《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布教學(xué)案 理 北師大版（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)　n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 [最新考綱]　1.了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單問題． 1．條件概率 在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，用符號(hào)P(A|B)來表示，其公式為P(A|B)＝(P(B)＞0)． 2．相互獨(dú)立事件 (1)一般地，對(duì)兩個(gè)事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨(dú)立． (2)如果A，B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也相互獨(dú)立． (3)如果A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

2、． 3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項(xiàng)分布 進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件： ①每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”； ②每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p； ③各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的． 用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱X服從參

3、數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為X～B(n，p)． 牢記且理解事件中常見詞語的含義 (1)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A＋B； (2)A，B都發(fā)生的事件為AB； (3)A，B都不發(fā)生的事件為； (4)A，B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為A＋B； (5)A，B至多一個(gè)發(fā)生的事件為A＋B＋. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件．(　　) (2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(　　) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)對(duì)任意兩個(gè)事件都成立．(　　) (4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Cpk

4、(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是(　　) A．　 B．　　　 C．　 D． A　[用X表示發(fā)芽的粒數(shù)，則X～B，則P(X＝3)＝C× 3×2＝，故播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率為.] 2．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工成一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件中能否被加工成一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的概率為(　　)

5、 A． B． C． D． B　[因?yàn)閮扇思庸こ梢坏绕返母怕史謩e為和，且相互獨(dú)立，所以兩個(gè)零件中恰好有一個(gè)一等品的概率P＝×＋×＝.] 3．在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到文科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為(　　) A． B． C． D． D　[根據(jù)題意，在第1次抽到文科題后，還剩4道題，其中有3道理科題；則第2次抽到理科題的概率P＝，故選D.] 4．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品的件數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，記作________． X～B(100,0.

6、02)　[根據(jù)題意，X～B(100,0.02)．] 考點(diǎn)1　條件概率 　求條件概率的2種方法 (1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，這是求條件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 　1.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　　) A．　 B．　　　 C．　 D． B　[法一(直接法)：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由條件概率計(jì)算公式，得P(B

7、|A)＝＝＝. 法二(縮小樣本空間法)：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4個(gè)． 事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2,4)一種情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝＝.] 2．(2019·運(yùn)城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為________． 0．72　[設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)．出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根據(jù)條件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0

8、.9＝0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.] 　判斷所求概率為條件概率的主要依據(jù)是題目中的“已知”“在……前提下(條件下)”等字眼．第2題中沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條件概率問題．運(yùn)用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關(guān)鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結(jié)合題目的具體情況進(jìn)行分析． 考點(diǎn)2　相互獨(dú)立事件的概率 　求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法 (1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立． (2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有： ①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，

9、可從其對(duì)立事件入手計(jì)算． 　(1)天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 (2)某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運(yùn)動(dòng)員出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的． ①求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率； ②記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員的得分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨

10、機(jī)變量ξ的分布列． (1)C　[設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] (2)[解]?、儆洝凹壮鼍€”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P( )＝1－××＝. ②由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3， 則P(ξ＝0)＝P( )＝××＝； P(ξ＝1)＝P( )＋P( )＋P( )＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC

11、)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 　含有“恰好、至多、至少”等關(guān)鍵詞的問題，求解的關(guān)鍵在于正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算． [教師備選例題] 從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列； (2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率． [解]　(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值

12、為0,1,2,3， 則P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝×＋×＝. 所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為. 　(2019·全國(guó)卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，

13、先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率． [解]　(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均

14、為甲得分． 因此所求概率為 [0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. 考點(diǎn)3　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求解的策略 (1)首先判斷問題中涉及的試驗(yàn)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，判斷時(shí)注意各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的，并且每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，在任何一次試驗(yàn)中，某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關(guān)公式求解． (2)解此類題時(shí)常用互斥事件概率加法公式，相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式． 　(1)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn) 每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的

15、概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是________． (2)(2019·蘇州模擬)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響． ①假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率； ②假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率； ③假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分．在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分．記ξ為射手射擊3次后的總分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列． (1)　[由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，移?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必

16、須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為C3·2＝C5＝.] (2)[解]?、僭O(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～B.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率為P(X＝2)＝C×2×3＝. ②設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則 P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(12A3A4A5)＝3×2＋×3×＋2×3＝. ③設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3)． 由題意可知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6. P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝；

17、 P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝×2＋××＋2×＝； P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝； P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3) ＝2×＋×2＝； P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 P 　在求解過程中，本例(2)中②常因注意不到題設(shè)條件 “有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”，盲目套用公式致誤；本例(2)中③常因?qū)Ζ蔚娜≈挡幻?，?dǎo)致事件概率計(jì)算錯(cuò)誤． 　一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次， 每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音

18、樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立． (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ [解]　(1)X可能的取值為10,20,100，－200. 根據(jù)題意，有 P(X＝10)＝C×1×2＝， P(X＝20)＝C×2×1＝， P(X＝100)＝C×3×0＝， P(X＝－200)＝C×0×3＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P

19、 (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)， 則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. 　 二項(xiàng)分布 　(2019·秦皇島模擬)某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖)． (1)根據(jù)頻率分布直方圖，求

20、質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量； (2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列； (3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列． [解]　(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)． (2)重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0,1,2， X服從超幾何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P

21、 (3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝. 從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B， P(Y＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 　(1)注意隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布的關(guān)鍵詞： ①視頻率為概率；②人數(shù)很多、數(shù)量很大等． (2)求概率的過程，就是求排列數(shù)與組合數(shù)的過程，而在解決具體問題時(shí)要做到： ①分清 ②判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)

22、發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件． [教師備選例題] 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)： (1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率； (2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率； (3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率． [解]　令X表示5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的次數(shù)， 則X～B(5,0.8)． (1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X＝2)＝C×0.82×(1－0.8)3＝10×0.64×0.008≈0.05. (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0.80×(1－0

23、.8)5－C×0.8×(1－0.8)4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為C×0.8×(1－0.83)×0.8≈0.02. 　(2019·西安模擬)某學(xué)校用“10分制”調(diào)查本校學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的滿意度，現(xiàn)從學(xué)生中隨機(jī)抽取16名，以莖葉圖記錄了他們對(duì)該校教師教學(xué)滿意度的分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)： (1)若教學(xué)滿意度不低于9.5分，則稱該生對(duì)教師的教學(xué)滿意度為“極滿意”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有1人是“極滿意”的概率； (2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校所有學(xué)生中(學(xué)生人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)設(shè)Ai表示所抽取的3人中有i個(gè)人是“極滿意”，至少有1人是“極滿意”記為事件A，則P(A)＝1－P(A0)＝1－＝. (2)X的所有可能取值為0,1,2,3，由已知得X～B，∴P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝3＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝3×＝. 11