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2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.通過實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念; 2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式; 3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 二.命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位,是高考出題的重點(diǎn)??陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用,對基本的運(yùn)算要求比較高,解答題大多以數(shù)列知識為工具。 預(yù)測07年高考對本講的考察為: (1)題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的

2、1~2道客觀題目; (2)關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題或知識交匯題的解答題也是重點(diǎn); (3)解決問題時注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用,象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等,它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。 三.要點(diǎn)精講 1.等比數(shù)列定義 一般地,如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;公比通常用字母表示,即::數(shù)列對于數(shù)列(1)(2)(3)都是等比數(shù)列,它們的公比依次是2,5,。(注意:“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零) 2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式為:。 說

3、明:(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道:當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列;(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知:若為等比數(shù)列,則。 3.等比中項(xiàng) 如果在中間插入一個數(shù),使成等比數(shù)列,那么叫做的等比中項(xiàng)(兩個符號相同的非零實(shí)數(shù),都有兩個等比中項(xiàng))。 4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 一般地,設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是,當(dāng)時, 或;當(dāng)q=1時,(錯位相減法)。 說明:(1)和各已知三個可求第四個;(2)注意求和公式中是,通項(xiàng)公式中是不要混淆;(3)應(yīng)用求和公式時,必要時應(yīng)討論的情況。 四.典例解析 題型1:等比數(shù)列的概念 例1.“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”;“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”;

4、“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”;“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”,以上四個命題中,正確的有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析:四個命題中只有最后一個是真命題。 命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列; 命題2中可知an+1=an×,an+1an,即an+1>an,此時該數(shù)列為遞增數(shù)列; 命題3中,若a=b=0,c∈R,此時有,但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列,所以應(yīng)是必要而不充分條件,若將條件改為b=,則成為不必要也不充分條件。

5、 點(diǎn)評:該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論,為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例2.命題1:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列; 命題2:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a≠0),則數(shù)列{an}是等差數(shù)列; 命題3:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na-n,則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;上述三個命題中,真命題有( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 解析: 由命題1得,a1=a+b,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(a-1)·

6、an-1。若{an}是等比數(shù)列,則=a,即=a,所以只有當(dāng)b=-1且a≠0時,此數(shù)列才是等比數(shù)列。 由命題2得,a1=a+b+c,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2na+b-a,若{an}是等差數(shù)列,則a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有當(dāng)c=0時,數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。 由命題3得,a1=a-1,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=a-1,顯然{an}是一個常數(shù)列,即公差為0的等差數(shù)列,因此只有當(dāng)a-1≠0;即a≠1時數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。 點(diǎn)評:等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系,上述三個命題均涉及到Sn與an的關(guān)系,它們是an=,正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列

7、或等比數(shù)列,都必須用上述關(guān)系式,尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個命題都不是真命題,選擇A。 題型2:等比數(shù)列的判定 例3.(xx全國理,20)(Ⅰ)已知數(shù)列{cn},其中cn=2n+3n,且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列,求常數(shù)p;(Ⅱ)設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列,cn=an+bn,證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列。 解析:(Ⅰ)解:因?yàn)椋鹀n+1-pcn}是等比數(shù)列, 故有:(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1), 將cn=2n+3n代入上式,得: [2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+

8、1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)], 即[(2-p)2n+(3-p)3n]2 =[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][(2-p)2n-1+(3-p)3n-1], 整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3。 (Ⅱ)證明:設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q,p≠q,cn=an+bn。 為證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3。 事實(shí)上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq, c1·c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2), 由于p≠q,p

9、2+q2>2pq,又a1、b1不為零, 因此c22≠c1·c3,故{cn}不是等比數(shù)列。 點(diǎn)評:本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì),推理和運(yùn)算能力。 例4.(xx京春,21)如圖3—1,在邊長為l的等邊△ABC中,圓O1為△ABC的圖3—1 內(nèi)切圓,圓O2與圓O1外切,且與AB,BC相切,…,圓On+1與圓On外切,且與AB、BC相切,如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an(n∈N*),證明{an}是等比數(shù)列; 證明:記rn為圓On的半徑,則r1=tan30°=。=sin30°=,所以rn=rn-1(n≥2),于是a1=πr12=,故{an}成等比數(shù)列。 點(diǎn)評:該題考察實(shí)際問題的

10、判定,需要對實(shí)際問題情景進(jìn)行分析,最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。 題型3:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 例5.一個等比數(shù)列有三項(xiàng),如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列,如果再把這個等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列,求原來的等比數(shù)列。 解析:設(shè)所求的等比數(shù)列為a,aq,aq2; 則2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32); 解得a=2,q=3或a=,q=-5; 故所求的等比數(shù)列為2,6,18或,-,。 點(diǎn)評:第一種解法利用等比數(shù)列的基本量,先求公比,后求其它量,這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法,其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用,缺點(diǎn)

11、是有時計(jì)算較繁。 例6.(xx年陜西卷)已知正項(xiàng)數(shù)列,其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng) 解析:∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3。 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2)。 當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73,a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴a1≠3; 當(dāng)a1=2時,,a3=12, a15=72,有 a32

12、=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3。 點(diǎn)評:該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系,最終求得結(jié)果。 題型4:等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例7.(1)(xx年遼寧卷)在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于( ) A. B. C. D. (2)(xx年北京卷)設(shè),則等于( ) A. B. C. D. (3)(1996全國文,21)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q;解析:(1)因數(shù)列為等比,則,因數(shù)列也是等比數(shù)列, 則 即,所以,故選擇答案C。

13、(2)D; (3)解:若q=1,則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。 因a1≠0,得S3+S6≠2S9,顯然q=1與題設(shè)矛盾,故q≠1。 由S3+S6=2S9,得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,從而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3≠1,故q3=-,所以q=-。 點(diǎn)評:對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式,對應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。 例8.(1)(xx江蘇,18)設(shè){an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3.分別求出{an}及{bn}的前10項(xiàng)的和S10及T10; (2

14、)(xx全國春季北京、安徽,20)在1與2之間插入n個正數(shù)a1,a2,a3……,an,使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個正數(shù)b1,b2,b3,……,bn,使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3……an,Bn=b1+b2+b3+……+bn. (Ⅰ)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng); (Ⅱ)當(dāng)n≥7時,比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論。 (3)(xx天津理,22)已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1=0,a2=3, an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…. (Ⅰ)求a3; (Ⅱ)證明an=an-2+2,n=3,4,5,…;

15、(Ⅲ)求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。 解析:(1)∵{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列, ∴a2+a4=2a3,b2b4=b32. 已知a2+a4=b3,b2b4=a3, ∴b3=2a3,a3=b32. 得 b3=2b32. ∵b3≠0 ∴b3=,a3=. 由a1=1,a3=知{an}的公差為d=, ∴S10=10a1+. 由b1=1,b3=知{bn}的公比為q=或q=. 當(dāng)q=時,, 當(dāng)q=時,。 (2)(Ⅰ)設(shè)公比為q,公差為d,等比數(shù)列1,a1,a2,……,an,2,等差數(shù)列1,b1,b2,……,bn,2。 則A1=a1=1·q A2=1·q·1

16、·q2 A3=1·q·1·q2·1·q3 又∵an+2=1·qn+1=2得qn+1=2, An=q·q2…qn=q(n=1,2,3…) 又∵bn+2=1+(n+1)d=2 ∴(n+1)d=1 B1=b1=1+d B2=b2+b1=1+d+1+2d Bn=1+d+…+1+nd=n (Ⅱ)An>Bn,當(dāng)n≥7時 證明:當(dāng)n=7時,23.5=8·=An Bn=×7,∴An>Bn 設(shè)當(dāng)n=k時,An>Bn,則當(dāng)n=k+1時, 又∵Ak+1=· 且Ak>Bk ∴Ak+1>·k ∴Ak+1-Bk+1> 又∵k=8,9,10… ∴Ak+1-Bk+1>0,綜上所述,An>

17、Bn成立. (3)(Ⅰ)解:由題設(shè)得a3a4=10,且a3、a4均為非負(fù)整數(shù),所以a3的可能的值為1,2,5,10. 若a3=1,則a4=10,a5=,與題設(shè)矛盾. 若a3=5,則a4=2,a5=,與題設(shè)矛盾. 若a3=10,則a4=1,a5=60,a6=,與題設(shè)矛盾. 所以a3=2. (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=3,a3=a1+2,等式成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時等式成立,即ak=ak-2+2,由題設(shè)ak+1ak=(ak-1+2)·(ak-2+2),因?yàn)閍k=ak-2+2≠0,所以ak+1=ak-1+2, 也就是說,當(dāng)n=k+1時,等式ak+1=ak-1+2成立

18、; 根據(jù)①和②,對于所有n≥3,有an+1=an-1+2。 (Ⅲ)解:由a2k-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及a2k=a2(k-1)+2,a2=3得a2k-1=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3,…,即an=n+(-1)n,n=1,2,3,…。 所以Sn= 點(diǎn)評:本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識,以及準(zhǔn)確表述,分析和解決問題的能力。 題型5:等比數(shù)列的性質(zhì) 例9.(1)(xx江蘇3)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=3,前三項(xiàng)和為21,則a3+a4+a5=( ) (A)33 (B)72 (C)84

19、 (D)189 (2)(xx上海,12)在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式 成立。 解析:(1)答案:C;解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。 (2)答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*); 解:在等差數(shù)列{an}中,由a10

20、=0,得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, 所以a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1 ∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n, 若a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+a17-n, 相應(yīng)地等比數(shù)列{bn}中,則可得:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)。 點(diǎn)評:本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。 例10.(1)設(shè)首項(xiàng)為

21、正數(shù)的等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為80,前2n項(xiàng)和為6560,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。 (2)在和之間插入n個正數(shù),使這個數(shù)依次成等比數(shù)列,求所插入的n個數(shù)之積。 (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍,且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍,問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大?(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,依題意設(shè):a1>0,Sn=80 ,S2n=6560。 ∵S2n≠2Sn ,∴q≠1; 從而 =80,且=6560。 兩式相除得1+qn=82

22、,即qn=81。 ∴a1=q-1>0 即q>1,從而等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)。 ∴a1qn-1=54,從而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54。 ∴qn-1=81-54=27 ∴q==3。 ∴a1=q-1=2 故此數(shù)列的首為2,公比為3。 (2)解法1:設(shè)插入的n個數(shù)為,且公比為q, 則 。 解法2:設(shè)插入的n個數(shù)為, 。 (3)解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*, 依題意有:, 化簡得, 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn, 則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…

23、+(n-1) =nlga1+n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)-n(n-1)lg3 =(-)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見,當(dāng)n=時,Sn最大, 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大, 解法二 接前,,于是lgan=lg[108()n-1]=lg108+(n-1)lg, ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng),以lg為公差的等差數(shù)列, 令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0, ∴n≤=5.5, 由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大。 點(diǎn)評:第一種解法利用等比數(shù)列的基本量,先求公比,后求其它量,這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法,其優(yōu)

24、點(diǎn)是思路簡單、實(shí)用,缺點(diǎn)是有時計(jì)算較繁;第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì),與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等,這在解題中常用到。 題型6:等差、等比綜合問題 例11.(xx年廣東卷)已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9,無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。 (Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比; (Ⅱ)對給定的,設(shè)是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。 解析:(Ⅰ)依題意可知:, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。 點(diǎn)評:對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題,一定要區(qū)分開各自的公式,不要混淆。 五.思維總結(jié) 1.等比數(shù)列的知識要點(diǎn)(可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)) (

25、1)掌握等比數(shù)列定義=q(常數(shù))(nN),同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù),也可由an·an+2=來判斷; (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1·qn-1; (3)對于G 是a、b 的等差中項(xiàng),則G2=ab,G=±; (4)特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q=1與q≠1兩類,當(dāng)q=1時,Sn=na1,當(dāng)q≠1時,Sn=,Sn=。 2.等比數(shù)列的判定方法 ①定義法:對于數(shù)列,若,則數(shù)列是等比數(shù)列; ②等比中項(xiàng):對于數(shù)列,若,則數(shù)列是等比數(shù)列。 3.等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系:如果是等比數(shù)列的第項(xiàng),是等差數(shù)列的第項(xiàng),且,公比為,則有; ②對于等比數(shù)列,若,則,也就是:,如圖所示:。 ③若數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)的和,,那么,,成等比數(shù)列。 如下圖所示:

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