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2022年高二數(shù)學(xué) 排列 組合 和概率 10.2 組合同步教案 新人教A版

上傳人:xt****7 文檔編號:105330556 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):9 大?。?8.52KB
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1、2022年高二數(shù)學(xué) 排列 組合 和概率 10.2 組合同步教案 新人教A版 【教學(xué)內(nèi)容】 第十章 排列 組合 和概率 10.2 組合 要求:1、學(xué)習(xí)掌握組合、組合數(shù)概念和組合數(shù)的兩個性質(zhì)。熟練運用這些基本概念和性質(zhì)解題; 2、掌握解排列組合題的思想方法,適當(dāng)?shù)胤诸?,分步,?gòu)造恰當(dāng)?shù)慕夥ń鉀Q問題; 3、靈活運用有關(guān)概念;開拓解題思路,力爭做到一題多解。 【學(xué)習(xí)指導(dǎo)】 1、掌握組合的概念: 定義:從n個不同元素中,取出m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。 排列與組合的共同點,就是要“從n個不同元素中,任取

2、m個元素”,而不同的是,對于所取出的m個元素,前者要“按照一定的順序排成一列”,而后者卻是“不管怎樣的順序并成一組”,即排列是有序的,而組合是無序的。 2、掌握組合數(shù)公式: 另一個公式此公式的作用:當(dāng)對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時,常寫成這種形式去溝通。 3、組合數(shù)性質(zhì)1: 組合數(shù)性質(zhì)2: 通過本節(jié)的學(xué)習(xí),要理解組合的意義,弄清排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別,掌握組合數(shù)的計算公式,并能解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。 組合的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點,它可分為無限制條件的組合、有限制條件的組合以及組合與排列的綜合應(yīng)用題三大類。 對于無限制條件的組合應(yīng)用題,可

3、應(yīng)用組合數(shù)公式來計算;對于有限制條件的組合應(yīng)用題及排列與組合的綜合應(yīng)用題,一般有正向思考與逆向思考兩種思路,正向思考時常采用分步及乘法原理的方法或分類及加法原理的方法,逆向思考時常采用求補集的方法解決。 【典型例題分析】 例1、某班有45名同學(xué),在畢業(yè)典禮會上,每兩人握一次手,總共能握多少次手? 解:因為每兩人握一次手是無序的,所以總共能握:=990(次) 例2、從5名男生4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競賽。 (1)如果4人中男生與女生各選2人有多少種不同的選法? (2)如果男生中的甲與女生中的乙都必須在內(nèi),有多少種不同的選法? (3)如果男生中的甲與女生中的乙都不在內(nèi),有多少種不

4、同的選法? (4)如果男生中的甲與女生中的乙有且只有1人在內(nèi)有多少種不同的選法? (5)如果男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)有多少種不同的選法? 解:(1)分兩步完成,第一步先從5名男生中任選2名有種不同的選法;第二步從4名女生中任選2名有種不同的選法,由乘法原理:(種)。 ∴4人中男生與女生各選2人有60種不同的選法。 (2)由于男甲與女乙都必須在內(nèi),則從剩余的7名同學(xué)中任選2人即可完成這件事,則有 ∴男甲與女乙都必須在內(nèi)的選法有21種。 (3)由于男甲與女乙都不在內(nèi),則從剩余的7名同學(xué)選出4人,其選法種數(shù)有 ∴男甲與女乙都不在內(nèi)的選法有35種。 (4)分兩步完成,第一

5、步從男甲與女乙中任選1人有種不同的選法,第二步再從剩余的7名同學(xué)中任選3人有種不同的選法,由乘法原理: (5)解法一:分兩類,第一類男甲與女乙只有1人在內(nèi)的選法有種,第二類男甲與女乙都在內(nèi)的選法有種,由加法原理得: ∴男甲與女乙至少有1人在內(nèi)的選法有91種。 解法二:先求出男甲與女乙都不在內(nèi)的選法有種,再從5名男生4名女生中選出4人的不同選法中減去,有 例3、設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將這五個球投放入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子內(nèi)投放一個球,并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,則這樣的投入方法的總數(shù)有多少種? 解:因為恰好有兩個球的

6、編號與盒子的編號相同,則這樣的兩個球有種不同的投入方法,還剩3個球與3個盒子,而這三個球的編號與盒子的編號不同,則第一個球投放入與它編號不同的盒子有2種不同的投放方法,最后兩個球只有一種投放方法,則有乘法原理得總的投放方法有: ∴這樣的投入方法總數(shù)有20種。 例4、方程的解為( ) A、1 B、3 C、1或3 D、1或5 分析:這個方程的特點是:兩個組合的下標(biāo)相同,上標(biāo)含有未知數(shù),由組合數(shù)性質(zhì):求之,因此求解時要討論上標(biāo)的兩種可能情況。 解:當(dāng) 當(dāng) 因為當(dāng)x=5,x=-7時,組合均無意義,故舍去。 所以原方程的解為x=1或x=3,選C。 例5、有甲、乙、丙三項任務(wù)

7、,甲需2人承擔(dān),乙、丙各需1人承擔(dān),從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù),不同的選法共有( ) A、1260種 B、2021種 C、2520種 D、5040種 分析:從10人中任派4人去承擔(dān)任務(wù),并未限定哪個人承擔(dān)哪一項不同的任務(wù),所以為無限制的組合問題。 解法一:分三步完成,先由10人中任選派2人承擔(dān)甲項任務(wù)有種不同的選法;再從剩余的8人中任選1人承擔(dān)乙項任務(wù)有種不同的選法;最后從剩余的7人中任選1人承擔(dān)丙項任務(wù)有種不同的選法,由乘法原理,共有種不同的選法,故選C。 解法二:先10中任選4人承擔(dān)任務(wù)有種不同的選法,選出的4人,從中任選2人承擔(dān)甲項任務(wù)有種不同的選法;再由剩余

8、的2人中任選1人承擔(dān)乙項任務(wù),最后1人自然承擔(dān)丙項任務(wù),因此有種不同的選法,由乘法原理得:(種) 例6、四面體的頂點和各棱中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有 種。 分析:因為三點確定一個平面,取4個不共面的點,相當(dāng)于從這10個點中取4個點,組成多少個四面體的問題,本題宜采用逆向思考方法。 解:不考慮順序,從10個點中任取4個點,總數(shù)為,其中四點共面的有三類:四個點在同一側(cè)面的有4=60種;在6個中點中,四點共面的情況有3種;而每個棱中點與它所對棱的棱上的三個點也共面,共有6種。 所以,不同的取法有210-(60+6+3)=141(種) 注:本題涉及選取方法中有重

9、復(fù)計算的問題,一般選擇減的方法,去掉不合理的情況,但要做到不重復(fù),不遺漏,需要認(rèn)真思考體會。 例7、有編號為1,2,3,…,9,10的十只燈,為了節(jié)約用電,可以將其中三只燈關(guān)掉,但不能同時關(guān)掉相鄰的二只或三只,也不能關(guān)掉兩端的燈,則滿足條件的關(guān)燈方法有多少種? 分析:由于這10只燈是無區(qū)別的10只燈,在滿足題設(shè)的條件下,關(guān)掉的三只燈也是無序的,因此這是一個有限制條件的組合問題,一般常用插位法。 解:從10只燈中關(guān)掉3只還余7只,把這7只燈排成一列,由于無序所以只有一種排法。 又因為關(guān)掉的三只燈不能相鄰且不 能在兩端,所以只能在7個燈之間的6個方位任選三個如圖: 1 ○ 2 ○

10、 3 ○ 4 ○ 5 ○ 6 ○ 7 ∴滿足條件的關(guān)燈方式有=20(種) 注:此題首先要弄清是排列問題還是組合問題,另外此題涉及到不相鄰的問題,一般采用插位法。 例8、從1,3,5,7,9中取3個數(shù)字,從2,4,6,8中任取2個數(shù)字,一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。 分析:此題是一個組合與排列的綜合應(yīng)用題??煞秩酵瓿桑旱谝徊綇?,3,5,7,9中取3個數(shù)字以及第二步從2,4,6,8中任取2個數(shù)字為組合問題,而第三步由前兩步取出的5個數(shù)字組成五重復(fù)的五位數(shù)是排列問題,可采用分步方法及乘法原理來解決。 解:分三步完成: 第一步從1,3,5,7,9這五個數(shù)字

11、中任取3個有種不同的取法; 第二步從2,4,6,8這四個數(shù)字中任取2個有種不同的取法; 第三步由前兩步取出的5個數(shù)全排列有種不同的排法。 由乘法原理共有:=7200(個) ∴一共可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有7200個。 注:這是一個排列與組合的綜合應(yīng)用題,解題應(yīng)分清哪一步是排列,哪一步是組合,一般采用分步方法、乘法原理解決。 例9、6本不同的書分成三堆:(1)若平均分給甲、乙、丙三人,有多少種不同的分法?(2)若平均分成三堆,有多少種不同的分法?(3)若有一堆一本,一堆二本,一堆3本,有多少種不同的分法?(4)若有一堆4本,另兩堆各1本的不同分法有多少種? 分析:6本不同的書平

12、均分給甲、乙、丙三人是有順序的,而平均分成三堆是無順序的,所以此題的第(2)問在一般分法種重復(fù)次,第(4)問在一般分法中重復(fù)次。 解:(1)6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人可分三步完成:第一步從6本不同的書中任取2本給甲有種不同的分法。第二從剩余的4本不同的書中任取2本給乙有種不同的分法,最后把剩余的2本不同的書給丙有種不同 的分法,根據(jù)乘法原理總共有:(種) ∴6本不同的書,平均分給甲、乙、丙三人總共有90種不同的分法。 (2)假設(shè)將6本不同的書分成三堆有x種方法。在每一種分法中,再把這三堆分別分給甲、乙、丙三人有種分法,根據(jù)乘法原理將6本不同的書平均分給3個人的不同分法有,從而:

13、 ∴(種) (3)從6本不同的書中任取1本放一堆,有種取法;再從剩下的5本書中任取2本放成一堆,有種不同的取法; 最后余下的3本書放成一堆,有種不同的取法,因為各堆書的數(shù)目互不相同,所以這種分堆方法與6本不同的書分給甲一本,乙二本,丙三本完全相同,所以這樣的分堆方法總數(shù)為:=60(種) ∴一堆1本,一堆2本,一堆3本,有60種不同的分法。 (4)如果將6本不同的書分給甲4本,乙1本,丙1本,共有種不同的分法。這里給乙第一本,丙第二本與給乙第二本,丙第一本是不同的分法。但作為分堆第一本書一堆、第二書一堆與第二本書一堆、第一本書一堆是相同的分法,所以分堆方法是:(種)或(種) ∴一堆4本

14、,另兩堆各1本的不同分法有15種。 注:這是一個偶數(shù)個元素平均分成幾組,且各組之間是無序的組合問題,一般重復(fù)次,解題時應(yīng)審清題意,弄清平均分組組數(shù)n,謹(jǐn)防重復(fù)而使解題出錯。 【同步練習(xí)】 1、在所有的三位數(shù)中,如果它的百位數(shù)字比十位數(shù)字大,十位數(shù)字比個位數(shù)字大,這樣的三位數(shù)共有( ) A、240個 B、210個 C、120個 D、108個 2、2名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護士的不同分配方法共有( ) A、6種 B、12種 C、18種 D、24種 3、有15個隊參加籃球賽,首輪平均分成三組進(jìn)行單循環(huán)賽,然后由各

15、組前2名共6個隊進(jìn)行單循環(huán)決賽,且規(guī)定同組的兩個隊不再賽第二場,則所進(jìn)行的比賽共有( ) A、42場 B、45場 C、22場 D、25場 4、圓周上有八個等分圓周點,以這些等分點為頂點的銳角三角形或鈍角三角形的個數(shù)是( ) A、16 B、24 C、32 D、48 5、如果把兩條異面直線看成“一對”,那么六棱錐的棱所在內(nèi)的12條直線中,異面直線共有( ) A、12對 B、24對 C、36對 D、48對 6、某年級有6個班,分別派3名語文教師任教,每個教師教2個班,不同的任課方法的種數(shù)為( ) A、 B、 C、 D、

16、 7、假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)在從中任意抽取5件,其中至少有2件是次品的抽法有( ) A、 B、 C、 D、 8、從某班學(xué)生中,選出四個組長的不同選法有x種,選出正副班長各一名的不同選法有y種,若x:y=13:2,則該班學(xué)生人數(shù)是( ) A、22 B、20 C、15 D、10 9、四不同的小球全部隨意放入三個不同的盒子,使每個盒子都不空的放法為( ) A、 B、 C、 D、 10、5項不同的工程由3個工程隊全部承包下來,每隊至少承包一項,則不同的承包方案有( ) A、420種 B、240種

17、 C、150種 D、90種 11、整數(shù)360的正約數(shù)(包括1和360)共有 個。 12、以正方體的頂點為棱錐的頂點,可作 個棱錐。 13、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選出5人組成一個醫(yī)療小組,如果醫(yī)療小組中要求至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生,則有 種不同的選法。 14、圓周上有20個點,過任意兩點連結(jié)一條弦,這些弦在圓內(nèi)的交點最多只能有 個。 15、某電子器件的電路中有6個焊接點,只要有一個焊接點脫落,整個電路就不通,今發(fā)現(xiàn)電路不通,求焊接點脫落的可能性有多少? 16、晚會由3個歌曲,2個舞蹈和4個曲藝節(jié)目組成,要求第一個節(jié)目為歌曲,結(jié)尾是曲藝,且每兩個曲藝節(jié)目不相鄰

18、,問能安排多少種不同的節(jié)目順序表? 17、9名同學(xué)分成三組: ①每組3人,有多少種不同的分組方法? ②每組3人,且這三組同學(xué)分別參加文藝、體育和科技活動小組,有多少種不同的分組方法? ③若第一組5人,其余兩組各2人有多少種不同的分組方法? 18、求證: 【練習(xí)答案】 1、C 2、B 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、C 9、A 10、C 提示: 1、有“0”的三位數(shù): 無“0”的三位數(shù): 故共有(個) 錯誤解法: 主要對有“0”無“0”的情況不同沒有深刻理解。 2、 3、首輪比賽場,第二輪比賽場,故共有42場

19、比賽。 4、(采用“逆向思維法”,若兩等分點連線是)直徑,則所對圓周角是直角不符。 5、每一條側(cè)棱與底面4條邊組成“4對”,共六條側(cè)棱,故共有: 6、 7、有兩種情況:3件正品,2件次品;2件正品,3件次品。注意分類的不重不漏。 8、設(shè)共有學(xué)生n人。 9、注意三個盒子內(nèi)的球數(shù)只有分別有2,1,1個這一種情況故共有(種)不同放法。 錯誤解法:,見例9第(4)問已有詳細(xì)分析解答。 10、工程隊承包項目分別為2,2,1項和3,1,1項兩種情況。 故共有方案:(種) 11、 故約數(shù)中對2,3,5的取法個數(shù)分別討論如下: 對2可取0,1,2,3個4種情況; 對3可取0,1,

20、2個3種情況; 對5可取0,1個2種情況; 由乘法原理,故有正約數(shù)(包括1和360)共有:(個) 12、可構(gòu)成三棱錐或四棱錐。 ①從正方體的頂點中任取4個有種,其中表面和對角面上4點共面,不構(gòu)成三棱錐,這樣的4點組共12組,故可構(gòu)成個三棱錐。 ②先定底面,再定頂點,共有個四棱錐,故共可構(gòu)成58+48=106個棱錐。 13、分2名男醫(yī)生,3名女醫(yī)生:與3名男醫(yī)生,2名女醫(yī)生:兩種情況。 ∴共有(種)不同的選法。 錯誤答案:產(chǎn)生了不少重復(fù)計數(shù)。 14、運用“對應(yīng)思想”,一個交點對應(yīng)著一個圓內(nèi)接四邊形,當(dāng)這些交點均不重合時,最多有(個) 15、共有(種)可能。 16、第一個節(jié)目有種排法; 結(jié)尾節(jié)目有種排法; 還剩下的2個歌曲和2個舞蹈有種排法; 還有3個曲藝節(jié)目要求不相鄰,用“插空法”排,把它們插在第一,第二,第三,第四,第五這五個節(jié)目之間的空擋中,有種插法,由乘法原理共有=6912(種)。 17、①(種) ②(種) ③(種) 18、證明:(1)

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