第4課 曲線與方程 一、學(xué)習(xí)要求 1.了解曲線與方程的意； 2.掌握求簡(jiǎn)單曲線方程的步驟； 3.能運(yùn)用“直接法”、“相關(guān)點(diǎn)法（轉(zhuǎn)移法）”求簡(jiǎn)單曲線方程。 二、先學(xué)后講 1．曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線與方程之間滿足如下關(guān)系： ①曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解； ②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上， 則曲線叫做方程的曲線，方程叫做曲線的方程。 例如：如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心在原點(diǎn)， 半徑為2的圓上任意一點(diǎn)滿足的幾何條件是： 設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得 ，即。 也就是說(shuō)，方程就是圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件；另一方面，可以驗(yàn)證，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上。 這時(shí)，我們把方程叫做圓的直角坐標(biāo)方程，圓上叫做方程的曲線。 2．求曲線方程的常用方法 【方法一】直接法： 第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果題目有坐標(biāo)系，則利用已有的坐標(biāo)系），并設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為； 第二步：寫出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件（等式）； 第三步：用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，列出方程； 第四步：化方程為最簡(jiǎn)形式； 第五步：證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。（這一步可以省略，但在化簡(jiǎn)過(guò)程中要注意是否產(chǎn)生了增根或丟根現(xiàn)象，做到多去少補(bǔ)。） 【方法二】相關(guān)點(diǎn)法（轉(zhuǎn)移法）：如果動(dòng)點(diǎn)隨著已知曲線上的另一動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且可用表示，則可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知曲線的方程，即得動(dòng)點(diǎn)的方程。 第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)要求軌跡的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為； 第二步：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，寫出與的關(guān)系式，并用來(lái)表示（即寫出等式，）； 第三步：把含的點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，得到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方程； 第四步：化方程為最簡(jiǎn)形式。 三、問(wèn)題探究 ■合作探究 例1．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。 第一步：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，。 第二步：寫出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式； 并用來(lái)表示 ∵，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， ∴，， ∴，， 第三步：把已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，并轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方程； ∵點(diǎn)在圓上， ∴ ∴， 整理得，所求線段的中點(diǎn)的軌跡方程為 第四步：化方程為最簡(jiǎn)形式。 ， 即。 ∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑長(zhǎng)是1的圓。 ■自主探究 1．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡。 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，。 ∵，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， ∴，， ∴，， ∵點(diǎn)在圓上， ∴ ∴， 整理得，所求線段的中點(diǎn)的軌跡方程為 。 ∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑長(zhǎng)是1的圓。 四、總結(jié)提升 本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了 。 五、問(wèn)題過(guò)關(guān) 1.求從原點(diǎn)作圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。 解：任作一弦，設(shè)，的中點(diǎn)為。 則，即， ∵點(diǎn)在圓上， ∴， ∴，即， ∴弦的中點(diǎn)的軌跡方程為：。 - 4 -