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2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件學(xué)案 理 蘇教版

上傳人:xt****7 文檔編號(hào):105307097 上傳時(shí)間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?24.52KB
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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件學(xué)案 理 蘇教版 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.能寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題,會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義. 自主梳理 1.命題 用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的語句叫做命題,其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題. 2.四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題 一般地,用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論,用綈p和綈q分別表示p和q的否定,于是四種命題的形式就是 原命題:若p則q(p?q); 逆命題:若q則p(q?p); 否命題:若綈p則綈q

2、(綈p?綈q); 逆否命題:若綈q則綈p(綈q?綈p). (2)四種命題間的關(guān)系 (3)四種命題的真假性 ①兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性. ②兩個(gè)命題為逆命題或否命題,它們的真假性沒有關(guān)系. 3.充分條件與必要條件 若p?q,則p叫做q的充分條件;若q?p,則p叫做q的必要條件;如果p?q,則p叫做q的充要條件. 自我檢測(cè) 1.(xx·南京模擬)設(shè)集合A=,B={x|0

3、B時(shí),m∈A不一定成立. ∴“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要條件. 2.(xx·安徽改編)下列選項(xiàng)中,p是q的必要不充分條件的是________.(填序號(hào)) ①p:a+c>b+d,q:a>b且c>d; ②p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的圖象不過第二象限; ③p:x=1.q:x2=x; ④p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上為增函數(shù). 答案 ① 解析?、僦校捎赼>b,c>d?a+c>b+d,而a+c>b+d卻不一定推出a>b,c>d,故①中p是q的必要不充分條件;②中,當(dāng)a>1,b>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax

4、-b不過第二象限,當(dāng)f(x)=ax-b不過第二象限時(shí),有a>1,b≥1,故②中p是q的充分不必要條件;③中,因?yàn)閤=1時(shí)有x2=x,但x2=x時(shí)不一定有x=1,故③中p是q的充分不必要條件;④中p是q的充要條件. 3.設(shè)a、b都是非零向量,那么命題“a與b共線”是命題“|a+b|=|a|+|b|”的________條件. 答案 必要不充分 解析 |a+b|=|a|+|b|?a、b同向?a與b共線;反之,當(dāng)a與b共線時(shí),不一定有|a+b|=|a|+|b|,故a與b共線是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分條件. 4.與命題“若a∈M,則b M”等價(jià)的命題是_______________

5、_____. 答案 若b∈M,則a M 解析 因?yàn)樵}只與逆否命題是等價(jià)命題,所以只需寫出原命題的逆否命題即可. 5.給出下列命題: ①原命題為真,它的否命題為假; ②原命題為真,它的逆命題不一定為真; ③一個(gè)命題的逆命題為真,它的否命題一定為真; ④一個(gè)命題的逆否命題為真,它的否命題一定為真; ⑤“若m>1,則mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集為R”的逆命題. 其中真命題是________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填在橫線上) 答案 ②③⑤ 解析 原命題為真,而它的逆命題、否命題不一定為真,互為逆否命題同真同假,故①④錯(cuò)誤,②③正確.又因?yàn)椴坏仁絤x2-2(m

6、+1)x+m+3>0的解集為R, 由 ??m>1. 故⑤正確. 探究點(diǎn)一 四種命題及其相互關(guān)系 例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷其真假. (1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù); (2)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并平分弦所對(duì)的弧. 解題導(dǎo)引 給出一個(gè)命題,判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時(shí),如果直接判斷命題本身的真假比較困難,則可以通過判斷它的等價(jià)命題的真假來確定. 解 (1)逆命題:若一個(gè)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù),則這個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù).真命題. 否命題:若一個(gè)數(shù)不是實(shí)數(shù),則它的平方不是非負(fù)數(shù).真命題. 逆否命題:若一個(gè)

7、數(shù)的平方不是非負(fù)數(shù),則這個(gè)數(shù)不是實(shí)數(shù).真命題. (2)逆命題:若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形等底等高.真命題. 否命題:若兩個(gè)三角形不等底或不等高,則這兩個(gè)三角形不全等.真命題. 逆否命題:若兩個(gè)三角形不全等,則這兩個(gè)三角形不等底或不等高.假命題. (3)逆命題:若一條直線經(jīng)過圓心,且平分弦所對(duì)的弧,則這條直線是弦的垂直平分線.真命題. 否命題:若一條直線不是弦的垂直平分線,則這條直線不過圓心或不平分弦所對(duì)的?。婷}. 逆否命題:若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對(duì)的弧,則這條直線不是弦的垂直平分線.真命題. 變式遷移1 有下列四個(gè)命題: ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)

8、”的逆命題; ②“全等三角形的面積相等”的否命題; ③“若q≤1,則x2+2x+q=0有實(shí)根”的逆否命題; ④“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆命題. 其中真命題的序號(hào)為________. 答案?、佗? 解析?、俚哪婷}是“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,真;②的否命題是“不全等的三角形的面積不相等”,假;③若q≤1,則Δ=4-4q≥0,所以x2+2x+q=0有實(shí)根,其逆否命題與原命題是等價(jià)命題,真; ④的逆命題是“三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”,假. 探究點(diǎn)二 充要條件的判斷 例2 給出下列命題,試分別指出p是q的什么條件. (1)p:x-2=0;q:(x-2)(

9、x-3)=0. (2)p:兩個(gè)三角形相似;q:兩個(gè)三角形全等. (3)p:m<-2;q:方程x2-x-m=0無實(shí)根. (4)p:一個(gè)四邊形是矩形;q:四邊形的對(duì)角線相等. 解 (1)∵x-2=0?(x-2)(x-3)=0; 而(x-2)(x-3)=0x-2=0. ∴p是q的充分不必要條件. (2)∵兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形全等; 但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似. ∴p是q的必要不充分條件. (3)∵m<-2?方程x2-x-m=0無實(shí)根; 方程x2-x-m=0無實(shí)根m<-2. ∴p是q的充分不必要條件. (4)∵矩形的對(duì)角線相等,∴p?q; 而對(duì)角線相等的四邊形不一

10、定是矩形,∴qp. ∴p是q的充分不必要條件. 變式遷移2 下列各小題中,p是q的充要條件的是________.(填序號(hào)) ①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn); ②p:=1;q:y=f(x)是偶函數(shù); ③p:cos α=cos β;q:tan α=tan β; ④p:A∩B=A;q:?UB??UA. 答案?、佗? 解析 ①q:y=x2+mx+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)?q:Δ=m2-4(m+3)>0?q:m<-2或m>6?p;②當(dāng)f(x)=0時(shí),由qp;③若α,β=kπ+(k∈Z)時(shí),顯然cos α=cos β,但tan α≠tan β;④p:A∩B=

11、A?p:A?B?q:?UA??UB.故①④符合題意. 探究點(diǎn)三 充要條件的證明 例3 設(shè)a,b,c為△ABC的三邊,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°. 解題導(dǎo)引 有關(guān)充要條件的證明問題,要分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論,由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性,由“結(jié)論”?“條件”是證明命題的必要性.證明要分兩個(gè)環(huán)節(jié):一是充分性;二是必要性. 證明 (1)必要性:設(shè)方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根x0, 則x+2ax0+b2=0,x+2cx0-b2=0, 兩式相減可得x0=,將此式代入x+2ax0+b2=0

12、, 可得b2+c2=a2,故∠A=90°, (2)充分性:∵∠A=90°, ∴b2+c2=a2,b2=a2-c2.① 將①代入方程x2+2ax+b2=0, 可得x2+2ax+a2-c2=0, 即(x+a-c)(x+a+c)=0. 將①代入方程x2+2cx-b2=0, 可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0. 故兩方程有公共根x=-(a+c). 所以方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°. 變式遷移3 已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 證明 (1)必要性:

13、∵a+b=1,∴a+b-1=0. ∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (2)充分性: ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, 即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又ab≠0,∴a≠0且b≠0. ∵a2-ab+b2=(a-)2+b2>0. ∴a+b-1=0,即a+b=1. 綜上可知,當(dāng)ab≠0時(shí),a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例 (14分)已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4

14、m-5=0,且m∈Z.求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件. 【答題模板】 解 ∵mx2-4x+4=0是一元二次方程, ∴m≠0. [2分] 另一方程為x2-4mx+4m2-4m-5=0,兩方程都要有實(shí)根, ∴ 解得m∈[-,1]. [6分] ∵兩根為整數(shù),故和與積也為整數(shù), ∴,

15、 [10分] ∴m為4的約數(shù),∴m=-1或1,當(dāng)m=-1時(shí), 第一個(gè)方程x2+4x-4=0的根為非整數(shù), 而當(dāng)m=1時(shí),兩方程均為整數(shù)根, ∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m=1. [14分] 【突破思維障礙】 本題涉及到參數(shù)問題,先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單、熟悉的問題解決,兩方程有實(shí)根易想Δ≥0.求出m的范圍,要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數(shù). 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 易忽略一元二次方程這個(gè)條件隱含著m≠0,不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是整數(shù).

16、 1.研究命題及其關(guān)系時(shí),要分清命題的題設(shè)和結(jié)論,把命題寫成“如果……,那么……”的形式,當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí),必須保留大前提,只有互為逆否的命題才有相同的真假性. 2.在解決充分條件、必要條件等問題時(shí),要給出p與q是否可以相互推出的兩次判斷,同時(shí)還要弄清是p對(duì)q而言,還是q對(duì)p而言.還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別. 3.本節(jié)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想。 (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.(xx·天津模擬)給出以下四個(gè)命題: ①若ab≤0,則a≤0或b≤0;②若a>b,則am2>bm2;③在△ABC中,若sin A=sin B,則A=B;④

17、在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,則方程有實(shí)數(shù)根.其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是________.(填序號(hào)) 答案?、? 解析 對(duì)命題①,其原命題和逆否命題為真,但逆命題和否命題為假;對(duì)命題②,其原命題和逆否命題為假,但逆命題和否命題為真;對(duì)命題③,其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為真;對(duì)命題④,其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假. 2.(xx·淮安月考)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題: ①“a=b”是“ac=bc”的充分且必要條件;②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充分且必要條件;③“a>b”是“|a|>|b|”的充分

18、條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.其中真命題的個(gè)數(shù)為________. 答案 2 解析?、冖苷_;對(duì)于①,“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件;對(duì)于③,“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要條件. 3.(xx·北京改編)“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos 2α=”的______________條件. 答案 充分不必要 解析 由α=+2kπ(k∈Z)可得到cos 2α=. 由cos 2α=得2α=2kπ±(k∈Z). ∴α=kπ±(k∈Z). 所以cos 2α=不一定得到α=+2kπ(k∈Z). 4.(xx·徐州模擬)關(guān)于命題“若拋物線y=ax2+bx

19、+c的開口向下,則{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中正確的個(gè)數(shù)為________. 答案 1 解析 對(duì)于原命題:“若拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,則{x|ax2+bx+c<0}≠?”,這是一個(gè)真命題,所以其逆否命題也為真命題,但其逆命題:“若{x|ax2+bx+c<0}≠?,則拋物線y=ax2+bx+c的開口向下”是一個(gè)假命題,因?yàn)楫?dāng)不等式ax2+bx+c<0的解集非空時(shí),可以有a>0,即拋物線的開口可以向上.因此否命題也是假命題. 5.(xx·揚(yáng)州模擬)集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x5”的 ______

20、________條件. 答案 必要不充分 解析 A={x|-4≤x≤4},若A?B,則a>4,a>4a>5,但a>5?a>4. 6.“x1>0且x2>0”是“x1+x2>0且x1x2>0”的________條件. 答案 充要 7.(xx·鎮(zhèn)江模擬)已知p:(x-1)(y-2)=0,q:(x-1)2+(y-2)2=0,則p是q的 ____________條件. 答案 必要不充分 解析 由(x-1)(y-2)=0得x=1或y=2,由(x-1)2+(y-2)2 =0得x=1且y=2,所 以由q能推出p,由p推不出q, 所以填必要不充分條件. 8.已知p(x):x2+2x-m>0,

21、如果p(1)是假命題,p(2)是真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________. 答案 [3,8) 解析 因?yàn)閜(1)是假命題,所以1+2-m≤0, 解得m≥3;又因?yàn)閜(2)是真命題,所以4+4-m>0, 解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是3≤m<8. 二、解答題(共42分) 9.(12分)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假. (1)若q<1,則方程x2+2x+q=0有實(shí)根; (2)若ab=0,則a=0或b=0; (3)若x2+y2=0,則x、y全為零. 解 (1)逆命題:若方程x2+2x+q=0有實(shí)根,則q<1,為假命題. 否命題:若q≥1,則方

22、程x2+2x+q=0無實(shí)根,為假命題. 逆否命題:若方程x2+2x+q=0無實(shí)根,則q≥1,為真命題.(4分) (2)逆命題:若a=0或b=0,則ab=0,為真命題. 否命題:若ab≠0,則a≠0且b≠0,為真命題. 逆否命題:若a≠0且b≠0,則ab≠0,為真命題.(8分) (3)逆命題:若x、y全為零,則x2+y2=0,為真命題. 否命題:若x2+y2≠0,則x、y不全為零,為真命題. 逆否命題:若x、y不全為零,則x2+y2≠0,為真命題.(12分) 10.(14分)(xx·連云港模擬)設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0,

23、或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分條件,求a的取值范圍. 解 設(shè)A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0} ={x|3a0} ={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2} ={x|x<-4或x≥-2}.(8分) ∵綈p是綈q的必要不充分條件, ∴綈q?綈p,且綈p綈q. 則{x|綈q}{x|綈p}, 而{x|綈q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|綈p}=?RA={x|x≤3a或x≥a,a<0

24、}, ∴{x|-4≤x<-2}{x|x≤3a或x≥a,a<0}, 則或(13分) 綜上,可得-≤a<0或a≤-4.(14分) 11.(16分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q(p≠0,且p≠1),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1. 證明 充分性:當(dāng)q=-1時(shí), a1=S1=p+q=p-1.(2分) 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 當(dāng)n=1時(shí)成立.(5分) 于是==p(n∈N+), 即數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(7分) 必要性:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=p+q. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). ∵p≠0,p≠1, ∴==p.(13分) ∵{an}為等比數(shù)列, ∴==p,=p, 即p-1=p+q.∴q=-1.(15分) 綜上所述,q=-1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件.(16分)

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