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1、2022年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)列的遞推公式》教案 滬教版
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課是數(shù)列的第二課時,教學(xué)內(nèi)容是“數(shù)列的遞推公式”,學(xué)生對數(shù)列已有的認(rèn)知程度:數(shù)列的有關(guān)概念和數(shù)列的通項(xiàng)公式.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
1、知道遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法;
2、理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,觀察數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系,逐步形成學(xué)生的觀察能力;
3、通過閱讀框圖,正確理解算法程序,掌握建立遞推關(guān)系式的方法,形成數(shù)學(xué)閱讀能力.
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
重點(diǎn):理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,利用遞推關(guān)系式,揭示數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系.
難點(diǎn):閱讀算法程序框圖,建立遞推關(guān)系式.
四、教學(xué)用具準(zhǔn)備
多媒體設(shè)備
2、
五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)
六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、 情景引入
1.觀察
. ①
2.思考
在數(shù)列①中,項(xiàng)與項(xiàng)之間有什么關(guān)系?
[說明]:
或
3.討論
由此,數(shù)列①也可以用下面的公式表示:
或
二、學(xué)習(xí)新課
1.概念辨析
如果已知數(shù)列的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.
2.例題分析
例3.根據(jù)下列遞推公式寫出數(shù)
3、列的前4項(xiàng):
(1)
(2)
解:(1)由題意知:
這個數(shù)列的前4項(xiàng)依次為1,3,7,15.
(2)由題意知:
這個數(shù)列的前4項(xiàng)依次為100,-85,100,-85.
[說明] 已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),利用遞推公式可以依次求出數(shù)列以后的項(xiàng).
例4.根據(jù)圖7-5中的框圖,建立所打印數(shù)列的遞推公式,并寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng).
解:由圖7-5可知,數(shù)列的首項(xiàng)為3,從第二項(xiàng)起數(shù)列中的每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)與前一項(xiàng)減1所得的差之積,即
利用上述遞推公式,計(jì)算可得到數(shù)列的前5項(xiàng)依次為
3,6,30,870,756030.
[說
4、明] 解答本例的關(guān)鍵是要讀懂框圖,框圖呈現(xiàn)的是算法程序,該程序就是遞推關(guān)系.
3.問題拓展
例1.
解:由題意知:
這個數(shù)列的前4項(xiàng)依次為1,1,2,3.
[說明] 由遞推公式給出的數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列.
斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250),意大利數(shù)學(xué)家,他在1202年所著的《計(jì)算之書》中,提出的“兔子問題”所用的數(shù)列被后人稱為斐波那契數(shù)列.
斐波那契的兔子問題:假設(shè)一對初生兔子要一個月才到成熟期,而一對成熟兔子每個月都會生下一對兔子.那么,由一對初生兔子開始,12個月后會有多少對兔子呢?
用記號“”表示初生的幼兔,“”表示成熟
5、的兔子,則有下圖
得到前七項(xiàng):1,1,2,3,5,8,13
進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn):從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和.
下面給出證明:
設(shè)表示第n個月的兔子數(shù),表示第n個月幼兔,表示第n個月的成熟兔,則:
由題意有: ,證畢.
∴1到12個月的兔子數(shù)依序是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,243.
∴12個月后共有243對兔子.
例2.已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由給出.
(1)寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng);
(2)利用上面的數(shù)列,通過公式構(gòu)造一個新數(shù)列,寫出數(shù)列的前5項(xiàng);
(3)繼續(xù)計(jì)
6、算數(shù)列的第6項(xiàng)到第10項(xiàng),你發(fā)現(xiàn)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間有怎樣的關(guān)系.
解:由遞推關(guān)系:
(1)數(shù)列的前5項(xiàng)依次為:1,2,3,5,8
(2)數(shù)列的前5項(xiàng)依次為:.
(3)數(shù)列的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)依次為:.
觀察1:,…,.
于是,數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間具有:.
觀察2:,…,
.
于是,數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間具有:.
[說明](1)題是利用遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng);(2)題是構(gòu)造一個數(shù)列寫出部分項(xiàng);(3)題是通過觀察部分項(xiàng),猜想遞推關(guān)系式.
例3.根據(jù)框圖,建立所打印數(shù)列的遞推公式,并寫出數(shù)列的前5項(xiàng).
解:根據(jù)框圖,數(shù)列的遞推公式為
數(shù)列的前5項(xiàng)依次為:.
[說明] 閱讀框圖,正
7、確理解框圖中的賦值語句,準(zhǔn)確把握遞推信息,是解此類題的關(guān)鍵.
三、鞏固練習(xí): 7.1(2)1,2.
四、課堂小結(jié)
1、數(shù)列遞推公式的概念;
2、利用遞推公式解題的基本類型:
(1)根據(jù)遞推公式,求數(shù)列的部分項(xiàng);(2)已知數(shù)列的部分項(xiàng),寫出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系;
(3)根據(jù)算法程序框圖,建立遞推關(guān)系式.
五、作業(yè)布置
練習(xí)冊(A)6、7、8;練習(xí)冊(B)2、4.
七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本節(jié)課是數(shù)列的第二課時,學(xué)生對數(shù)列已有的認(rèn)知程度:數(shù)列的有關(guān)概念和數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此,本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)圍繞以下幾點(diǎn)開展教學(xué):
1、讓學(xué)生明白:遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法;
2、理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,觀察數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系,以此來培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力;
3、通過閱讀框圖,正確理解算法程序,掌握建立遞推關(guān)系式的方法,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力.