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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.3 圓的方程教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　求圓的方程 【例1】求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(－1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程. 【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為(－，－)， 由已知得即 解得 D＝0，E＝－2，F(xiàn)＝－9，所求圓的方程為x2＋y2－2y－9＝0. 方法二：經(jīng)過(guò)A(－1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上， AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 令x＝0，y＝1，圓心為(0,1)，r＝＝ ， 圓的方程為x2＋(y－1)2＝10. 【

2、點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個(gè)參數(shù)，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件. 【變式訓(xùn)練1】已知一圓過(guò)P(4，－2)、Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求圓的方程. 【解析】設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得 令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的兩根. 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤ 解②、③、⑤組成的方程組，得 D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12或D＝－10，E＝－8，F(xiàn)＝4，

3、 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 題型二　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 【例2】若實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值. 【解析】(1)＝，即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率，因此的最值為過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率，設(shè)＝k，y＝kx，kx－y＝0. 由＝，得k＝±，所以的最大值為，的最小值為－. (2)令x－2＝cos α，y＝sin α，α∈[0,2π). 所以y－x＝sin α－cos α－2＝sin(α－)－2， 當(dāng)

4、sin(α－)＝－1時(shí)，y－x的最小值為－－2. (3)(x－4)2＋(y－3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方，因?yàn)閳A心為A(2,0)，B(4,3)， 連接AB交圓于C，延長(zhǎng)BA交圓于D. |AB|＝＝，則|BC|＝－，|BD|＝＋， 所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值為(＋)2，最小值為(－)2. 【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：①形如U＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動(dòng)圓半徑的最值問(wèn)題. 【變式訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝3(y≥0).

5、試求m＝及b＝2x＋y的取值范圍. 【解析】如圖，m可看作半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(－3，－1)連線的斜率，b可以看作過(guò)半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點(diǎn)且斜率為－2的直線的縱截距. 由圖易得≤m≤，－2≤b≤. 題型三　圓的方程的應(yīng)用 【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C. (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍； (2)求圓C的方程； (3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)， 由題意b≠0，且Δ＞0，解得

6、b＜1且b≠0. (2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝－b－1. 所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圓C必過(guò)定點(diǎn)，證明如下： 假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程， 并變形為x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*) 為使(*)式對(duì)所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，必須有1－y0＝0， 結(jié)合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝

7、0， 解得或 經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(－2,1)均在圓C上，因此圓C過(guò)定點(diǎn). 【點(diǎn)撥】本題(2)的解答用到了代數(shù)法求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想，同時(shí)問(wèn)題體現(xiàn)了較強(qiáng)的探究性. 【變式訓(xùn)練3】(xx安徽)動(dòng)點(diǎn)A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(，)，則當(dāng)0≤t≤12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12] 【解析】選D.由題意知角速度為＝，故可得y＝sin(t＋),0≤t≤12， ≤t＋≤或π≤t＋≤π，所以0≤t≤1或7≤t≤12. 所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12]. 總結(jié)提高 1.確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法.一般來(lái)講，條件涉及圓上的多個(gè)點(diǎn)，可選擇一般方程；條件涉及圓心和半徑，可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.解決與圓有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義，借助于平面幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問(wèn)題.