《九年級數學 第4講 二次函數探究-二次函數與平行四邊形的綜合問題教案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《九年級數學 第4講 二次函數探究-二次函數與平行四邊形的綜合問題教案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、九年級數學 第4講 二次函數探究-二次函數與平行四邊形的綜合問題教案 復習預習 二次函數與平行四邊形的綜合問題 知識點 二次函數綜合；平行四邊形的性質及判定； 教學目標 1. 熟練運用所學知識解決二次函數綜合問題 2．靈活運用數形結合思想 教學重點 巧妙運用數形結合思想解決綜合問題； 教學難點 靈活運用技巧及方法解決綜合問題； 復習預習 ③平行四邊形兩組對角分別相等； ④平行四邊形的對角線互相平分； 3. 判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； ②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

2、③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； ④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； ⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； 知識講解 考點1 二次函數的基礎知識 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數且a≠0），那么y叫做x的二次函數，它是關于自變量的二次式，二次項系數必須是非零實數時才是二次函數，這也是判斷函數是不是二次函數的重要依據．當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數． 2.二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的

3、坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（－，）．對于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點． 考點2 探究平行四邊形的一般思路 在探究平行四邊形的存在性問題時，具體方法如下： （1）假設結論成立； （2）探究平行四邊形存在問題一般是已知平行四邊形的3個頂點，再去求另外一個頂點，具體方法有兩

4、種： 第一種是：①從給定的3個頂點中任選2個定點確定的線段作為探究平行四邊形的邊或對角線分別作出平行四邊形；②根據題干要求找出符合條件的平行四邊形； 第二種是：①以給定的3個定點兩兩組合成3條線段，分別以這3條線段為對角線作出平行四邊形；②根據題干要求找出符合條件的平行四邊形； （3）建立關系式，并計算；根據以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質進行計算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性質進行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯立方程組，由方程組的解為交點坐標的方法求解。例題精析 例1如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A

5、(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三點． （1）求拋物線的解析式； （2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MAB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值； （3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標． 例2如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D． （1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸； （2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，

6、過點P作PF//DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m． ①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？ ②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系． 例3如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2． （1）求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數表達式； （2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值； A （3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的

7、F點坐標；如果不存在，請說明理由． 例4如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（-3,0），點B（1,0），交y軸于點E（0，-3），點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行，直線y=-x+m過點C，交y軸于點D. （1）求拋物線的函數表達式； （2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值； A x B C D H E F G K O x y l A B C D H E F G K O y l 備用圖 圖① （3）在直線l

8、上取點M，在拋物線上取點N，使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標. 課程小結 有針對性的對平行四邊形的性質及判定與二次函數的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數與平行四邊形的綜合問題提供有利的依據。在探究二次函數與平行四邊形的綜合問題時，抓住已有的信息及條件在函數圖像中構造出平行四邊形，并能運用平行四邊形的性質解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關鍵。 例1【規(guī)范解答】(1) 因為拋物線與x軸交于A(－4,0)、C(2,0)兩點，設y＝a(x＋4)(x－2)．代入點B(0,－4

9、)，求得． 所以拋物線的解析式為． (2)如圖2， 直線AB的解析式為y＝－x－4．過點M作x軸的垂線交AB于D，那么． 所以．因此當時，S取得最大值，最大值為4． (3) 如果以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論： 當OB為一邊時，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．設點Q的坐標為，點P的坐標為． ①當點P在點Q上方時，．解得． 此時點Q的坐標為（如圖3），或（如圖4）． ②當點Q在點P上方時，． 解得或（與點O重合，舍去）．此時點Q的坐標為(－4,4) （如圖5）． 圖3

10、 圖4 圖5 當OB為對角線時，PQ、OB互相平分，PB//OQ（如圖6），此時點Q的坐標為(4,－4) 圖6 【總結與反思】 1．求拋物線的解析式，設交點式比較簡便． 2．把△MAB分割為共底MD的兩個三角形，高的和為定值OA． 3．當PQ與OB平行且相等時，以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形，按照P、Q的上下位置關系，分兩種情況列方程． 例2【規(guī)范解答】（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．拋物線的對稱軸是x＝1． （2）①直線BC的解析式為y＝－x＋3． 把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以點E

11、的坐標為（1，2）． 把x＝1代入，得y＝4．所以點D的坐標為（1，4）．因此DE=2． 因為PF//DE，點P的橫坐標為m，設點P的坐標為，點F的坐標為， 因此． 當四邊形PEDF是平行四邊形時，DE=FP．于是得到．解得，（與點E重合，舍去）． 因此，當m=2時，四邊形PEDF是平行四邊形時． ②設直線PF與x軸交于點M，那么OM+BM=OB=3．因此 ．m的變化范圍是0≤m≤3． 圖2 圖3 【總結與反思】 1．數形結合，用函數的解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．

12、 2．當四邊形PEDF為平行四邊形時，根據DE=FP列關于m的方程． 3．把△BCF分割為兩個共底FP的三角形，高的和等于OB． 例3【規(guī)范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），將C點的橫坐標x=2， 代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線AC的函數解析式是：y=﹣x﹣1； （2）設P點的橫坐標為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）， ∵P點在E點的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴當x=時，P

13、E的最大值=； （3）存在4個這樣的點F，分別是：F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）． ①如圖1， 連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（﹣3，0）； ②如圖2， AF=CG=2，A點的坐標為（﹣1，0），因此F點的坐標為（1，0）；因此F點的坐標為（1，0）； ③如圖3， 此時C，G兩點的縱坐標關于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中，即可得出G點的坐標為（1±，3）， 由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為：y=﹣x+h，將G點代入后， 可得出直線的解析式為：y=

14、﹣x+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標為：（4+，0）； ④如圖4， 同③可求出F的坐標為：（4﹣，0）；綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點． 【總結與反思】 1. 拋物線與x軸的交點即為A和B，再將A和C帶入求解直線方程。 2. 將點P和點E坐標設出后，求解最大值。 3. 將已知AC邊作為邊或者對角線分類討論求出點坐標。 例4【規(guī)范解答】（1）設拋物線的函數表達式為y=a(x-1)(x+3). ∵拋物線交y軸于點E（0，-3），將該點坐標代入得a=1,∴拋物線的函數表達式為y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. (2) ∵點C是點A關于點B的對稱點，點A

15、的坐標為（-3,0），點B的坐標（1,0），∴點C的坐標（5,0）. 將點C的坐標代入y=-x+m,得m=5，∴直線CD的函數表達式為y=-x+5. 設K點的坐標為（t,0）,則H點坐標為(t,-t+5),點G的坐標為（t,t2+2t-3）. ∵點K為線段AB上一動點，∴-3≤t≤1.∴HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+. ∵-3≤t≤1. ∴當t=-時，線段HG的長度有最大值. （3）∵點F是線段BC的中點.點B（1,）），點C（5,0），∴點F的坐標為（3,0），∵直線l過點F且與y軸平行， ∴直線l的函數表達式為x=3,∵點M在直線l上

16、，點N在拋物線上，∴設點M的坐標為（3，m）,點N的坐標為（n,n2+2n-3）. ∵點A（-3,0），點C（5,0）. ∴AC=8. 分情況討論： ①若線段AC是以點A,C,M,N為頂點的平行四邊形的邊，則須MN∥AC,且MN=AC=8，當點N在點M的左側時，MN=3-n，∴3-n=8，解得n=-5，∴點N的坐標為（-5，,1）；當點N在點M的右側時，MN= n-3， ∴n-3=8，解得n=11，∴點N的坐標為（11，140）. ②若線段AC是以點A,C,M,N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C是點A關于點B的對稱點”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于B的對稱點P，則P的

17、坐標為（-1,0），過P作NP⊥x軸，交拋物線于點N， 將x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，過點N，B作直線NB交直線l于點M， 在△BPN與△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM, ∴NB=MB. ∴四邊形ANCM為平行四邊形， ∴坐標為（-1，-4）的點N符合條件. ∴當N點的坐標為（-5,12），（11,140），（-1，-4）時， 以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形. 【總結與反思】 1. 用交點式表示出二次函數的表達式，再將拋物線與y軸的交點坐標代入求得a的值，得出二次函數的表達式； 2. H、G的橫坐標相同，用一字母t表示出H、G兩點的坐標，其長度就是兩點縱坐標之差，這樣得到長度關于t的二次三項式，結合t的取值范圍，求的HG的最大值； 3．要分AC是對角線和邊兩種情況來討論，AC為邊時，點M、N的左右位置不一樣，結果又不一樣，考慮要周到，運算一定要仔細．