《高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時作業(yè)(十八)空間向量的數(shù)量積運算 新人教B版選修2-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時作業(yè)(十八)空間向量的數(shù)量積運算 新人教B版選修2-1(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時作業(yè)(十八)空間向量的數(shù)量積運算 新人教B版選修2-1
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題:
①(++)2=32;②·(-)=0;③與的夾角為60°.其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析:①,②均正確;③不正確,因為與夾角為120°.
答案:B
2.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點,則·的值為( )
A.a(chǎn)2 B.a2 C.a2 D.a2
解析:·=(+)·=(·+·)
==a2.
答案:C
3.已知四邊形ABCD
2、為矩形,PA⊥平面ABCD,連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積不為零的是( )
A.與 B.與
C.與 D.與
解析:可用排除法.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,·=0,排除D.又因為AD⊥AB,所以AD⊥PB,所以·=0,同理·=0,排除B,C,故選A.
答案:A
4.設(shè)A,B,C,D是空間中不共面的四點,且滿足·=0,·=0,·=0,則△BCD是( )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.不確定
解析:·=(-)·(-)=·-·-·+2=2>0,
同理,可證·>0,·>0.
所以△BCD的每個內(nèi)角均為銳角,故△
3、BCD是銳角三角形.
答案:B
5.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,對角線AC1和BD1相交于點O,則有( )
A.·=2a2
B.·=a2
C.·=a2
D.·=a2
解析:∵·=·=·(++)
=(2+·+·)=2=||2=a2.
答案:C
6.在空間四邊形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為( )
A. B. C.- D.0
解析:如圖所示,
∵·=·(-)=·-·
=||||·cos∠AOC-||·||·cos∠AOB=0,
∴⊥,∴〈,〉=,cos〈,〉=0.
答案:D
7.設(shè)向量a與b互相
4、垂直,向理c與它們構(gòu)成的角是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,則(a+3c)·(3b-2a)=__________.
解析:(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-62.
答案:-62
8.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量,,兩兩夾角均為60°,且||=1,||=2,||=3,則||=________.
解析:由于=++,
∴||2=(++)2=
||2+||2+||2+2(·+·+·)
=12+22+32+2
=25,故||=5.
答案:5
9.已知a,b是異面直線,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且
5、AB=2,CD=1,則a,b所成的角是________.
解析:=++,
∴·=·(++)=||2=1,
∴cos〈,〉==,
∴異面直線a,b所成角是60°.
答案:60°
B組 能力提升
10.已知非零向量a,b,c,若p=++,那么|p|的取值范圍( )
A.[0,1] B.[1,2]
C.[0,3] D.[1,3]
解析:p2=2=3+2≤3+2×3=9,∴0≤|p|≤3.
答案:C
11.在四面體OABC中,棱OA、OB、OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G為△ABC的重心,則·(++)=________.
解析:由已知·=·=·=0,
6、且=,
故·(++)=(++)2=(||2+||2+||2)=(1+4+9)=.
答案:
12.如圖,正四面體V-ABC的高VD的中點為O,VC的中點為M.
(1)求證:AO,BO,CO兩兩垂直;
(2)求〈,〉.
解:(1)證明:設(shè)=a,=b,=c,正四面體的棱長為1,
則=(a+b+c),=(b+c-5a),
=(a+c-5b),=(a+b-5c),
所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)
=(18×1×1×cos60°-9)=0,
所以⊥,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO兩兩垂直.
(2)
7、解:=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),
所以||==.
又||==,
·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,
所以cos〈,〉==.
又〈,〉∈[0,π],所以〈,〉=.
13.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為.
(1)設(shè)側(cè)棱長為1,求證:AB1⊥BC1;
(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為,求側(cè)棱的長.
解:
(1)證明:=+,=+.
∵BB1⊥平面ABC,∴·=0,·=0.
又△ABC為正三角形,∴〈,〉=π-〈,〉=π-=.
∵·=(+)·(+)=·+·+2+·
=||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0,
∴AB1
8、⊥BC1.
(2)由(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1.
又||===||,
∴cos〈,〉==,
∴||=2,即側(cè)棱長為2.
14.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對角線AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時B,D間的距離.
解析:∵∠ACD=90°,∴·=0.
同理·=0.
∵AB與CD成60°角,
∴〈,〉=60°或〈,〉=120°.
又=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=3+2×1×1×cos〈,〉
∴當(dāng)〈,〉=60°時,||2=4,此時B,D間的距離為2;
當(dāng)〈,〉=120°時,||2=2,
此時B,D間的距離為.