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1、2022年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《不等式的應(yīng)用》 1．排序不等式（又稱排序原理） 設(shè)有兩個有序數(shù)組及 則（同序和） （亂序和） （逆序和） 其中是1，2，…，n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時等號（對任一排列）成立. 2．應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”： 設(shè)有n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到 ， 和平方平均（在統(tǒng)計學(xué)及誤差分析中用到） 這四個平均值有以下關(guān)系. 3．應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式，可用來證明下述重要不等式. 柯西（Cavchy）不等式：設(shè)、、，…，是任意實數(shù)

2、，則 等號當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)，時成立. 4．利用排序不等式還可證明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若， ， 則 例題講解 1．求證： 2．，求證： 3．： 4．設(shè)，且各不相同， 求證：. 5．利用基本不等式證明 6．已知求證： 7．利用排序不等式證明 8．證明：對于任意正整數(shù)R，有 9．n為正整數(shù)，證明： 例題答案： 1

3、. 證明： 評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明時，可將 配方為，亦可利用 ，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證. 2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法. 不等式關(guān)于對稱，不妨，且， 都大于等于1. 評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理， 另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價于類似例4可證事實

4、上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個有序數(shù)組，則（順序和） （亂序和） （逆序和） 其中的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立. 排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如 . 3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明. 不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個不等式. 4.分析：不等式右邊各項；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式. 設(shè)的重新排列，滿足， 又 所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從

5、而，原式得證. 評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式， 5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法. ；三式相加再除以2即得證. 評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧. 如，可在不等式兩邊同時加上 再如證時，可連續(xù)使用基本不等式. （2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1. 6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢. 要證即證 評述：（1）本題方法具有

6、一定的普遍性.如已知求證： 右側(cè)的可理解為再如已知，求證： +，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡使證法. （2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個正數(shù) 調(diào)和平均 幾何平均 算術(shù)平均 平方平均 這四個平均值有以下關(guān)系：，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立. 7. 證明: 令則，故可取，使得 由排序不等式有： =（亂序和） （逆序和） =n， 評述:對各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，. 8. 分析:原不等式等價于，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均. 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證 （2）本題亦可通過逐項展開并比較對應(yīng)項的大小而獲證，但較繁. 9.證明:先證左邊不等式 （*）式成立，故原左邊不等式成立. 其次證右邊不等式 （**） （**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.