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1、2022年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)5 應(yīng)用舉例(第1課時(shí))新人教版必修5
1.若P在Q的北偏東44°50′,則Q在P的( )
A.東偏北45°10′ B.東偏北45°50′
C.南偏西44°50′ D.西偏南45°50′
答案 C
2.在某次測量中,在A處測得同一方向的B點(diǎn)的仰角為60°,C點(diǎn)的俯角為70°,則∠BAC等于( )
A.10° B.50°
C.120° D.130°
答案 D
3.一只船速為2 米/秒的小船在水流速度為2米/秒的河水中行駛,假設(shè)兩岸平行,要想使過河時(shí)間最短,則實(shí)際行駛方向與水流方向的夾角為( )
A.120° B.90
2、°
C.60° D.30°
答案 B
4.江岸邊有一炮臺(tái)高30 m,江中有兩條船,由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45°和30°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距( )
A.10 m B.100 m
C.20 m D.30 m
答案 D
解析 設(shè)炮臺(tái)頂部為A,兩條船分別為B、C,炮臺(tái)底部為D,可知∠BAD=45°,∠CAD=60°,∠BDC=30°,AD=30.
分別在Rt△ADB,Rt△ADC中,
求得DB=30,DC=30.
在△DBC中,由余弦定理,得
BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°,解得BC=30.
5.某人向正東方向走x
3、 km后,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么x的值為( )
A. B.2
C.2或 D.3
答案 C
6.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為( )
A.a(chǎn) km B.a km
C.a km D.2a km
答案 B
7.海上有A、B、C三個(gè)小島,已知A、B相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B、C的距離是( )
A.10 海里 B. 海里
C.5 海里 D.
4、5 海里
答案 D
8.
如圖所示,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離為( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
9.一船向正北航行,看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見一燈塔在船的南偏西60°方向上,另一燈塔在船的南偏西75°方向上,則這艘船的速度是每小時(shí)( )
A.5 海里 B.5 海里
C.10 海里 D.10 海里
答案 D
10.已知船A在燈塔C北偏東
5、85°且到C的距離為2 km,船B在燈塔C西偏北25°且到C的距離為 km,則A,B兩船的距離為( )
A.2 km B.3 km
C. km D. km
答案 D
11.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在點(diǎn)A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上,15 min后到點(diǎn)B處望見燈塔在船的北偏東65°方向上,則船在點(diǎn)B時(shí)與燈塔S的距離是________km.(精確到0.1 km)
答案 5.2
12.如圖,為了測量河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對(duì)岸的標(biāo)記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,則河的寬度是________m.
答案
6、60
13.已知船在A處測得它的南偏東30°的海面上有一燈塔C,船以每小時(shí)30海里的速度向東南方向航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn),在B處看到燈塔在船的正西方向,問這時(shí)船和燈塔相距________海里.
答案
14.A、B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn),相距800 m,在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°,∠BAD=120°,又在B點(diǎn)測得∠ABD=45°,其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足,求山高CD.
解析
如圖,由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD.
因此,只需在△ABD中求出AD即可.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°.
由=,得
AD=
==800(
7、+1)(m).
∵CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,
∴CD=AD=800(+1)≈2 186(m).
答:山高CD為2 186 m.
15.如圖所示,海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁,一船正向南航行,在B處測得小島A在船的南偏東30°,航行30海里后,在C處測得小島在船的南偏東45°,如果此船不改變航向,繼續(xù)向南航行,有無觸礁的危險(xiǎn)?
思路分析 船繼續(xù)向南航行,有無觸礁的危險(xiǎn),取決于A到直線BC的距離與38海里的大小,于是我們只要先求出AC或AB的大小,再計(jì)算出A到BC的距離,將它與38海里比較大小即可.
解析 在△ABC中,BC=30,B=30°,∠ACB=135°,
∴
8、∠BAC=15°.
由正弦定理=,即=.
∴AC=60cos15°=60cos(45°-30°)
=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(+).
∴A到BC的距離d=ACsin45°=15(+1)
≈40.98海里>38海里,所以繼續(xù)向南航行,沒有觸礁危險(xiǎn).
1.一船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過 h后,該船實(shí)際航行為( )
A.2 km B.6 km
C. km D.8 km
答案 B
2.
如圖,為了測量正在海面勻速行駛的某航船的速度,在海岸上選取距離1千米的兩個(gè)
9、觀察點(diǎn)C、D,在某天10∶00觀察到該航船在A處,此時(shí)測得∠ADC=30°,2分鐘后該船行駛至B處,此時(shí)測得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,則船速為________(千米/分鐘).
答案
解析 在△BCD中,
∠BDC=30°+60°=90°,CD=1,∠BCD=45°,
∴BC=.
在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,
∴=,AC=.
在△ABC中,
AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=,
∴AB=,∴船速為= 千米/分鐘.
3.
如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)
10、.現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間?
答案 救船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).
解析 由題意知AB=5(3+)(海里),∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,由正弦定理,得=.
∴DB==
==
=10(海里).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20(海里),
在△DBC中,由余弦定理
11、,得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
=300+1 200-2×10×20×=900.
∴CD=30(海里),則需要的時(shí)間t==1(小時(shí)).
答:救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).
4.
如圖所示,a是海面上一條南北向的海防警戒線,在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B、C分別在A的正東方20 km處和54 km處.某時(shí)刻,監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波,8 s后監(jiān)測點(diǎn)A、20 s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào).在當(dāng)時(shí)的氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.
(1)設(shè)A到P的距離為x km,用x表示B,C到P的距離,并求x的值;
(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離.(結(jié)果精確到0.01 km)
答案 (1)PB=x-12 km,PC=18+x km
(2)17.71 km