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1、2022年高二數(shù)學 9.2空間的平行直線與異面直線(第一課時)大綱人教版必修 ●課時安排 5課時 ●從容說課 本節(jié)通過學習空間直線的平行、相交、異面的位置關(guān)系以及每種位置關(guān)系的特征,為判斷兩直線位置關(guān)系提供了理論依據(jù).平行公理揭示了平行的傳遞性;等角定理及其推論解決了角在空間中的平移問題,在平移變換下,角的大小不變,它是兩條異面直線所成角的依據(jù),也是以后學習研究二面角及與角有關(guān)內(nèi)容的理論基礎(chǔ),它提供了一個研究角之間關(guān)系的重要方法,即平移法;兩條異面直線所成的角以及兩條異面直線間距離的求法體現(xiàn)了數(shù)學中化難為易、化繁為簡、化生疏為熟悉、化空間問題為平面問題的轉(zhuǎn)化思想. 學生學習的重點是平

2、行公理及其應用和兩異面直線所成角及距離的求法;難點是等角定理證明的掌握與應用和兩異面直線所成角及距離求法因此教學中要提醒學生正確理解等角定理中命題的條件,即兩個角的兩邊分別平行且這兩個角的方向相同;因兩條異面直線不相交,但有所成的角,這對于初學立體幾何的學生是難以理解的,所以在教學中要幫助學生理解清楚兩條異面直線所成角的概念. ●課題 9.2.1 空間直線（一） ●教學目標 (一)教學知識點 1.空間兩條直線的位置關(guān)系. 2.異面直線的概念. 3.公理4. （二）能力訓練要求 1.了解空間兩條直線的位置關(guān)系. 2.理解異面直線的概念,培養(yǎng)學生的空間想象能力. 3.理解并

3、掌握公理4,并能應用之證明簡單的幾何問題. （三）德育滲透目標 通過理解、欣賞、運用空間直線各具特點的豐富多姿的不同位置關(guān)系,感悟數(shù)學世界的奇異美、簡潔美、和諧美,培養(yǎng)學生的美學意識. ●教學重點 1.異面直線的概念. 2.公理4. ●教學難點 異面直線的概念. ●教學方法 講授法 概念的教學是基礎(chǔ)的非常重要的教學,異面直線的概念是學生從平面到空間接觸的第一個概念,教師清清楚楚地給學生講明白概念，是學生日后主動獲取知識的前提. ●教具準備 1.立體幾何模型：正方體模型或長方體模型； 2.投影片三張. 第一張：課本P10圖9—9（記作9.2.1 A） 第二張：課本P

4、11例1及圖9—10（記作9.2.1 B） 第三張：本課時教案例2及圖（記作9.2.1 C） ●教學過程 Ⅰ.課題導入 ［師］前面我們學習了平面的基本性質(zhì)——三個公理及其推論.討論了公理及其推論的作用，并且對性質(zhì)公理及其推論的簡單應用進行了研究——共面問題的證明、點共線問題的證明、線共點問題的證明,通過具體問題與平面幾何知識對照、類比,揭示了三類問題的證明思路、方法與步驟,這些內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ),我們大家應予以足夠的重視.從這節(jié)課開始,我們來研究空間直線（板書課題）. Ⅱ.講授新課 ［師］我們先來看空間兩條直線的位置關(guān)系. 1.空間兩條直線的位置關(guān)系（板書） ［師］初中幾何里

5、已經(jīng)介紹了空間的兩條直線有以下三種位置關(guān)系：（板書） ①相交直線——有且僅有一個公共點; ②平行直線——在同一平面內(nèi),沒有公共點; ③異面直線——不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點. 對于相交直線和平行直線,我們在初中學習直線時,就清楚這兩種位置關(guān)系,同學們比較熟悉.它們的特征,用有無公共點就可以描述清楚,隨著知識范圍的擴大,僅用有無公共點,還能夠說清楚兩條直線的位置關(guān)系嗎？ ［生］不能.有公共點的兩條直線一定相交,而沒有公共點的兩條直線不一定平行（學生已經(jīng)進行了預習,知道還有異面的情形）. ［師］好.既然用有無公共點描述兩條直線的位置關(guān)系的特征還不夠,那么再補充些特征就非常必要了.

6、因此,在對空間兩直線的位置關(guān)系的特征描述時,又加上了在同一平面內(nèi)和不同在任何一個平面內(nèi).同學們考慮一下,若僅用在不在同一平面內(nèi)來描述兩條直線的位置關(guān)系行不行呢？ ［生］不行.不在同一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線,而在同一平面內(nèi)的兩條直線究竟是平行直線還是相交直線仍不能確定. ［師］不在同一平面內(nèi)的兩直線是異面直線嗎？那為什么異面直線的特征要表述為“不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點”呢？大家怎樣理解“不同在任何一個平面內(nèi)”這句話的含義呢？ ［生］不同在任何一個平面就是不同在一個平面. ［師］“任何”兩字多余了嗎？請再仔細想一想,（大家都在認真思考）（打出投影片9.2.1 A）同學們看圖中的

7、AA1與CC1,它們在同一平面嗎？ （有的說在,有的說不在,說在的說不出為什么,說不在的是從直觀上看的） ［師］請同學們注意,我們用刀沿對角線A1C1垂直地切下來,將正方體切成兩塊,大家看AA1、CC1是不是都在切面上？ ［生］是.AA1與CC1都在切面上. ［師］判定兩條直線的位置關(guān)系,不僅要從直觀上看,更重要的要從理論上看,事實上AA1與CC1是平行的,一會兒我們再作討論.所以我們說“不同在任何一個平面”中的“任何”兩字不是多余的.它所表達的意思是直觀上不同在一個平面,理論上也不同在一個平面,也就是說無論如何“不會同在任何一個平面”（繼續(xù)看圖）.AA1與BC是無論如何不會同在一個平

8、面的,它們是異面直線,AA1與CD也是無論如何不會同在一個平面的,它們也是異面直線.你還能在圖中找到一些異面直線嗎？ ［生］AA1與B1C1是異面直線,AA1與C1D1是異面直線,BB1與C1D1是異面直線,BB1與A1D1是異面直線,BB1與CD是異面直線…… ［師］好.只要大家抓住了異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的特征,對異面直線的理解就深刻了,照大家的分析,異面直線的特征“沒有公共點”可以劃去（劃掉板書上的“沒有公共點”）,或者將其特征說成“既不相交,也不平行”（加寫在特征處）. 兩條直線相交或平行時,確定一個平面,但三條直線交于一點或兩兩平行時,它們不一定共面.例如圖9.2.1

9、中,直線AA1、AB、AD三直線相交于點A,它們不共面.直線AA1、BB1、CC1兩兩平行,它們也不共面. 下面我們分別對平行直線、異面直線來進行研究. 2.平行直線（板書） ［師］在初中幾何里我們已經(jīng)知道,在同一個平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.對于空間的三條直線,我們說這樣的規(guī)律也是成立的,我們把這個規(guī)律作為本章的第四個公理.（既然作為公理提出,干脆直接公認它好了,不要提出問題之后說“可以發(fā)現(xiàn),答案是肯定的”.怎樣發(fā)現(xiàn)的呢？教師給學生說不清,教師說不清,又怎樣讓學生發(fā)現(xiàn)呢？我認為,既然是公理,直接公認這個規(guī)律,比說可以發(fā)現(xiàn)還好?。? 公理4 平行同

10、一條直線的兩條直線互相平行. 用符號語言表示如下：設a、b、c是三條直線,. a、b、c三條直線兩兩平行,可以記為a∥b∥c. 這個公理實質(zhì)上就是說平行具有傳遞性,在平面內(nèi)、在空間,這個性質(zhì)都是不變的. 下面我們來看一個例子. （打出投影片9.2.1 B） ［例1］已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、H分別是邊AB、AD的中點,F、G分別是邊CB、CD上的點,且.求證：四邊形EFGH有一組對邊平行但不相等. 分析：要證明四邊形EFGH有一組對邊平行,先要考慮哪一組對邊有平行的可能,由于E、H分別是AB、AD的中點,F、G實質(zhì)上分別是CB、CD的三等分點,連結(jié)BD,問題就變得明了啦

11、. 證明：連結(jié)BD, ∵E、H分別是AB、AD的中點, ∴EH是△ABD的中位線. ∴EH∥BD,EH=BD. 又在△CBD中,, ∴FG∥BD,FG=BD. 根據(jù)公理4,EH∥FG, 又FG＞EH, ∴四邊形EFGH的一組對邊平行但不相等. （打出投影片9.2.1 C） ［例2］如圖,P是△ABC所在平面外一點,點D、E分別是△PAB和△PBC的重心.求證：DE∥AC,DE=AC. 分析：由點D、E分別是△PAB、△PBC的重心,想到連結(jié)PD、PE,并延長與AB和BC分別相交,從而構(gòu)造三角形,充分利用重心的性質(zhì)及三角形中位線定理. 證明：連結(jié)PD、PE并延長

12、分別交AB、BC于點M、N, ∵點D、E分別是△PAB、△PBC的重心, ∴M、N分別是AB、BC的中點. 連結(jié)MN,則MN∥AC,且MN=AC. ① 在△PMN中,∵, ∴DE∥MN,且DE=MN. ② 由①、②根據(jù)公理4,得 DE∥AC,且DE=MN=×AC=AC. 注意：今天所討論的兩個例題,雖然都是空間問題,但從分析與證明的過程可以看出,我們都是設法化為平面問題來解決的.這是一條重要的解題思路,同學們要細心體會,切實掌握這種轉(zhuǎn)化思想. Ⅲ.課堂練習 課本P13練習1、2.P16習題9.2 1.①②③,2. Ⅳ.課時小

13、結(jié) 本節(jié)課我們學習了空間兩條直線的位置關(guān)系——相交、平行、異面,并且研究了各種位置關(guān)系的特征：相交直線有且僅有一個公共點；平行直線在同一平面內(nèi),沒有公共點；異面直線不同在任何一個平面內(nèi),或者說異面直線是既不相交又不平行的兩條直線.同學們一定要把這些特征記下來,它是判定兩條直線位置關(guān)系的依據(jù).之后我們又研究了平行公理,即平行于同一條直線的兩條直線互相平行,這是平行的傳遞性,與平面幾何中是一致的,也就是說平行的傳遞性在空間仍然是成立的.至于知識的應用,關(guān)鍵是要學會分析問題,掌握轉(zhuǎn)化的思想方法,把空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題來解決. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P17習題9.2 3,4,5. （二）預習課本P12 ●板書設計 9.2.1 空間直線（一） 1.空間兩條直線的位置關(guān)系 相交直線 平行直線 異面直線 2.平行直線 公理4 例1 例2 注意 練習 小結(jié)