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2022年高三數(shù)學(xué) 第80課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教案

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2022年高三數(shù)學(xué) 第80課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教案

2022年高三數(shù)學(xué) 第80課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教案 教學(xué)目標(biāo):理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號);會(huì)求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值. (一) 主要知識及主要方法: 利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟: 求;確定在內(nèi)符號;若在上恒成立,則在上是增函數(shù);若在上恒成立,則在上是減函數(shù) ①為增函數(shù)(為減函數(shù)). ②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立; 在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. 極大值: 一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義,如果對附近的所有的點(diǎn),都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極大值,記作極大值,是極大值點(diǎn). 極小值:一般地,設(shè)函數(shù)在附近有定義,如果對附近的所有的點(diǎn),都有就說是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作極小值,是極小值點(diǎn). 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 在定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點(diǎn): ()極值是一個(gè)局部概念由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小. ()函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個(gè). ()極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn),而>. ()函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn). 當(dāng)在點(diǎn)連續(xù)時(shí),判別是極大、極小值的方法: 若滿足,且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則是的極值點(diǎn),是極值,并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則是的極大值點(diǎn),是極大值;如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則是的極小值點(diǎn),是極小值. 求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟: 確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)求方程的根 用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號,如果左正右負(fù),那么在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號,那么在這個(gè)根處無極值.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo),也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn) . 函數(shù)的最大值和最小值: 一般地,在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值. 說明:在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如函數(shù)在內(nèi)連續(xù),但沒有最大值與最小值; 函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的;函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的. 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件. 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能沒有一個(gè). 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,就可以得出函數(shù)的最值了. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則求在上的最大值與最小值的步驟如下:求在內(nèi)的極值; 將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p 求參數(shù)范圍的方法:①分離變量法;②構(gòu)造(差)函數(shù)法. 構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的常用方法:構(gòu)造時(shí)要注意四變原則:變具體為抽象,變常量為變量,變主元為輔元,變分式為整式. 通過求導(dǎo)求函數(shù)不等式的基本思路是:以導(dǎo)函數(shù)和不等式為基礎(chǔ),單調(diào)性為主線,最(極值)為助手,從數(shù)形結(jié)合、分類討論等多視角進(jìn)行綜合探索. (二)典例分析: 問題1.(屆云南平遠(yuǎn)一中五模)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),其圖象如圖所示,記的導(dǎo)函數(shù)為,則不等式的解集為 已知,的反函數(shù)為,則 (大連一模)設(shè)均是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), ,且,則不等式的解集是 問題2.如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,并且方程的根都在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍為 (屆高三浙江上虞市調(diào)研)已知,那么 在區(qū)間上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 函數(shù), (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值; (Ⅱ)若關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍. (Ⅲ)已知當(dāng)時(shí),≥恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 問題3.(天津)已知函數(shù),其中. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值. 問題4.(湖北)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù),,其中.設(shè)兩曲線,有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.(Ⅰ)用表示,并求的最大值;(Ⅱ)求證:≥(). 問題5.利用導(dǎo)數(shù)求和: (, ). (). (三)課后作業(yè): 已知函數(shù),則方程在區(qū)間上的根有 個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè) (鄭州一中等四校聯(lián)考)若函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足不等式 恒成立,且常數(shù)滿足,則下列不等式一定成立的是 求滿足條件的的范圍: 使為上增函數(shù),則的范圍是 使為上增函數(shù),則的范圍是 使為上增函數(shù),則的范圍是 證明方程在上至多有一實(shí)根. (屆高三陜師大附中八模)如果是二次函數(shù), 且的圖象開口向上, 頂點(diǎn)坐標(biāo)為, 那么曲線上任一點(diǎn)的切線的傾斜角的取值范圍是 (屆廈門雙十中學(xué)高三月考)如圖,是函數(shù) 的大致圖像,則等于 (天津)函數(shù)的定義域是開區(qū)間, 導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn) 個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè) (屆高三哈爾濱第三中學(xué)第一次月考) 函數(shù)的圖象如圖所示, 且,則有 已知:,證明不等式: 設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,試確定的取值范圍,并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間 (屆高三福建質(zhì)檢)已知函數(shù)在處取得極值.求實(shí)數(shù)的值;若關(guān)于的方程 在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立. (四)走向高考: (陜西)是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足≤. 對任意正數(shù),若,則必有 ≤ ≤ ≤ ≤ (江蘇)已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,,對于任意實(shí)數(shù),有≥,則的最小值為 (全國)函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) (重慶)曲線在點(diǎn)處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為,則 (全國)已知是正整數(shù)且,求證: (重慶)已知函數(shù)在處取得極值,其中為常數(shù).(Ⅰ)試確定的值;(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅲ)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍. (海南)設(shè)函數(shù) (Ⅰ)若當(dāng)時(shí),取得極值,求的值,并討論的單調(diào)性; (Ⅱ)若存在極值,求的取值范圍,并證明所有極值之和大于. (全國Ⅰ)設(shè)函數(shù). (Ⅰ)證明:的導(dǎo)數(shù); (Ⅱ)若對所有都有,求的取值范圍. (全國Ⅱ文)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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