高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第六章 不等式、推理與證明 理
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1、高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第六章 不等式、推理與證明 理 一. 選擇題 1.(xx·湖南高考理)若變量x,y滿足約束條件則x+2y的最大值是 ( ) A.- B.0 C. D. 【解析】選C 本小題主要考查線性規(guī)劃知識及數(shù)形結(jié)合思想,屬中檔偏易題.求解本小題時一定要先比較直線x+2y=0與邊界直線x+y=1的斜率的大小,然后應用線性規(guī)劃的知識準確求得最值.作出題設約束條件的平面區(qū)域(圖略),由?可得 (x+2y)max=+2×=. 2.(xx·安徽高考理)已知一元二次不等式f(x)<0的解集
2、為,則f(10x)>0的解集為 ( )
A.{x|x<-1或x>lg 2} B.{x|-1
3、<0,即10x<,x<-lg 2,故選D 3.(xx·安徽高考理)在平面直角坐標系中,O是坐標原點,兩定點A,B滿足|OA―→|=|OB―→|=OA―→·OB―→=2,則點集{P|OP―→=λOA―→+μOB―→,|λ|+|μ|≤1,λ, μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】選D 本題考查平面向量運算、線性規(guī)劃等知識,培養(yǎng)考生對知識的綜合應用能力以及數(shù)形結(jié)合思想.由|OA―→|=|O
4、B―→|=OA―→·OB―→=2,可得∠AOB=,又A,B是兩定點,可設A(,1),B(0,2),P(x,y), 由OP―→=λOA―→+μOB―→,可得? 因為|λ|+|μ|≤1,所以+≤1,當,時,由可行域可得S0= ×2×=,所以由對稱性可知點P所表示的區(qū)域面積S=4S0=4,故選D. 4.(xx·新課標Ⅱ高考理)已知a>0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a= ( ) A. B. C
5、.1 D.2 【解析】選B 本題考查線性規(guī)劃問題,屬于基礎(chǔ)題.由已知約束條件,作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界部分,由目標函數(shù)z=2x+y的幾何意義為直線l:y=-2x+z在y軸上的截距,知當直線l過可行域內(nèi)的點B(1,-2a)時,目標函數(shù)z=2x+y的最小值為1,則2-2a=1,a=,故選B. 5.(xx·北京高考理)設關(guān)于x,y的不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0),滿足x0-2y0=2.求得m的取值范圍是 ( ) A.
6、 B. C. D. 【解析】選C 本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及考生分析問題、解決問題的能力.問題等價于直線x-2y=2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點,由于點(-m,m)不可能在第一和第三象限,而直線x-2y=2經(jīng)過第一、三、四象限,則點(-m,m)只能在第四象限,可得m<0,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,要使直線x-2y=2與陰影部分有公共點,則點(-m,m)在直線x-2y-2=0的下方,由于坐標原點使得x-2y-2<0,故-m-2m-2>0,即m<-
7、.
6.(xx·廣東高考理)設整數(shù)n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三條件x 8、考生接受、理解、運用和遷移新知識的能力,推理論證能力與創(chuàng)新意識.題目中x 9、.-
【解析】選C 本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,考查兩點間斜率的幾何意義等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運算求解能力.已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示,顯然當點M與點A重合時直線OM的斜率最小,由直線方程x+2y-1=0和3x+y-8=0,解得A(3,-1),故OM斜率的最小值為-.
8.(xx·山東高考理)設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當取得最大值時,+-的最大值為 ( )
A.0 10、 B.1 C. D.3
【解析】選B 本題考查基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,考查分析問題和解決問題的能力.==≤=1,當且僅當x=2y時等號成立,此時z=2y2,+-=-+=-2+1≤1,當且僅當y=1時等號成立,故所求的最大值為1.
9.(xx·天津高考理)設變量x, y滿足約束條件則目標函數(shù)z=y(tǒng)-2x的最小值為 ( )
A.-7 11、 B.-4 C.1 D.2
【解析】選A 本題考查線性規(guī)劃,意在考查考生數(shù)形結(jié)合思想的應用.約束條件對應的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域,當目標函數(shù)y=2x+z經(jīng)過可行域中的點(5,3)時,z取得最小值-7.
10.(xx·天津高考理)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|). 設關(guān)于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集為A.若?A, 則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A. B.
C.∪ 12、 D.
【解析】選A 本題考查函數(shù)與不等式的綜合應用,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力.由題意可得0∈A,即f(a) 13、 )
A.a(chǎn)c>bc B.< C.a(chǎn)2>b2 D. a3>b3
【解析】選D 當c=0時,選項A不成立;當a>0,b<0時,選項B不成立;當a=1,b=-5時,選項C不成立;a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)2+>0,故選D.
12.(xx·重慶高考文)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a= ( )
14、
A. B. C. D.
【解析】選A 本題主要考查二次不等式與二次方程的關(guān)系.由條件知x1,x2為方程x2-2ax-8a2=0的兩根,則x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,得a=,故選A.
13.(xx·山東高考文)設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當取得最小值時,x+2y-z的最大值為 15、 ( )
A.0 B. C.2 D.
【解析】選C 本題主要考查基本不等式的應用,考查運算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想.
==+-3≥2 -3=1,當且僅當x=2y時等號成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.
14.(xx·大綱卷高考文)不等式|x2-2|<2的解集是 ( )
A.(-1,1) 16、 B.(-2,2) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-2,0)∪(0,2)
【解析】選D 本題主要考查絕對值不等式、二次不等式的解法.由|x2-2|<2得-2 17、 D.2和0
【解析】選B 本題主要考查線性規(guī)劃問題中求目標函數(shù)的最值,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力.畫出可行域(如圖中陰影部分),由圖像可得,當y=-2x+z經(jīng)過點B(2,0)時,zmax=4;當y=-2x+z經(jīng)過點A(1,0)時,zmin=2,故選B.
16.(xx·福建高考文)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是 ( )
A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 18、
【解析】選D 本題主要考查基本不等式,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力.∵2x+2y≥2=2(當且僅當2x=2y時等號成立),∴≤,
∴2x+y≤,得x+y≤-2,故選D.
17.(xx·天津高考文)設變量x, y滿足約束條件則目標函數(shù)z=y(tǒng)-2x的最小值為 ( )
A.-7 B.-4 C.1 D.2
【解析】選A 本題主要考查線性規(guī)劃,意在考查考生的數(shù) 19、形結(jié)合能力.約束條件對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,當目標函數(shù)y=2x+z經(jīng)過直線x-y-2=0和y=3的交點(5,3)時,z取得最小值-7.
18.(xx·湖北高考文)某旅行社租用A,B兩種型號的客車安排900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛.則租金最少為 ( )
A.31 200元 B.36 000元
C.36 800元 20、D.38 400元
【解析】選C 本題主要考查用二元一次不等式組解決實際問題的能力,考查線性規(guī)劃問題,考查考生的作圖、運算求解能力.設租A型車x輛,B型車y輛,租金為z,則
畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點),則目標函數(shù)z=1 600x+
2 400y在點N(5,12)處取得最小值36 800.
19.(xx·陜西高考文)若點(x,y)位于曲線y = |x|與y = 2所圍成的封閉區(qū)域, 則
2x-y的最小值是 ( )
A.-6 B.-2 21、 C.0 D.2
【解析】選A 本題主要考查分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及求解線性規(guī)劃最優(yōu)解的思維方法.
作出函數(shù)y=|x|=和y=2圍成的等腰直角三角形的可行域(如圖陰影部分所示),則可得過交點A(-2,2)時,2x-y取得最小值-6.
20.(xx·江西高考文)下列選項中,使不等式x<<x2成立的x的取值范圍是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
【解析】選A 本題主要考查分式不等式的解法,考查考生化歸與轉(zhuǎn)化的能力.
法一:取x 22、=-2,知符合x<<x2,即-2是此不等式的解集中的一個元素,所以可排除選項B,C,D.
法二:由題知即
解得得x<-1.
21.(xx·四川高考文)若變量x,y滿足約束條件且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,則a-b的值是 ( )
A.48 B.30 C.24 D.16
【解析】選C 本題主要考查線性規(guī)劃的應用,意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握.約束條件表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)為頂點的四邊形區(qū)域 23、,檢驗四個頂點的坐標可知,當x=4,y=4時,a=zmax=5×4-4=16;當x=8,y=0時,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24.
22.(xx·重慶高考理)不等式≤0的解集為 ( )
A.(-,1] B.[-,1]
C.(-∞,-)∪[1,+∞) D.(-∞,-]∪[1,+∞)
【解析】選A 由數(shù)軸標根法可知原不等式的解集為(-,1].
23.(xx·廣東高考理)已知變量x,y滿足約束條件則z=3x+y的最大 24、值
為 ( )
A.12 B.11 C.3 D.-1
【解析】選B
如右圖中的陰影部分即為約束條件對應的可行域,當直線y=-3x+z經(jīng)過點A時, z取得最大值.由解得,此時,z=y(tǒng)+3x=11.
24.(xx·山東高考理)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x-y的取值范圍是 25、 ( )
A.[-,6] B.[-,-1] C.[-1,6] D.[-6,]
【解析】選A
作出不等式組所表示的區(qū)域如圖,由z=3x-y得y=3x-z,平移直線y=3x,由圖像可知當直線經(jīng)過點E(2,0)時,直線y=3x-z的截距最小,此時z最大為z=3×2-0=6,當直線經(jīng)過C點時,直線y=3x-z的截距最大,此時z最小,由解得此時z=3x-y=-3=-,所以z=3x-y的取值范圍是[-,6].
25.(xx·江西高考理)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b 26、4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10= ( )
A.28 B.76 C.123 D.199
【解析】選C 記an+bn=f(n),則f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),則f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f( 27、8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.
26.(xx·江西高考理)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表.
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為 28、 ( )
A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50
【解析】選B 設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝,y畝,總利潤為z萬元,則目標函數(shù)為z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.
線性約束條件為即
畫出可行域,如圖所示.
作出直線l0:x+0.9y=0,向上平移至過點B時,z取得最大值,由求得B(30,20),故選B.
27.(xx·四川高考理)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原 29、料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是 ( )
A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元 D.3 100元
【解析】選C
設每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶,乙產(chǎn)品y桶,相應的利潤為z元,于是有z=300x+400 30、y,在坐標平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x+400y=0,平移該直線,當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點A(4,4)時,相應直線在y軸上的截距達到最大,此時z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2 800,即該公司可獲得的最大利潤是2 800元.
28.(xx·遼寧高考理)設變量x,y滿足則2x+3y的最大值為 ( )
A.20 B.35 C.45 D.55
【解析】選D
作出不等式組對應的平面區(qū)域(如圖所示),平移直線y=-x,易知直線 31、經(jīng)過可行域上的點A(5,15)時,2x+3y取得最大值55.
29.(xx·遼寧高考理)若x∈[0,+∞),則下列不等式恒成立的是 ( )
A.ex≤1+x+x2 B.≤1-x+x2
C.cos x≥1-x2 D.ln (1+x)≥x-x2
【解析】選C 對A,因為e3>1+3+32,故A不恒成立;同理,當x=時,>1-x+x2,故B不恒成立;因為(cos x+x2-1)′=-sin x+x≥0(0∈[0,+∞)),且x=0時,y=cos x+ 32、x2-1=0,所以y=cos x+x2-1≥0恒成立,所以C對;當x=4時,ln(1+x) 33、,那么利用平行關(guān)系,作圖可以得到P第一次碰到E點時,需碰撞14次.
31.(xx·福建高考理)下列不等式一定成立的是 ( )
A.lg(x2+)>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解析】選C 取x=,則lg(x2+)=lg x,故排除A;取x=π,則sin x=-1,故排除B;取x=0,則=1,故排除D.
32.(xx·福建高考理)若函數(shù)y=2 x圖象上存在點(x,y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為 34、 ( )
A. B.1 C. D.2
【解析】選B 可行域如圖中的陰影部分所示,函數(shù)y=2x的圖象經(jīng)過可行域上的點,由得即函數(shù)y=2x的圖象與直線x+y-3=0的交點坐標為(1,2),當直線x=m經(jīng)過點(1,2)時,實數(shù)m取到最大值為1,應選B.
33.(xx·四川高考文)若變量x,y滿足約束條件則z=3x+4y的最大值是 35、 ( )
A.12 B.26 C.28 D.33
【解析】在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)及直線3x+4y=0,平移該直線,當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點M(4,4)時,相應直線在x軸上的截距達到最大,即zmax=3×
4+4×4=28.
【答案】C
33(xx·遼寧高考文)設變量x,y滿足則2x+3y的最大值為 ( )
A.20 B.35 C.45 D.55
36、【解析】選D
根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域,再平移目標函數(shù)求最大值.作出不等式組對應的平面區(qū)域(如圖所示),平移直線y=-x,易知直線經(jīng)過可行域上的點A(5,15)時,2x+3y取得最大值55.
34(xx·天津高考文)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x-2y的最小值為 ( )
A.-5 B.-4 C.-2 D.3
【解析】選B
不等式表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分 37、,作輔助線l0:3x-2y=0,結(jié)合圖形可知,當直線3x-2y=z平移到過點(0,2)時,z=3x-2y的值最小,最小值為-4.
35(xx·山東高考文)設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x-y的取值范圍是 ( )
A.[-,6] B.[-,-1] C.[-1,6] D.[-6,]
【解析】選A
不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,目標函數(shù)的幾何意義是直線在y軸上截距的相反數(shù),其最大值在點A(2,0)處取得 38、,最小值在點B(,3)處取得,即最大值為6,最小值為-.
36.(xx·福建高考文)若直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為 ( )
A.-1 B.1 C. D.2
【解析】選B
可行域如圖陰影所示,由
得交點A(1,2),當直線x=m經(jīng)過點A(1,2)時,m取到最大值為1.
37(xx·安徽高考文)若x,y滿足約束條件則z=x-y的最小值是( )
A 39、.-3 B.0 C. D.3
【解析】選A
根據(jù)得可行域如圖中陰影部分所示,根據(jù)z=x-y得y=x-z,平移直線y=x得z在點B(0,3)處取得最小值-3.
38(xx·廣東高考文)已知變量x,y滿足約束條件則z=x+2y的最小值
為 ( )
A.3 B.1 C.-5 D 40、.-6
【解析】選C
變量x,y滿足的不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,作輔助線l0:x+2y=0,并平移到過點A(-1,-2)時,z=x+2y達到最小,最小值為-5.
39(xx·湖南高考文)設a>b>1,c<0,給出下列三個結(jié)論:
①>;②ac 41、,<,>;冪函數(shù)y=xc(c<0)是減函數(shù),所以ac 42、=2,經(jīng)過點C時,zmin=1-.
41(xx·重慶高考文)不等式<0的解集為 ( )
A.(1,+∞) B.(-∞,-2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【解析】選C 不等式等價于(x-1)(x+2)<0,解得-2 43、 ( )
A.3125 B.5625 C.0625 D.8125
【解析】選D ∵55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,…
∴5n(n∈Z,且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化,且最小正周期為4,記5n(n∈Z,且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n),則f(2011)=f(501× 4+7)=f(7),∴52011與57的末四位數(shù)字相同,均為8125.故選D.
43(xx·安徽高考文)設變量x,y滿足|x|+ 44、|y|≤1,則x+2y的最大值和最小值分別( )
A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1
【解析】選B 法一:特殊值驗證:當y=1,x=0時,x+2y=2,排除A,C;當y=-1,x=0時,x+2y=-2,排除D,故選B.
法二:直接求解:如圖,先畫出不等式|x|+|y|≤1表示的平面區(qū)域,易知當直線x+2y=u經(jīng)過點B,D時分別對應u的最大值和最小值,所以umax=2,umin=-2.
44(xx·山東高考文)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是 ( )
45、A.[-5,7] B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
【解析】選D |x-5|+|x+3|表示數(shù)軸上的點到-3,5的距離之和,不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(-∞,-4]∪[6,+∞).
45(xx·四川高考文)某運輸公司有12名駕駛員和19名工人,有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需滿載且只運送一次,派用的每輛甲型卡車需配2名工人,運送一次可得利潤45 46、0元;派用的每輛乙型卡車需配1名工人,運送一次可得利潤350元.該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù),可得最大利潤z= ( )
A.4 650元 B.4 700元
C.4 900元 D.5 000元
【解析】選C 設派用甲型卡車x輛,乙型卡車y輛,則,目標函數(shù)z=450x+350y,畫出可行域如圖,當目標函數(shù)經(jīng)過A(7,5)時,利潤z最大,為4 900元.
46(xx 47、·湖南高考文)設m>1,在約束條件下,目標函數(shù)z=x+my的最大值小于2,則m的取值范圍為 ( )
A.(1,1+) B.(1+,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)
【解析】選A 變換目標函數(shù)為y=-x+,由于m>1,所以-1<-<0,不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示,根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義,只有直線y=-x+在y軸上的截距最大時,目標函數(shù)取得最大值.顯然在點A處取得最大值,由y=mx,x+y=1,得A(,),所以目標函數(shù) 48、的最大值是+<2,即m2-2m-1<0,解得1- 49、 ( )
A.-8 B.8 C.12 D.13
【解析】選D 依題意,記f(x)=mx2-kx+2,則有,即①.通過驗證發(fā)現(xiàn)當m=1,2時均不存在滿足不等式組①的整數(shù)k.
當m>2時,顯然有m+2<2m,此時不等式組①可化為;又m,k均為整數(shù),故可進一步化為②,要使②成立,必有m+1>2;又m>2,因此有m>3+2,顯然5<3+2<6,于是有m≥6.
當m=6時,由②式得k=7,此時方程mx2-kx+2=6x2 50、-7x+2=0的根是、滿足題意.又當m進一步增大時,滿足②式的k不會減小,所以m+k取最小值時m也取最小值,也就是說,當m=6,k=7時,m+k取最小值13,選D.
49(2011·廣東高考)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定.若M(x,y)為D上的動點,點A的坐標為(,1),則z=OM―→·OA―→的最大值為 ( )
A.3 B.4 C.3 D.4
【解析】選B
畫出區(qū)域D,如圖中陰影部分所示,而z=OM―→·OA―→=x+y,∴y=-x+z.
令l0:y=-x,將l0平移到過 51、點(,2)時,截距z有最大值,故zmax=×+2=4.
50(2011·福建高考)已知O是坐標原點,點A(-1,1).若點M(x,y)為平面區(qū)域上的一個動點,則OA―→·OM―→的取值范圍是 ( )
A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]
【解析】選C 平面區(qū)域如圖中陰影部分所示的△BDN,N(0,2),D(1,1),設點M(x,y),因點A(-1,1),則z=OA―→·OM―→=-x+y,由圖可知;當目標函數(shù)z=-x+y過點 52、D時,zmin=-1+1=0;當目標函數(shù)z=-x+y過點N時,zmax=0+2=2,故z的取值范圍為[0,2],即OA―→·OM―→的取值范圍為[0,2],故選C.
51(2011·湖北高考)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b,若x,y滿足不等式|x|+|y|≤1,則z的取值范圍為 ( )
A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3]
【解析】選D 因為a⊥b,所以a·b= 53、0,所以2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1可轉(zhuǎn)化為,由圖可得其對應的可行域為邊長為,以點(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)為頂點的正方形,結(jié)合圖象可知當直線2x+3y=z過點(0,-1)時z有最小值-3,當過點(0,1)時z有最大值3.所以z的取值范圍為[-3,3].
52(2011·浙江高考)設實數(shù)x,y滿足不等式組若x,y為整數(shù),則3x+4y的最小值是 ( )
A.14 B.16 C.17 54、 D.19
【解析】選B 對于線性區(qū)域內(nèi)邊界的整點為(3,1),因此最符合條件的整點可能為(4,1)或(3,2),對于點(4,1),3x+4y=3×4+4×1=16;對于點(3,2),3x+4y=3×3+4×2=17,因此3x+4y的最小值為16.
53(2011·遼寧高考)設函數(shù)f(x)=則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是( )
A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)
【解析】選D 當x≤1時,21-x≤2,解得,x≥0,所以,0≤x≤1;當x>1時,1-lo 55、g2x≤2,解得,x≥,所以,x>1.綜上可知x≥0.
54.(2011·遼寧高考)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則
f(x)>2x+4的解集為 ( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
【解析】選B 令函數(shù)g(x)=f(x)-2x-4,則g′(x)=f′(x)-2>0 56、,因此,g(x)在R上是增函數(shù),又因為g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0.所以,原不等式可化為:g(x)>g(-1),由g(x)的單調(diào)性,可得x>-1.
二. 填空題
55.(xx·福建高考理)當x∈R,|x|<1時,有如下表達式:
1+x+x2+…+xn+…=.
兩邊同時積分得:01dx+0xdx+0x2dx+…+0xndx+…=0dx,
從而得到如下等式:
1×+×2+×3+…+×n+1+…=ln 2.
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法,計算:
C×+C×2+C×3+…+C×n+1=________.
【解析】本題考查定積分、二項式定理、類比推理等基礎(chǔ)知識, 57、意在考查考生的轉(zhuǎn)化和歸能力、類比推理能力和運算求解能力.
法一:設f(x)=Cx+×C x2+×Cx3+…+×Cxn+1,
所以f′(x)=C+Cx+Cx2+…+Cxn=(1+x)n,
所以f=0f′(x)dx=0(1+x)ndx=(1+x)n+10=n+1-(1+0)n+1=.
法二:C×+C×2+C×3+…+C×n+1
=1×+×n×2+××3+…+××n+1
=(n+1)×+×2+×3+…+×n+1=
=
=.
【答案】
56.(xx·浙江高考理)設z=kx+y,其中實數(shù)x,y滿足若z的最大值為12,則實數(shù)k=________.
【解析】本題考查用平面區(qū)域表示二元一 58、次不等式組、直線方程中參數(shù)的幾何意義以及分析問題、解決問題的能力.畫出可行域,根據(jù)線性規(guī)劃知識,目標函數(shù)取最大值12時,最優(yōu)解一定為(4,4),這時12=4k+4,k=2.
【答案】2
57.(xx·陜西高考理)若點(x,y)位于曲線y=|x-1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,則2x-y的最小值為________.
【解析】本題考查分段函數(shù)的圖象和線性規(guī)劃的應用,考查考生的數(shù)形結(jié)合能力.由題意知y=作出曲線y=|x-1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,如圖中陰影部分所示,即得過點A(-1,2)時,2x-y取最小值-4.
【答案】-4
58.(xx·陜西高考理)觀察下列等式
12=1
1 59、2-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此規(guī)律,第n個等式可為________.
【解析】本題考查考生的觀察、歸納、推理能力.觀察規(guī)律可知,第n個式子為12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.
【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1
59(xx·廣東高考理)不等式x2+x-2<0的解集為________.
【解析】本題考查一元二次不等式的解集,考查考生的運算能力及數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟能力.令f(x)=x2+x-2=(x+2)·(x-1),畫出函數(shù)圖象可知,當-2 60、0,從而不等式x2+x-2<0的解集為{x|-2 61、的點共確定AB,AC,AD,AE,AF,BF共6條不同的直線.
【答案】6
61.(xx·大綱卷高考理)記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線y=a(x+1)與D有公共點,則a的取值范圍是________.
【解析】本題考查線性規(guī)劃問題.畫出可行域,易知直線y=a(x+1)過定點(-1,0),當直線y=a(x+1)經(jīng)過x+3y=4與3x+y=4的交點(1,1)時,a取得最小值;當直線y=a(x+1)經(jīng)過x=0與3x+y=4的交點(0,4)時,a取得最大值4,故a的取值范圍是.
【答案】
62.(xx·湖北高考理)設x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則 62、
x+y+z=________.
【解析】本題主要考查不等式的性質(zhì)與方程的求解,意在考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力.根據(jù)柯西不等式可得,(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=14,所以要取到等號,必須滿足==,結(jié)合x+2y+3z=,可得x+y+z=.
【答案】
63.(xx·四川高考理)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是________.
【解析】本題考查二次函數(shù)、不等式、函數(shù)的奇偶性,意在考查考生的運算能力和化歸的數(shù)學思想.當x≥0時,f(x)=x2-4x<5的解集為[0,5),又 63、f(x)為偶函數(shù),所以f(x)<5的解集為(-5,5).所以f(x+2)<5的解集為(-7,3).
【答案】(-7,3)
64.(xx·四川高考理)設P1,P2,…,Pn為平面α內(nèi)的n個點.在平面α內(nèi)的所有點中,若點P到點P1,P2,…,Pn的距離之和最小,則稱點P為點P1,P2,…,Pn的一個“中位點”.例如,線段 AB上的任意點都是端點A,B的中位點.現(xiàn)有下列命題:
①若三個點A,B,C共線,C在線段AB上,則C是A,B,C的中位點;
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點;
③若四個點A,B,C,D共線,則它們的中位點存在且唯一;
④梯形對角線的交點是該梯形四個 64、頂點的唯一中位點.
其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號)
【解析】本題主要考查求函數(shù)最值,兩點間的距離公式,建立坐標系,以及不等式的放縮等基礎(chǔ)知識和基本技能,意在考查綜合運用知識分析和解決問題的能力,推理論證和運算求解能力.對于①,不妨假設A,C,B三點在平面直角坐標系xOy中的x軸上由左至右排列,A(0,0),C(c,0),B(b,0),0<c<b,對于平面內(nèi)任意一點M(x,y),|MA|+|MB|+|MC|=++≥|x|+|x-b|+|x-c|.因為0<c<b,所以當x=c時,(|MA|+|MB|+|MC|)min=b,此時M(c,0),也就是M點與C點重合,故①正 65、確;對于②,設△ABC中∠C為直角,以C為原點,CA,CB分別為x,y軸建立平面直角坐標系xOy,并設點A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,M(x,y)為平面內(nèi)任意一點,AB中點坐標為,則|MA|+|MB|+|MC|= ++ ,當x=,y=時,|MA|+|MB|+|MC|= ,而當x=0,y=0時,|MA|+|MB|+|MC|=a+b,因為(a2+b2)-(a+b)2=≥ab>0,所以斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點,故②錯誤;對于③,不妨假設A,B,C,D四點在平面直角坐標系xOy中的x軸上由左至右排列,A(0,0),B(b,0),C(c,0),D(d,0),0<b<c<d 66、,對于平面內(nèi)任意一點M(x,y),|MA|+|MB|+|MC|+|MD|=+++≥|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|,因為0<b<c<d,所以當x∈[b,c]時,|MA|+|MB|+|MC|+|MD|取得最小值,此時M(x,0),x∈[b,c],不唯一,故③錯誤;對于④,由①可知A,C的中位點為線段AC之間的任意一點,B,D的中位點為線段BD之間的任意一點,所以A,B,C,D的中位點為線段AC與線段BD的交點,也就是梯形對角線的交點,故④正確.答案為①④.
【答案】①④
65.(xx·天津高考理)設a+b=2,b>0,則當a=________時,+取得最小值.
【解析】本題考查基本不等式的應用,意在考查考生分析問題、解決問題的能力.因為+=+=++≥+2=+1≥-+1=,當且僅當=,a<0,即a=-2,b=4時取等號,故+取最小值時,a=-2.
【答案】-2
66.(xx·北京高考文)設D為不等式組所表示的平面區(qū)域,區(qū)域D上的點與點(1,0)之間的距離的最小值為________.
【解析】本題主要考查線性規(guī)劃的簡單應用,意在考查考生的運算能力、作圖能力以及數(shù)形結(jié)合
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