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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)試題 理 蘇教版
一、填空題
1.函數(shù)f(x)=sin圖象的對稱軸方程為________.
答案 x=+(k∈Z)
2.將函數(shù)f(x)=sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象經(jīng)過點,則ω的最小值是________.
解析 將函數(shù)f(x)=sin ωx的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y=sin的圖象,因為所得圖象經(jīng)過點,則sin=0,所以π=kπ,即ω=2k,又ω>0,所以ωmin=2.
答案 2
3.若函數(shù)f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù),則φ=________.
解析 由已知f(x
2、)=sin是偶函數(shù),可得=kπ+,即φ=3kπ+(k∈Z).又φ∈[0,2π],所以φ=.
答案
4.若三角函數(shù)f(x)的部分圖象如圖,則函數(shù)f(x)的解析式,以及S=f(1)+f(2)+…+f(2 012)的值分別為________.
解析 根據(jù)已知圖象,可設(shè)f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,A>0),由T=4得=4,∴ω=,A===,又f(0)=sin φ+1=1,∴sin φ=0,得φ=0,∴f(x)=sin+1.
又f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4,
∴S=f(1)+f(2)+…+f(2 012)=503×[f(1)+f(2)
3、+f(3)+f(4)]=503×4
=2 012.
答案 f(x)=sin+1,S=2 012
5.函數(shù)f(x)=sin,g(x)=cos(x+φ),|φ|<.如果f(x)有對稱軸經(jīng)過g(x)的對稱中心,則g的值為________.
解析 考查三角函數(shù)的對稱性.熟記f(x)=Asin(ωx+φ)圖象的對稱軸與對稱中心的通解.
f(x)圖象的對稱軸為x=π+(k∈Z),g(x)的對稱中心為
(n∈Z),
∴φ=π+,
∵|φ|<,∴φ=或-,∴g=-或.
答案 -或
6.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈[0,]時,f(
4、x)=sin x,則f的值為________.
解析 f=f=f=sin=.
答案
7.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值是,則ω=________.
解析 由0≤x≤,得0≤ωx≤<,
則f(x)在上單調(diào)遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,所以2sin =,且0<<,
所以=,解得ω=.
答案
8.已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,則f(x)的值域是________.
解析 f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|
=
畫出函數(shù)f(x)的圖象,可得函數(shù)的最小值為-1,最大值為,
5、故值域為.
答案
9.已知過原點的直線與函數(shù)y=|sin x|(x≥0)的圖像有且只有三個交點,α
是交點中橫坐標的最大值,則的值為________.
解析 y=|sin x|(x≥0)的圖像如圖,
若過原點的直線與函數(shù)y=|sin x|(x≥0)的圖像有且只有三個交點,則第三個交點的橫坐標為α,且α∈,
又在區(qū)間(π,2π)上,y=|sin x|=-sin x,則切點坐標為(α,-sin α),
又切線斜率為-cos α,
則切線方程為y+sin α=-cos α(x-2)
y=-cos x+αcos α=-sin α,
又直線過原點,把[0,0)代入上式得,α=
6、tan α
∴
=
=(1+tan2α)cos2α
=cos2α=cos2α+sin2α=1.
答案:1
10.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),給出以下四個論斷:
①它的最小正周期為π;
②它的圖像關(guān)于直線x=成軸對稱圖形;
③它的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形;
④在區(qū)間上是增函數(shù).
以其中兩個論斷作為條件,另兩個論斷作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題________(用序號表示即可).
解析 若①、②成立,則ω==2; 令2·+φ=kπ+,k∈Z,且|φ|<,故k=0,∴φ=.此時f(x)=sin,當(dāng)x=時,sin=sin π=0,∴f(x)的圖像關(guān)于成中心對稱;又
7、f(x)在上是增函數(shù),∴在上也是增函數(shù),因此①②?③④,用類似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④.
答案 ①②?③④(也可填①③?②④)
二、解答題
11.設(shè)f(x)=.
(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(x)的值域及取最大值時x的值.
解 (1)由1-2sin x≥0,根據(jù)正弦函數(shù)圖象知:
定義域為{x|2kπ+π≤x≤2kπ+,k∈Z}.
(2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3,
∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3,
∴f(x)的值域為[0,],
當(dāng)x=2kπ+,k∈Z時,f(x)取得最大值.
12.已知函
8、數(shù)f(x)=cos+2sinsin.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域.
解 (1)f(x)=cos+2sinsin
=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x
=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin.
∴最小正周期T==π,由2x-=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z).
∴函數(shù)圖象的對稱軸為x=+(k∈Z).
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∴-≤sin≤1.
即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.
13.已知函數(shù)f
9、(x)=sin 2x+acos2x(a∈R,a為常數(shù)),且是函數(shù)y=f(x)的零點.
(1)求a的值,并求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若x∈,求函數(shù)f(x)的值域,并寫出f(x)取得最大值時x的值.
解 (1)由于是函數(shù)y=f(x)的零點,
即x=是方程f(x)=0的解,
從而f=sin+acos2=0,
則1+a=0,解得a=-2.
所以f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1,
則f(x)=sin-1,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)由x∈,得2x-∈,
則sin∈,
則-1≤sin≤,
-2≤sin-1≤-1,
10、∴函數(shù)f(x)的值域為[-2,-1].
當(dāng)2x-=2kπ+(k∈Z),
即x=kπ+π時,f(x)有最大值,
又x∈,故k=0時,x=π,
f(x)有最大值-1.
14.已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x∈時,-5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.
∴sin∈,又∵a >0,
∴-2asin∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,
又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
∴4sin-1>1,∴sin>,
∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z.
又∵當(dāng)2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時,g(x)單調(diào)遞減,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
∴g(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.
綜上,g(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z);遞減區(qū)間為(k∈Z).