀化. (3)求解排列、組合問題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘. 具體地說,解排列、組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑: ①

3、以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素. ②以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置. ③先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù). 2.典型例題: 例1將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1,2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號,則不同的放球方法有( ) A.52種 B.36種 C.20種 D.10種 【答案】D 【解析】 試題分析:1號盒放1個,2號盒放3個,方法種數(shù)是, 1號盒放2個,2號盒放2個,方法種數(shù)是, 所以不同的放球方法有. 例2把5件

4、不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰, 且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰,則不同的擺法有 種. 分析:這是一道排列問題,先考慮產(chǎn)品A與B相鄰,再考慮當A、B相鄰又滿足A、C相鄰,利用“間接法”. 【解析】先考慮產(chǎn)品A與B相鄰,把A、B作為一個元素有種方法,而A、B可交換位置,所以有種擺法,又當A、B相鄰又滿足A、C相鄰,有種擺法,故滿足條件的擺法有種. 【練一練提升能力】 1.從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動,要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有( ) A.70種 B.112種 C.140種 D.168種 【答案】

5、C 【解析】 2.將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是_________. 【答案】96 【解析】這相當于相鄰問題,連號的兩張票是12,23,34,45中的一種,把這兩張票合起來作為一張票,這樣相當于4張不同的票給4個人,因此不同分法種種數(shù)為. 利用二項式定理求指定項 【背一背重點知識】 1. 二項式定理:(a+b)n=Canb0+Can-1b+Can-2b2+…+Can-rbr+…+Ca0bn(r=0,1,2,…,n). 2.二項展開式的通項:Tr+1=Can-rbr,r=0,

6、1,2,…,n,其中C叫做二項式系數(shù). 【講一講提高技能】 1.必備技能:應(yīng)用二項式定理關(guān)鍵是掌握通項公式,在應(yīng)用通項公式時,要注意: ①它表示二項展開式的任意項,只要與確定,該項就隨之確定; ②是展開式中的第項,而不是第項; ③公式中,的指數(shù)和為且不能隨便顛倒位置; ④對二項式展開式的通項公式要特別注意符號問題. 2.典型例題: 例1若()的展開式中當且僅當?shù)?項系數(shù)最大,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 例2若的展開式中項的系數(shù)為20,則的最小值 . 分析:展開式的通項為,令根據(jù)得,再應(yīng)用基

7、本不等式即得. 解析:展開式的通項為,令得,所以,由得,從而,當且僅當時,的最小值為. 【練一練提升能力】 1.若的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為,則展開式中常數(shù)項是( ) A.-10 B.10 C.-45 D.45 【答案】D 【解析】 2.在的展開式中,的冪指數(shù)是整數(shù)的共有( ) A.項 B.項 C.項 D.項 【答案】C 【解析】 試題分析:,,若要是冪指數(shù)是整數(shù),所以0,6,12,18,24,30,所以共6項,故選C. 二項式系數(shù)與項的系數(shù) 【背一背

8、重點知識】 1. 二項式系數(shù)的性質(zhì) ①對稱性:與首末兩端“等距離”兩項的二項式系數(shù)相等, 即C=C,C=C,…,C=C,…. ②最大值:當n為偶數(shù)時,中間的一項的二項式系數(shù)Cn取得最大值;當n為奇數(shù)時,中間的兩項的二項式系數(shù)Cn,Cn相等,且同時取得最大值. 2.各二項式系數(shù)的和 a.C+C+C+…+C+…+C=2n; b.C+C+…+C+…=C+C+…+C+… =·2n=2n-1. 【講一講提高技能】 1必備技能:在處理二項式系數(shù)或者各項的系數(shù)時,“賦值思想”是一種重要方法,是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法. 2典型例題: 例1已知的展開式中的系數(shù)為,則 ( ?。?/p>

9、 A. B. C. D. 分析:根據(jù)多項式的乘法法則知,展開式中是由1與中的項相乘旂積再加上與中的項相乘的積,因此我們要求出中項,這可由二項式定理得到. 【解析】中這兩項的系數(shù)分別為,因此有,解得. 例2的二項展開式中含的項的系數(shù)為__________. 【答案】15 【解析】 【練一練提升能力】 1.若的展開式中的系數(shù)為7,則實數(shù)______. 【答案】 【解析】展開式的通項為,令,則,因此的系數(shù)為,解得:. 2. 設(shè),則二項式展開式中的第4項為 . 【答案】 【解析】 (一) 選擇題(12*5=60分) 1. 在的展開式中

10、,含項的系數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,所以含項的系數(shù)為15.選C 2.滿足,且關(guān)于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為 ( ?。? A.14 B.13 C.12 D.10 【答案】B 【解析】 3.從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動,要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有( ) A.70種 B.112種 C.140種 D.168種 【答案】C 【解析】 4. 若的展開式的各項系數(shù)和為243,則的系數(shù)為( ) A.10 B.20

11、 C.30 D.60 【答案】C 【解析】 試題分析:由題意得,令,則可的展開式的各項系數(shù)和,即,得,在展開式中,根據(jù)排列組合的知識可得的系數(shù)為,故選C. 5.方程中的,且互不相同,在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有( ) A、60條 B、62條 C、71條 D、80條 【答案】B 【解析】本題可用排除法,,6選3全排列為120,這些方程所表示的曲線要是拋物線,則且,,要減去,又和時,方程出現(xiàn)重復(fù),用分步計數(shù)原理可計算重復(fù)次數(shù)為,所以不同的拋物線共有120-40-18=6

12、2條.故選B. 6. 的展開式的常數(shù)項是( ) 【答案】D 【解析】第一個因式取,第二個因式取 得:,第一個因式取,第二個因式取得: 展開式的常數(shù)項是. 7.學校在高二年級開設(shè)選修課程,其中數(shù)學開設(shè)了三個不同的班,選課結(jié)束后,有四名選修英語的同學要求改修數(shù)學,但數(shù)學選修班每班至多可接收兩名同學,那么安排好這四名同學的方案有( ) A.72種 B.54種 C.36種 D.18種 【答案】B 【解析】 8. 的展開式中的系數(shù)是( ?。? A. B. C. D.

13、 【答案】D 【解析】展開式中系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為,因此所求的系數(shù)為,選D. 9.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍顏色衣服的有一人,現(xiàn)將五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法共有( ) A.48種 B.72種 C.78種 D.84種 【答案】A 【解析】 試題分析:根據(jù)題意知先使五個人的全排列,共有種結(jié)果.穿紅色相鄰或穿黃色相鄰兩種情況,有種,穿紅色相鄰且穿黃色也相鄰情況,有種,故穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是,故選A. 10. 6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學

14、之間最多交換一次,進行交換的兩位同學互贈一份紀念品,已知6位同學之間共進行了13次交換,則收到份紀念品的同學人數(shù)為( ) 或 或 或 或 【答案】D 【解析】沒有交換的次數(shù)為. ①設(shè)僅有甲與乙,丙沒交換紀念品,則收到份紀念品的同學人數(shù)為人, ②設(shè)僅有甲與乙,丙與丁沒交換紀念品,則收到份紀念品的同學人數(shù)為人. 循環(huán)不滿足條件輸出,選C. 11.設(shè)函數(shù) , 則當x>0時, 表達式的展開式中常數(shù)項為 ( ?。? A.-20 B.20 C.-15 D.15 【答案】A 【解析】 12.設(shè),且,若能被13整除,則 A.0

15、 B.1 C.11 D.12 【答案】D 【解析】由于51=52-1,,又由于13|52,所以只需,,所以,選D. (二) 填空題(4*5=20分) 13.將六個字母排成一排,且均在的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答) 【答案】480 【解析】六個字母排成一排,占6個位置,我們可以從中任選3個排,共有種排法,剩下的三個位置排,由于要求在的同側(cè),則有4種排法(),因此總排法為. 14. 某班級要從名男生、名女生中選派人參加社區(qū)服務(wù),如果要求至少有名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為 .(用數(shù)字作答) 【答案】1

16、4 【解析】 6人中選4人的方案種,沒有女生的方案只有一種,所以滿足要求的方案總數(shù)有14種。 24.將7個市三好學生名額分配給5個不同的學校,其中甲、乙兩校至少各有兩個名額,則不同的分配方案種數(shù)有 _________ . 【答案】35 【解析】 15.二項式的展開式中,僅有第5項的二項式系數(shù)最大,則其常數(shù)項是 . 【答案】70 【解析】因為二項式的展開式中,僅有第5項的二項式系數(shù)最大,所以,由的展開式中,常數(shù)項為,令,,所以,常數(shù)項是,答案為. 16華師一“長飛班”由m位同學組成,學校專門安排n位老師作為指導老師,在該班級的一次活動中,每兩位同學之間相互向?qū)Ψ教嵋粋€問題,每位同學又向每位指導老師各提出一個問題,并且每位指導老師也向全班提出一個問題,以上所有問題互不相同,這樣共提出了51個問題,則 . 【答案】 【解析】

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