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1、2022年高二數(shù)學 《數(shù)學歸納法的應用》教案 滬教版
一、教學內容分析
1. 本小節(jié)的重點是用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.教學時應對書寫與表達提出嚴格的要求.尤其是在證明數(shù)或式的整除性時,更要注意說理清楚,并以此作為培養(yǎng)學生邏輯推理能力的一個抓手.
2. 本小節(jié)的難點是用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除性.突破難點的關鍵是在授課時要重點分析“補項法”的證明思路:通過補項為運用歸納假設創(chuàng)造條件.不要讓學生單純機械地模仿.另外還常用作差方法,通過相減后,證明差能被某數(shù)(或某式)整除,再利用歸納假設可得當n=k+1時命題成立.
二、教學目標設計
1.會用數(shù)學歸納法證明等式;
2.會用
2、數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除;
3.進一步掌握數(shù)學歸納法的證明步驟與數(shù)學歸納法的實質.
三、教學重點及難點:
用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.
四、教學流程設計
運用與深化(例題解析、鞏固練習、課后習題)
數(shù)式整除
實例引入
等式證明
復習回顧
五、教學過程設計
1.復習回顧:
用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟,是缺一不可的.如果只完成步驟(i)而缺少步驟(ii)不能說明命題對從n0開始的一切正整數(shù)n都成立.
如+1,當n=0、1、2、3、4時都是素數(shù),而n=5時,+1=641×6700417不是素數(shù).
同樣只有步驟(ii)而缺少步驟(i),步驟(ii)的歸
3、納假設就沒有根據(jù),遞推就沒有基礎,就可能得出不正確的結論.
如2+4+6+…+2k=k2+k+a(a為任何數(shù))
2.講授新課:
用數(shù)學歸納證明等式
例1:用數(shù)學歸納法證明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2
例2:用數(shù)學歸納法證明:12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1) [說明]上述兩例師生共同討論完成.完成兩例討論后向學生指出:
(1)由于證明當n=k+1等式成立時,需證明的結論形式是已知的,只要將原等式中的n換成k+1即得,因此學生在證明過程中,證明步驟必須完整,不能跳步驟;(2)有些等式證明題在證明當n=k+1正確時,需用恒等變形,技巧
4、較高,對基礎較差的學生來說完成很困難,這時可通過左、右邊的多項式乘法來完成.
如 求證:… (nN*).
證明:
(1) 當n=1時,左邊=1,右邊=×1×(4-1)=1等式成立.
(2) 假設當n=k(kN*)時等式成立,即,
則n=k+1時,
又
即等式成立.
由(1)(2)知,等式對任何nN*都成立.
(3) 用數(shù)學歸納法證明恒等式成立時,在逆推過程中應注意等式左右的項數(shù)的變化.由當n=k到n=k+1時項數(shù)的增加量可能多于一項,各項也因n的變化而變化,因此要根據(jù)等式的特點仔細分析項數(shù)及各項的變化情況.
例如:求證:
(*).
例3 (補充)在1與9之間
5、插入2n-1個正數(shù)數(shù),使1,,9成等比數(shù)列,在1與9之間又插入2n-1個正數(shù),使1,,9成等差數(shù)列.設,,
(1) 求、
(2) 設,是否存在最大自然數(shù)m,使對于nN*都有被m整除,試說明理由.
解:(1)
(2)
當n=1時,=64
當n=2時,=320=5×64
當n=3時,=36×64
由此猜想:最大自然數(shù)m=64
用數(shù)學歸納法證明上述猜想:
1.當n=1時,猜想顯然成立;
2.假設當n=k(kN*)時成立,即能被64整除,
則當n=k+1時,
由歸納假設知能被64整除,又也能被64整除,所以也能被64整除.
由1、2
6、知,能被64整除(nN*).
又因為,所以存在最大自然數(shù)64,使能被64整除(nN*).
[說明]本例是較難的數(shù)列與數(shù)學歸納法的綜合題.在第(1)小題的解題過程中充分利用了等差、等比數(shù)列的性質,起到了對等差、等比數(shù)列知識的復習作用.本例也可以先將等差、等比數(shù)列的公差d、公比q用n表示,然后求出、(可讓學生完成),同時本例的第(2)小題既復習了用數(shù)學歸納法證明數(shù)式的整除性,又為進一步掌握歸納—猜測—論證的問題提供了保證,是否選用本題教師可根據(jù)學校學生的實際數(shù)學學習水平?jīng)Q定.
3.鞏固練習:
練習7.6(2)1,2,3
4.課后習題:
習題7.5 A組 習題7.5 B組
5
7、.課堂小結:
(1)本節(jié)中心內容是數(shù)學歸納法的應用,數(shù)學歸納法適用的范圍是:證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關的命題;
(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,分類是完全歸納法和不完全歸納法二種,完全歸納法只局限于有限個元素,而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性,必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明; 歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結論的推理方法,它屬于歸納推理.而數(shù)學歸納法它是一種演繹推理方法,是一種證明命題的方法!因此,它不屬于“不完全歸納法”!甚至連“歸納法”都不是!
(3)學歸納法作為一種證明方法,它的基本思想是遞推(遞歸)思想,它的證明步驟必須是兩步,最后還要總結;數(shù)學歸納法證題的步驟:
8、
①驗證P()成立.
②假設P(k)成立(k∈N*且k≥),推證P(k+1)成立.
數(shù)學歸納法的核心,是在驗證P()正確的基礎上,證明P(n)的正確具有遞推性(n≥).第一步是遞推的基礎或起點,第二步是遞推的依據(jù).因此,兩步缺一不可,證明中,恰當?shù)剡\用歸納假設是關鍵.
(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有:遞推思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想從這節(jié)課的學習中你有何感想?你能否體會到數(shù)學歸納法的魅力?
六.教學設計說明
1.數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法.它的操作步驟簡單、明確,教學重點應該是方法的應用.但是我們認為不能把教學過程當作方法的
9、灌輸,技能的操練.對方法作簡單的灌輸,學生必然疑慮重重.為什么必須是二步呢?于是教師反復舉例,說明二步缺一不可.你怎么知道n=k時命題成立呢?教師又不得不作出解釋,可學生仍未完全接受.學完了數(shù)學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題,等等.為此,我們設想強化數(shù)學歸納法產生過程的教學,把數(shù)學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中,把數(shù)學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來.這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產生的背景,從一開始就注意它的功能,為使用它打下良好的基礎,而且可以強化歸納思想的教學,這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充,也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機.
數(shù)學歸
10、納法產生的過程分二個階段,第一階段從對歸納法的認識開始,到對不完全歸納法的認識,再到不完全歸納法可靠性的認識,直到怎么辦結束.第二階段是對策醞釀,從介紹遞推思想開始,到認識遞推思想,運用遞推思想,直到歸納出二個步驟結束把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置,必然對理解數(shù)學歸納法的實質帶來指導意義,也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內容中的數(shù)學思想的一種嘗試.
2.在教學方法上,這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法.目的是在于加強學生對教學過程的參與程度.為了使這種參與有一定的智能度,教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥.學生的思維參與往往是從問題開始的,盡快提出適當?shù)膯栴},并
11、提出思維要求,讓學生盡快投入到思維活動中來,是十分重要的.這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解,并選擇適當?shù)膯栴},把課題的研究內容落于問題中,在逐漸展開中,引導學生用已學的知識、方法予以解決,并獲得新的發(fā)展.本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究.
3.理解數(shù)學歸納法中的遞推思想,還要注意其中第二步,證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件.
即n=k+1時等式也成立.
這是不正確的.因為遞推思想要求的不是n=k,n=k+1時命題到底成立不成立,而是n=k時命題成立作為條件能否保證n=k+1時命題成立這個結論正確,即要求的這種邏輯關系是否成立.證明的主要部分應改為
以上理解不僅是正確認識數(shù)學歸納法的需要,也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維方向.