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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 2.2 函數(shù)的單調(diào)性教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明 【例1】討論函數(shù)f(x)＝ (a≠)在(－2，＋∞)上的單調(diào)性. 【解析】設(shè)x1，x2為區(qū)間(－2，＋∞)上的任意兩個數(shù)且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝－＝， 因為x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2， 所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0. 所以當a＜時，1－2a＞0，f(x1)＞f(x2)， 函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)上為減函數(shù)； 當a＞時，1－2a＜0，f(x1)＜f(x2)， 函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)上

2、是增函數(shù). 【點撥】運用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須注意x1，x2在給定區(qū)間內(nèi)的任意性，另外本題可以利用導數(shù)來判斷. 【變式訓練1】已知函數(shù)f(x)滿足f(π＋x)＝f(π－x)，且當x∈(0，π)時，f(x)＝x＋cos x，則f(2)，f(3)，f(4)的大小關(guān)系是(　　) A. f (2)＜f (3)＜f (4) B. f (2)＜f (4)＜f (3) C. f (4)＜f (3)＜f (2) D. f (3)＜f (4)＜f (2) 【解析】B. 題型二　函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 【例2】試求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1)y＝|x－1|； (2)y＝

3、x2＋2|x－1|； (3)y＝. 【解析】(1)y＝|x－1|＝ 所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1). (2)y＝x2＋2|x－1|＝ 所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1). (3)由于t＝－x2＋4x－3的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞)，又底數(shù)大于1，所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞). 【點撥】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往需要借助函數(shù)圖象和有關(guān)結(jié)論，才能求解出. 【變式訓練2】在實數(shù)的原有運算法則中，我們補充定義新運算“”如下：當a≥b時，ab＝a；當a＜b時，a

4、b＝b2.則函數(shù)f (x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值是(　　) A.－1 B.6 C.1 D.12 【解析】B. 題型三　函數(shù)單調(diào)性的應用 【例3】已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1]，且對于任意的x1，x2∈[－1,1]，當x1≠x2時，都有＞0. (1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論； (2)解不等式f(5x－1)＜f(6x2). 【解析】(1)當x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2時，由＞0，得f(x1)＜f(x2)， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù). (2)因為f(x)

5、在[－1,1]上是增函數(shù).所以由f(5x－1)＜f(6x2)知， 所以0≤x＜，所求不等式的解集為{x|0≤x＜}. 【點撥】抽象函數(shù)的單調(diào)性往往是根據(jù)定義去判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性解題時，容易犯的錯誤是忽略函數(shù)的定義域. 【變式訓練3】已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有＞0，給出下列命題： ①f(3)＝0；②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)；④函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點. 其中所有正確命題的序號為　　　　　(把所有正確命題的序號都填上). 【解析】①②④. 總結(jié)提高 1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，因此，討論函數(shù)的單調(diào)性，必須先確定函數(shù)的定義域. 2.函數(shù)的單調(diào)性可以借助函數(shù)圖象來研究，增函數(shù)的圖象自左向右是上升曲線，減函數(shù)的圖象自左向右是下降曲線. 3.導數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性問題的有力工具. 4.利用函數(shù)單調(diào)性可比較大小、證明不等式、解不等式、求函數(shù)值域或最值等，既是一種方法，也是一種技巧，應加強函數(shù)單調(diào)性的應用，提高解題技巧. 5.函數(shù)的單調(diào)性不同于周期性與奇偶性，它僅僅是函數(shù)的局部性質(zhì).