2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù) 第9課時(shí) 函數(shù)與方程教學(xué)案 基礎(chǔ)過關(guān) 一元二次函數(shù)與一元二次方程（以后還將學(xué)習(xí)一元二次不等式）的關(guān)系一直是高中數(shù)學(xué)函數(shù)這部分內(nèi)容中的重點(diǎn)，也是高考必考的知識(shí)點(diǎn)．我們要弄清楚它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 2．函數(shù)與方程 兩個(gè)函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 3．二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的區(qū)間，則必有，再取區(qū)間的中點(diǎn)，再判斷的正負(fù)號(hào)，若，則根在區(qū)間中；若，則根在中；若，則即為方程的根．按照以上方法重復(fù)進(jìn)行下去，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的近似值相同（且都符合精確度要求），即可得一個(gè)近似值． 典型例題 例1.（1）若，則方程的根是( ) A． B．－ C．2 D．－2 解：A． （2）設(shè)函數(shù)對(duì)都滿足,且方程恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這6個(gè)實(shí)根的和為（ ） A．0 B．9 C．12 D．18 解：由知的圖象有對(duì)稱軸，方程的6個(gè)根在 軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，依次設(shè)為，故6個(gè)根的和為18，答案為D． （3）已知，（、、∈R），則有（ ） A． B． C． D． 解法一：：依題設(shè)有 ∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根； ∴△＝≥0 ∴，答案為B． 解法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：＋＝20． ∴，答案為B． （4）關(guān)于的方程 的兩個(gè)實(shí)根 、 滿足 ，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 解：設(shè)，則， 即：，解得：． （5）若對(duì)于任意，函數(shù)的值恒大于零,　則的取值范圍是 解：設(shè)，顯然， 則，即，解得：． 變式訓(xùn)練1： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 解：D 例2.設(shè)依次是方程,， 的實(shí)數(shù)根，試比較的大小 ． 解：在同一坐標(biāo)內(nèi)作出函數(shù)，，的圖象 從圖中可以看出， 又，故 變式訓(xùn)練2：已知函數(shù)滿足，且∈[－1,1]時(shí)，，則與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解：由知故是周期為2的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，可以看出，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4． 例3. 已知二次函數(shù)為常數(shù)，且 滿足條件：，且方程有等根. （1）求的解析式； （2）是否存在實(shí)數(shù)、，使定義域和值域分別為［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由. 解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ． 由知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，得， 故 ． （2），∴4n1，即 而拋物線的對(duì)稱軸為 ∴時(shí)，在［m，n］上為增函數(shù). 若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則， 又， ∴，這時(shí)定義域?yàn)椋郇C2，0］，值域?yàn)椋郇C8，0］. 由以上知滿足條件的m、n存在， ． 變式訓(xùn)練3：已知函數(shù) (. （1）求證：在(0,+∞)上是增函數(shù)； （2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范圍； （3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范圍. 解：（1）證明 任取 ∵，∴，， ∴，即，故在(0,+∞)上是增函數(shù). （2）解： ∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ∴ 在（0，+∞）上恒成立， 令，當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取等號(hào) 要使在(0,+∞)上恒成立，則 故的取值范圍是［,+∞)． （3）解： 由（1）在定義域上是增函數(shù). ∴，即， 故方程有兩個(gè)不相等的正根m，n，注意到， 故只需要(,由于，則 ． 例4．若函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 解：令，得：，∵ ，∴ ，即． 變式訓(xùn)練4：對(duì)于函數(shù)，若存在∈R,使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn). 已知函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求的不動(dòng)點(diǎn)； （2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍； 解：（1）當(dāng)時(shí)， 由題意可知，得 故當(dāng)當(dāng)時(shí)，的不動(dòng)點(diǎn) ． （2）∵恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， ∴， 即恒有兩相異實(shí)根 ∴恒成立. 于是解得 故當(dāng)b∈R，恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，. 小結(jié)歸納 本節(jié)主要注意以下幾個(gè)問題： 1．利用函數(shù)的圖象求方程的解的個(gè)數(shù)； 2．一元二次方程的根的分布； 3．利用函數(shù)的最值解決不等式恒成立問題