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2022年高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入質(zhì)量評估檢測 新人教B版選修2-1

上傳人:xt****7 文檔編號:105395946 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):14 大?。?.87MB
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1、2022年高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入質(zhì)量評估檢測 新人教B版選修2-1 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.若A,B,C,D為空間不同的四點,則下列各式為零向量的是(  ) ①+2+2+; ②2+2+3+3+; ③++; ④-+-. A.①②       B.②③ C.②④ D.①④ 解析:①中,原式=+2+=+++=+,不符合題意;②中,原式=2(+++)+(++)=0;③中,原式=,不符合題意;④中,原式=(-)+(-)=0.故選C. 答案:C 2.已知向量a=(2,4,5)、b

2、=(3,x,y)分別是直線l1、l2的方向向量,若l1∥l2,則(  ) A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 解析:∵l1∥l2,∴a∥b,則==,∴x=6,y=. 答案:D 3.已知空間三點O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直線OA上有一點H滿足BH⊥OA,則點H的坐標為(  ) A.(-2,2,0) B.(2,-2,0) C. D. 解析:由=(-1,1,0),且點H在直線OA上,可設H(-λ,λ,0),則=(-λ,λ-1,-1). 又BH⊥OA,∴·=0, 即(-λ,λ-1,-1)·(-1

3、,1,0)=0,即λ+λ-1=0, 解得λ=,∴H,故選C. 答案:C 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則與的夾角為(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:=(0,3,3),=(-1,1,0),||=3, ||=,·=3, ∴cos〈,〉==, ∴〈,〉=60°. 答案:C 5.在以下命題中,不正確的個數(shù)為(  ) ①|(zhì)a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件; ②若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb; ③對空間任意一點O和不共線的三點A,B,C,若=2-2-,則P,A,B,C四點共面; ④

4、若{a,b,c}為空間的一個基底,則{a+b,b+c,c+a}構成空間的另一個基底; ⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|. A.5 B.4 C.3 D.2 解析:①|(zhì)a|-|b|=|a+b|?a與b的夾角為π,故是充分不必要條件,故不正確;②b需為非零向量,故不正確;③因為2-2-1≠1,由共面向量定理知,不正確;④由基底的定義知正確;⑤由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知,不正確,故選B. 答案:B 6.已知向量=,=,則平面AMN的一個法向量是(  ) A.(-3,-2,4) B.(3,2,-4) C.(-3,-2,-4) D.(-3,2,-4) 解析:設平面

5、AMN的法向量n=(x,y,z), 則即 令z=4,則n=(3,-2,4),由于(-3,2,-4)=-(3,-2,4), 可知選項D符合. 答案:D 7.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分別與,垂直,則向量a為(  ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1)或(1,1,1) C.(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) 解析:設a=(x,y,z),=(-2,-1,3),=(1,-3,2) 則解得a=(1,1,1)或(-1,-1,-1). 答案:B 8.已知三棱錐S-

6、ABC中,底面ABC為邊長等于2的等邊三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為(  ) A. B. C. D. 解析:建系如圖,則S(0,0,3),A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0). ∴=(,1,0),=(,1,-3),=(0,2,-3). 設面SBC的法向量為n=(x,y,z). 則 令y=3,則z=2,x=,∴n=(,3,2). 設AB與面SBC所成的角為θ,則sinθ===. 答案:D 9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于(  

7、) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析:建系如圖,設AB=1,則B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1),A(0,0,0). ∴=(-1,0,1),=(0,1,1). ∴cos〈,〉= ==. ∴〈,〉=60°,即異面直線BA1與AC1所成的角等于60°. 答案:B 10.已知E、F分別是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1的中點,則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是(  ) A. B. C. D. 解析:以D為坐標原點,以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如

8、圖,則A(1,0,0),E,F(xiàn),D1(0,0,1), 所以=(-1,0,1),=. 設平面AEFD1的法向量為n=(x,y,z), 則? ∴x=2y=z,取y=1,則n=(2,1,2),而平面ABCD的一個法向量為u=(0,0,1), ∵cos〈n,u〉=,∴sin〈n,u〉=. 答案:C 11.在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,PA⊥平面ABC,且PA=AB,則二面角A-PB-C的平面角的正切值為(  ) A. B. C. D. 解析:設PA=AB=2,建立如圖所示的空間直角坐標系, 則B(0,2,0),C(,1,0),P(0,0,2). ∴=(

9、0,-2,2),=(,-1,0). 設n=(x,y,z)是平面PBC的一個法向量. 則即 令y=1,則x=,z=1. 即n=. 易知m=(1,0,0)是平面PAB的一個法向量. 則cos〈m,n〉===. ∴正切值tan〈m,n〉=. 答案:A 12.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當·取得最小值時,點Q的坐標為(  ) A. B. C. D. 解析:∵Q在OP上,∴可設Q(x,x,2x), 則=(1-x,2-x,3-2x), =(2-x,1-x,2-2x). ∴·=6x2-16x+10, ∴x=時,·最小,

10、 這時Q. 答案:C 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分. 13.若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則當||取最小值時,x的值等于________. 解析:=(1-x,2x-3,-3x+3),則 ||= ==, 故當x=時,||取最小值. 答案: 14.正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值是________. 解析:如圖,以DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系, 設正方體的棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1), 易證是平面A1BD的一個法向量

11、. =(-1,1,1),=(-1,0,1). cos〈,〉==. 所以BC1與平面A1BD夾角的正弦值為. 答案: 15.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,則λ=________. 解析:由已知可發(fā)現(xiàn)a與b不共線,由共面向量定理可知, 要使a,b,c共面,則必存在實數(shù)x,y,使得c=xa+yb, 即,解得. 答案: 16.如圖,在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點,BE=3ED,以{,,}為基底,則=________. 解析:=-=+- =+-(+) =+--- =-

12、-+. 答案:--+ 三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分10分)如圖,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (1)證明:AC⊥B1D; (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值. 解析:(1)易知,AB,AD,AA1兩兩垂直. 如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系. 設AB=t,則相關各點的坐標為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t

13、,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3). 從而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因為AC⊥BD,所以·=-t2+3+0=0. 解得t=或t=-(舍去). 于是=(-,3,-3),=(,1,0). 因為·=-3+3+0=0,所以⊥, 即AC⊥B1D. (2)由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0). 設n=(x,y,z)是平面ACD1的一個法向量, 則即 令x=1,則n=(1,-,). 設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ,則 sinθ=|cos〈n,〉|===. 即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為

14、. 18.(本小題滿分12分)如圖,在空間直角坐標系中,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,在線段AA1上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出AF,若不存在,說明理由. 解析:假設存在F點,使CF⊥平面B1DF, 不妨設AF=b,則F(a,0,b), =(a,-a,b),=(a,0,b-3a), =. ∵·=a2-a2+0=0, ∴⊥恒成立.由·=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a. ∴當AF=a或AF=2a時,CF⊥平面B1DF. 19.(本

15、小題滿分12分)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點D是BC的中點. (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值; (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值. 解析:(1)以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz, 則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0), A1(0,0,4),C1(0,2,4), 所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4). 因為cos〈,〉===, 所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. (2)設平面ADC1的法向量為n1=(x,y,z)

16、, 因為=(1,1,0),=(0,2,4), 所以n1·=0,n1·=0, 即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2, 所以,n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一個法向量. 取平面AA1B的一個法向量為n2=(0,1,0), 設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ. 由|cosθ|===, 得sinθ=. 因此,平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為. 20.(本小題滿分12分)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別為AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1

17、C⊥CD,如圖2. (1)求證:A1C⊥平面BCDE; (2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大?。? 圖1 圖2 解析:(1)證明:因為AC⊥BC,DE∥BC, 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C. 又因為A1C⊥CD,所以A1C⊥平面BCDE. (2)如圖,以C為坐標原點,建立空間直角坐標系C-xyz. 則A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0). 設平面A1BE的法向量為n=(x,y,z), 則n·=0,n·=0. 又=(3,0,

18、-2), =(-1,2,0), 所以 令y=1,則x=2,z=.所以n=(2,1,). 設CM與平面A1BE所成的角為θ. 因為=(0,1,), 所以sinθ=|cos〈n,〉|=||==, 所以CM與平面A1BE所成角的大小為. 21.(本小題滿分12分)如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點. (1)求證:AM∥平面BDE; (2)試在線段AC上確定一點P,使得PF與CD所成的角是60°. 解析:(1)證明:如圖,建立空間直角坐標系. 設AC∩BD=N,連結NE, 則N,E(0,0,1), ∴=

19、. 又A(,,0),M, ∴=. ∴=,且NE與AM不共線. ∴NE∥AM. 又NE?平面BED,AM?平面BDE, ∴AM∥平面BDE. (2)設P(t,t,0)(0≤t≤), 則=(-t,-t,1),=(,0,0). 又∵與所成的角為60°, =, 解之得t=,或t=(舍去). 故點P為AC的中點. 22.(本小題滿分12分)如圖,在圓錐PO中,已知PO=,⊙O的直徑AB=2,C是的中點,D為AC的中點. (1)證明:平面POD⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C的余弦值. 解析:(1)證明:如圖所示,以O為坐標原點,OB,OC,OP所在直線分

20、別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系, 則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D. 設n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一個法向量, 則由n1·=0,n1·=0, 得 所以z1=0,x1=y(tǒng)1. 取y1=1,得n1=(1,1,0). 設n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一個法向量, 則由n2·=0,n2·=0, 得 所以x2=-z2,y2=z2, 取z2=1,得n2=(-,,1). 因為n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0, 所以n1⊥n2,從而平面POD⊥平面PAC. (2)因為y軸⊥平面PAB.所以平面PAB的一個法向量為n3=(0,1,0). 由(1)知,平面PAC的一個法向量為n2=(-,,1). 設向量n2和n3的夾角為θ, 則cosθ===. 由圖可知,二面角B-PA-C的平面角與θ相等, 所以二面角B-PA-C的余弦值為.

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