高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 課時(shí)作業(yè)（十八）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 新人教B版選修2-1 1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下列命題： ①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③與的夾角為60°.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．0 解析：①，②均正確；③不正確，因?yàn)榕c夾角為120°. 答案：B 2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為(　　) A．a(chǎn)2 B.a2 C.a2 D.a2 解析：·＝(＋)·＝(·＋·) ＝＝a2. 答案：C 3．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是(　　) A.與 B.與 C.與 D.與 解析：可用排除法．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因?yàn)锳D⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故選A. 答案：A 4．設(shè)A，B，C，D是空間中不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD是(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定 解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0， 同理，可證·＞0，·＞0. 所以△BCD的每個(gè)內(nèi)角均為銳角，故△BCD是銳角三角形． 答案：B 5．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，對(duì)角線AC1和BD1相交于點(diǎn)O，則有(　　) A.·＝2a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 解析：∵·＝·＝·(＋＋) ＝(2＋·＋·)＝2＝||2＝a2. 答案：C 6．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為(　　) A.　B. C．－ D．0 解析：如圖所示， ∵·＝·(－)＝·－· ＝||||·cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0， ∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0. 答案：D 7．設(shè)向量a與b互相垂直，向理c與它們構(gòu)成的角是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，則(a＋3c)·(3b－2a)＝__________. 解析：(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62. 答案：－62 8．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，兩兩夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||＝________. 解析：由于＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝ ||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋32＋2 ＝25，故||＝5. 答案：5 9．已知a，b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a，b所成的角是________． 解析：＝＋＋， ∴·＝·(＋＋)＝||2＝1， ∴cos〈，〉＝＝， ∴異面直線a，b所成角是60°. 答案：60° B組　能力提升 10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范圍(　　) A．[0,1] B．[1,2] C．[0,3] D．[1,3] 解析：p2＝2＝3＋2≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3. 答案：C 11．在四面體OABC中，棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則·(＋＋)＝________. 解析：由已知·＝·＝·＝0， 且＝， 故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝. 答案： 12．如圖，正四面體V－ABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M. (1)求證：AO，BO，CO兩兩垂直； (2)求〈，〉． 解：(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，正四面體的棱長(zhǎng)為1， 則＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2) ＝(18×1×1×cos60°－9)＝0， 所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO兩兩垂直． (2)解：＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝. 又||＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 13．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為. (1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1； (2)設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長(zhǎng)． 解： (1)證明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0. 又△ABC為正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋· ＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0， ∴AB1⊥BC1. (2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝＝||， ∴cos〈，〉＝＝， ∴||＝2，即側(cè)棱長(zhǎng)為2. 14．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時(shí)B，D間的距離． 解析：∵∠ACD＝90°，∴·＝0. 同理·＝0. ∵AB與CD成60°角， ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉 ∴當(dāng)〈，〉＝60°時(shí)，||2＝4，此時(shí)B，D間的距離為2； 當(dāng)〈，〉＝120°時(shí)，||2＝2， 此時(shí)B，D間的距離為.