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1、2022年高考數(shù)學 第三講數(shù)形結(jié)合總復習 人教版
?? 一、專題概述 ---什么是數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)形結(jié)合的思想,就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想.
????恩格斯說:“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系.”“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念,它們既是對立的,又是統(tǒng)一的,每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系;反之,數(shù)量關(guān)系又常??梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述,數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,在解決代數(shù)問題時,想到它的圖形,從而啟發(fā)思維,找到解題之路;或者在研究圖形時
2、,利用代數(shù)的性質(zhì),解決幾何的問題.實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,化難為易,化抽象為直觀.
????數(shù)形結(jié)合包括:函數(shù)與圖象、方程與曲線、復數(shù)與幾何的結(jié)合;幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等.
二、例題分析
1.善于觀察圖形,以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系.
????觀察是人們認識客觀事物的開始,直觀是圖形的基本特征,觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系,并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系,是認識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進程.
????例1.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是:
????(A) (B) (C) (D)
????分析:通過畫出函數(shù)的圖象,然后分別畫出上述四條直線,逐一
3、觀察,可以找出正確的答案,如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察,就可知,凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點,必為曲線的一條對稱軸,因此,解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式,算得對應的函數(shù)值分別是:,其中只有–1是這一函數(shù)的最小值,由此可知,應選(A)
????2.正確繪制圖形,以反映圖形中相應的數(shù)量關(guān)系.
????觀察圖形,既要定性也要定量,借助圖形來完成某些題時,僅畫圖示“意”是不夠的,還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系.
????例2.問:圓上到直線的距離為的點共有幾個?
????分析? 由平面幾何知:到定直線L:的距離為的點的軌跡是平行L的兩條直線.因此問題就轉(zhuǎn)化為判定
4、這兩條直線與已知圓的交點個數(shù).
????將圓方程變形為:,知其圓心是C(-1,-2),半徑,而圓心到定直線L的距離為,由此判定平行于直線L且距離為的兩條直線中,一條通過圓心C,另一條與圓C相切,所以這兩條直線與圓C共有3個公共點 (如圖1)
啟示:正確繪制圖形,一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來,以求既定性,又定量,才能充分發(fā)揮圖形的判定作用.
????3.切實把握“數(shù)”與“形”的對應關(guān)系,以圖識性以性識圖.
????數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應關(guān)系,熟知這些對應關(guān)系,溝通兩者的聯(lián)系,才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián),以求相輔相成,相互
5、轉(zhuǎn)化.
????例3.判定下列圖中,哪個是表示函數(shù)圖象.
分析? 由=,可知函數(shù)是偶函數(shù),其圖象應關(guān)于y軸對稱,因而否定(B)、(C),又,的圖象應當是上凸的,(在第Ⅰ象限,函數(shù)y單調(diào)增,但變化趨勢比較平緩),因而(A)應是函數(shù)圖象.
????例4.如圖,液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中,開始時,漏斗盛滿液體,經(jīng)過3分鐘注完.已知圓柱中液面上升的速度是一個常量,H是圓錐形漏斗中液面下落的距離,則H與下落時間t(分)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是().
分析? 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量,所以H與t的關(guān)系不是(B),下落時間t越大,液面下落的距離H應越大,這種變化趨勢
6、應是越來越快,圖象應當是下凸的,所以只可能是(D).
????例5.若復數(shù)z滿足,且,則在復平面上對應點的圖形面積是多少?
????分析? 滿足的復數(shù)z對應點的圖形是:以C(1,1)為圓心,為半徑的圓面,該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分(要注意到∠AOC=45°)
????因此所求圖形的面積為:
????4.靈活應用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化,提高思維的靈活性和創(chuàng)造性.
????在中學數(shù)學中,數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何,此外,函數(shù)與圖象之間,復數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法.通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應關(guān)系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件,而強
7、化這種轉(zhuǎn)化的訓練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段.
例6.已知C<0,試比較的大?。?
????分析? 這是比較數(shù)值大小問題,用比較法會在計算中遇到一定困難,在同一坐標系中,畫出三個函數(shù):的圖象位于y軸左側(cè)的部分,(如圖)很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論:
例7? 解不等式
????解法一? (用代數(shù)方法求解),此不等式等價于:
????解得
????故原不等式的解集是
????解法二? (采用圖象法)? 設即
????對應的曲線是以為頂點,開口向右的拋物線的上半支.而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線.(如圖)
???解方程可求出拋物線上半支與
8、直線交點的橫坐標為2,取拋物線位于直線上方的部分,故得原不等式的解集是.
????借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線,引入解不等式(或方程)的圖象法,可以有效地審清題意,簡化求解過程,并檢驗所得的結(jié)果.
????例8? 討論方程的實數(shù)解的個數(shù).
????分析:作出函數(shù)的圖象,保留其位于x軸上方的部分,將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,便可得到函數(shù)的圖象.(如圖)再討論它與直線y=a的交點個數(shù)即可.
????∴當a<0時,解的個數(shù)是0;
????當a=0時或a>4時,解的個數(shù)是2;
????當0<a<4時,解的個數(shù)是4;
????當a=4時,解的個數(shù)是3.
9
9、.已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點,則k的不同取值有()
????(A)1個(B)2個(C)3個? (D)4個
????分析:作出雙曲線的圖象,并注意到直線是過定點()的直線系,雙曲線的漸近線方程為
????∴過()點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點,此時k取兩個不同值,此外,過()點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點,此時k取兩個不同的值,故正確答案為(D)
?例9.已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點,則k的不同取值有()
????(A)1個(B)2個(C)3個? (D)4個
????分析:作出雙曲線的圖象,并注意到直線是過定點()的直線
10、系,雙曲線的漸近線方程為
????∴過()點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點,此時k取兩個不同值,此外,過()點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點,此時k取兩個不同的值,故正確答案為(D)
例10.設點P(x,y)在曲線上移動,求的最大值和最小值.
????解? 曲線是中心在(3,3),長軸為,短軸為的橢圓.設,即y=kx為過原點的直線系,問題轉(zhuǎn)化為:求過原點的直線與橢圓相切時的斜率.(如圖所示)
???? 消去y得
????
????解得:
????故的最大值為,最小值為
????例11.求函數(shù)(其中a,b,c是正常數(shù))的最小值.
11、??? 分析? 采用代數(shù)方法求解是十分困難的,剖析函數(shù)解析式的特征,兩個根式均可視為平面上兩點間的距離,故設法借助于幾何圖形求解.如圖
?設A(0,a),B(b,-c)為兩定點,P(x,0)為x軸上一動點,
????則 其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外,即時成立.
????故y的最小值為
????例12.P是橢圓上任意一點,以OP為一邊作矩形O P Q R(O,P,Q,R依逆時針方向排列)使|OR|=2|OP|,求動點R的軌跡的普通方程.
????分析? 在矩形O P Q R中(如圖),由∠POR=90°,|OR|=2|OP|可知,OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°,并將長
12、度擴大為原來的2倍得到的.這一圖形變換恰是復數(shù)乘法的幾何意義,因此,可轉(zhuǎn)化為復數(shù)的運算,找到R和P的兩點坐標之間的關(guān)系,以求得問題的解決.
????解,設R點對應的復數(shù)為:,P點對應的復數(shù)為
????則
????故即由點在橢圓上可知有:
????整理得:就是R點的軌跡方程,表示半長軸為2a,半短軸為2b,中心在原點,焦點在y軸上的橢圓.
三解題訓練
1.求下列方程實根的個數(shù):
????(1)
????(2)
????(3)
?? ?2.無論m取任何實數(shù)值,方程的實根個數(shù)都是()
????(A)1個(B)2個(C)3個(D)不確定
??? 3.已知函
13、數(shù)的圖象如右圖則()
????(A)b∈(-∞,0)(B)b∈(0,1)
?????? (C)b∈(1,2)?? (D)b∈(2,+ ∞)
?????? 4.不等式的解集是()
???? (A)(0,+∞)(B)(0,1)(C)(1,+∞)(D)(–∞,0)
??? 5.不等式一定有解,則a的取值范圍是()
????(A)(1,+∞)(B)[1,+ ∞](C)(-∞,1)(D)(0,1]
?????? 6.解下列不等式:
????(1) ?? (2)
????7.復平面內(nèi)點A、B分別對應復數(shù)2,2+i,向量繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量,則點C對應的復數(shù)是___
14、____.
????8.若復數(shù)z滿足|z|<2,則arg(z-4)的最大值為___________
?????? 9.若復數(shù)z滿足
????10.函數(shù)的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡,則這兩定點的坐標是(? )
??? ?(A)(–,–)(,)(B)(–,)(,–)
?? (C)(–2,2)(2,2)(D)(2,–2)(–2,2)
????11.曲線與直線的交點個數(shù)是().
????(A)0(B)1 (C)2(D)3
?????? 12.曲線與直線有兩個交點,則實數(shù)k的取值是()
????(A) (B) (C) (D)
????13
15、.已知集合,滿足,求實數(shù)b的取值范圍.
????14.函數(shù)的值域是()
????(A) ?????? (B)
????(C)?? (D)
四、練習答案
1.(1)2個(2)63個(3)2個
????提示:分別作出兩個函數(shù)的圖象,看交點的個數(shù).
????2.B、 提示:注意到方程右式,是過定點(,0)的直線系.
????3.A、 提示:由圖象知f(x)=0的三個實根是0,1,2這樣,函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2),又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時,f(x)>0.而當x>2時,x,(x-1),(x-2)均大于0,所以a>0,而可知b=-3a<0,故選(A)
????4.A
?????? 5.A
????? ?6.(可以利用圖象法求解)
????(1)x≤-1或0