《2021高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學案 理 北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　基本不等式 [最新考綱]　1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號． (3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 2．兩個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號． (2)ab≤2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最

2、小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 1．＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號． 2．a(chǎn)b≤2≤. 3．≤≤≤(a＞0，b＞0)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的．(　　) (2)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　) (3)函數(shù)f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值為4.(　　) (4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．設x＞0，y＞0

3、，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80　　　　　　 B．77 C．81 D．82 C　[xy≤2＝81，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，等號成立．故選C.] 2．若x<0，則x＋(　　) A．有最小值，且最小值為2 B．有最大值，且最大值為2 C．有最小值，且最小值為－2 D．有最大值，且最大值為－2 D　[因為x<0， 所以－x>0，－x＋≥2＝2， 當且僅當x＝－1時，等號成立， 所以x＋≤－2.] 3．函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)的最小值為________． 4　[當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥ 2＋2＝4，當且僅當x－2＝(x>2

4、)，即x＝3時取等號．] 4．若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是__________m2. 25　[設矩形的一邊為x m，矩形場地的面積為y， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， 則y＝x(10－x)≤2＝25， 當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.] 考點1　利用基本不等式求最值 　配湊法求最值 　配湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，即將相關(guān)代數(shù)式 進行適當?shù)淖冃?，通過添項、拆項、湊系數(shù)等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式(如：湊成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法. 　(1)(2

5、019·大連模擬)已知a，b是正數(shù)，且4a＋3b＝6，則a(a＋3b)的最大值是(　　) A．　　　　 B． C．3 D．9 (2)函數(shù)y＝(x>1)的最小值為________． (3)已知x>，則y＝4x＋的最小值為________，此時x＝________. (1)C　(2)2＋2　(3)7　　[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2＝×2＝3，當且僅當3a＝a＋3b，即a＝1，b＝時，a(a＋3b)的最大值是3. (2)∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 當且僅當x－1＝，即x＝＋1時，等號成

6、立． (3)∵x>，∴4x－5>0. y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7. 當且僅當4x－5＝，即x＝時上式“＝”成立． 即x＝時，ymin＝7.] [母題探究]　把本例(3)中的條件“x>”，改為“x<”，則y＝4x＋的最大值為________，此時x＝________. 3　1　[因為x<，所以5－4x>0，則y＝4x＋＝－＋5≤－2＋5＝－2＋5＝3. 當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立． 故y＝4x＋的最大值為3.此時x＝1.] 　(1)本例(1)解答易忽視兩項和為定值的條件，常見的錯誤解法為：a(a＋3b)≤2，當且僅當a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a

7、＝，b＝0時，a(a＋3b)的最大值為，從而錯選B. (2)應用拆項、添項法求最值時，應注意檢驗基本不等式的前提條件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)． 　常數(shù)代換法求最值 　常數(shù)代換法求最值的步驟 (1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))． (2)把確定的定值(常數(shù))變形為1. (3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為________． 4　[因為a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.當且僅當a＝b時，等號成立．] [母題探

8、究] 1．若本例條件不變，求的最小值． [解]　＝＝· ＝5＋2≥5＋4＝9. 當且僅當a＝b＝時，等號成立． 2．若將本例條件改為a＋2b＝3，如何求解＋的最小值． [解]　因為a＋2b＝3，所以a＋b＝1. 所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋. 當且僅當a＝b時，等號成立． 　常數(shù)代換法主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求 ＋的最值”的問題，先將＋轉(zhuǎn)化為·，再用基本不等式求最值． [教師備選例題] 設a＋b＝2，b>0，則＋取最小值時，a的值為________． －2　[∵a＋b＝2，b>0， ∴＋＝＋＝＋ ＝＋＋≥＋2＝＋1， 當且僅當＝時等號成立．又

9、a＋b＝2，b>0， ∴當b＝－2a，a＝－2時，＋取得最小值．] 　(2019·深圳福田區(qū)模擬)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，則 ＋的最小值為(　　) A.＋ B.＋ C.3＋2 D.＋ A　[已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1， 又a－1＞0，則＋＝[(a－1)＋b] ＝1＋＋＋≥＋2＝＋. 當且僅當＝，a＋b＝2時取等號． 則＋的最小值為＋.故選A.] 　消元法求最值 　對于含有多個變量的條件最值問題，若直接運用基本不等式無法求最值時，可嘗試減少變量的個數(shù)，即根據(jù)題設條件建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)的最

10、值問題，即減元(三元化二元，二元化一元)． 　(2019·嘉興模擬)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，則a＋2b的最小值為(　　) A．5＋2 B．8 C．5 D．9 A　[∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1， ∴a＝＞0，∴b＞2， ∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5 ≥5＋2＝5＋2. 當且僅當2(b－2)＝，即b＝2＋時取等號． ∴a＋2b的最小值為5＋2.故選A.] 　求解本題的關(guān)鍵是將等式“2a＋b＝ab－1”變形為 “a＝”，然后借助配湊法求最值． 　(2019·新余模擬)已知正實數(shù)a，b，c滿足a2－2ab＋9b2 －c＝0，則當取得最大

11、值時，＋－的最大值為(　　) A．3 B． C．1 D．0 C　[由正實數(shù)a，b，c滿足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，當且僅當＝，即a＝3b時，取最大值. 又因為a2－2ab＋9b2－c＝0， 所以此時c＝12b2， 所以＋－＝≤＝1， 故最大值為1.] 　利用兩次基本不等式求最值 　當運用一次基本不等式無法求得代數(shù)式的最值時，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性． 　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值為______． 4　[由題意a＞b＞0，則a－b＞0， 所以b(a－b)≤2＝

12、， 所以a2＋≥a2＋≥2＝4， 當且僅當b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝時取等號，所以a2＋的最小值為4.] 　由于b＋(a－b)為定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出題中所給代數(shù)式的最小值． 　若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為____． 4　[因為ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，當且僅當時取等號，故的最小值是4.] 考點2　利用基本不等式解決實際問題 　利用基本不等式解決實際問題的3個注意點 (1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． (2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值． (3)在求函

13、數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解． 　經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量 y(L)與速度x(km/h)(50≤x≤120)的關(guān)系可近似表示為y＝ (1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最少？ (2)已知A，B兩地相距120 km，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？ [解]　(1)當x∈[50,80)時，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]， 所以當x＝65時，y取得最小值，最小值為×675＝9. 當x∈[80,120]時，函數(shù)y＝12－單調(diào)遞減， 故當x＝12

14、0時，y取得最小值，最小值為12－＝10. 因為9<10，所以當x＝65，即該型號汽車的速度為65 km/h時，可使得每小時耗油量最少． (2)設總耗油量為l L，由題意可知l＝y(tǒng)·， ①當x∈[50,80)時，l＝y(tǒng)·＝≥＝16， 當且僅當x＝，即x＝70時，l取得最小值，最小值為16. ②當x∈[80,120]時，l＝y(tǒng)·＝－2為減函數(shù)， 所以當x＝120時，l取得最小值，最小值為10. 因為10<16，所以當速度為120 km/h時，總耗油量最少． 　當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)

15、性求解． 　(2019·上海模擬)經(jīng)濟訂貨批量模型，是目前大多數(shù)工 廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資在單位時間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過某段時間后，存儲量消耗下降到零，此時開始訂貨并隨即到貨，然后開始下一個存儲周期，該模型適用于整批間隔進貨、不允許缺貨的存儲問題，具體如下：年存儲成本費T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)＝＋，其中A為年需求量，B為 每單位物資的年存儲費，C為每次訂貨費. 某化工廠需用甲醇作為原料，年需求量為6 000噸，每噸存儲費為120元/年，每次訂貨費為2 500元． (1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇，求年存儲成本費； (2)每次需訂購多少噸

16、甲醇，可使該化工廠年存儲成本費最少？最少費用為多少？ [解]　(1)因為年存儲成本費T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)＝＋，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲費，C為每次訂貨費． 由題意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500， 所以年存儲成本費T(x)＝60x＋， 若該化工廠每次訂購300噸甲醇， 所以年存儲成本費為 T(300)＝60×300＋＝68 000. (2)因為年存儲成本費T(x)＝60x＋，x＞0， 所以T(x)＝60x＋≥2＝60 000， 當且僅當60x＝，即x＝500時，取等號． 所以每次需訂購500噸甲醇，可使該化工廠年存

17、儲成本費最少，最少費用為60 000元． 考點3　基本不等式的綜合應用 　基本不等式的綜合應用的2類問題 (1)與函數(shù)、數(shù)列等知識交匯的最值問題：此類問題常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，以基本不等式為解題工具，求解最值或取值范圍． (2)求參數(shù)值或取值范圍：對于此類題目，要觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)關(guān)系式成立的條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍． 　(1)(2019·臺州模擬)若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且存在這樣的x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－1,4) B．(－4,1) C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪

18、(0，＋∞) (2)(2019·衡陽一模)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．函數(shù)y＝[x](x∈R)稱為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域是(　　) A．{0,1} B．(0,1] C．(0,1) D．{－1,0,1} (3)(2019·定遠模擬)已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos C＝ccos B，則＋＋的最小值為(　　) A. B. C. D.2 (1)C　(2)A　(3)A　[(1)∵正實數(shù)x，y滿足＋＝1

19、， ∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4， 當且僅當＝且＋＝1，即x＝2，y＝8時取等號，∵存在x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解， ∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，故選C. (2)f(x)＝＝， ∵2x＋≥2，∴0＜f(x)≤1， 則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為{0,1}，故選A. (3)∵2bcos C＝ccos B， ∴2sin Bcos C＝sin Ccos B， ∴tan C＝2tan B．又A＋B＋C＝π， ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) ＝－＝－＝， ∴＋＋＝＋＋ ＝tan B＋. 又∵在銳角△ABC中，tan B＞0，

20、∴tan B＋≥2＝， 當且僅當tan B＝時取等號， ∴min＝，故選A.] 　條件不等式的最值問題，常通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．在轉(zhuǎn)化過程中相應知識起到穿針連線的作用． 　1.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 B　[由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12(當且僅當＝，即a＝3b時等號成立)， ∴m≤12，∴m的最大值為12.] 2．兩圓x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0恰有一條公切線，若m∈R，n∈R，且mn≠0，則＋的最小值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[由題意可知兩圓內(nèi)切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0化為x2＋(y－m)2＝1，x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0化為(x－2n)2＋y2＝9，故＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，＋＝(4n2＋m2)＝2＋＋≥2＋2＝4.] 3．設等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項和是Sn(n∈N＋)，若a1＝d＝1，則的最小值是________． 　[an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝， ∴＝＝≥＝， 當且僅當n＝4時取等號． ∴的最小值是.] 12