2、出下列條件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是________(填序號(hào)).
解析:①中,假設(shè)a≤1,b≤1,則a+b≤2與已知條件a+b>2矛盾,故假設(shè)不成立,所以a,b中至少有一個(gè)大于1,①正確;②中,若a=-2,b=-3,則a2+b2>2成立,故②不能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”.
答案:①
4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)________0(填“>”“<”或“=”).
解析:由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,
可知
3、f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),
由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)2,a2+b2>2ab,a+b-(a2+b2)=a(1-a)+b(1-b)>0,所以a+b最大.
答案:a+b
6.如果a+b>a+b,則a,b應(yīng)滿足的條件是__________.
解析:a+b>a+b,即(-)2(+)>0,需滿足a≥0,b≥0且a
4、≠b.
答案:a≥0,b≥0且a≠b
7.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為_(kāi)_______.
解析:由條件得cn=an-bn=-n=,
所以cn隨n的增大而減小,所以cn+1<cn.
答案:cn+1<cn
8.已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:>8.
證明:因?yàn)閤,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,
所以-1==>,①
-1==>,②
-1==>,③
又x,y,z為正數(shù),由①×②×③,
得>8.
9.已知等差數(shù)列{an}的前n
5、項(xiàng)和為Sn,a3=5,S8=64.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:+>(n≥2,n∈N*).
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則解得a1=1,d=2.
故所求的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
(2)證明:由(1)可知Sn=n2,
要證原不等式成立,只需證+>,
即證[(n+1)2+(n-1)2]n2>2(n2-1)2,
只需證(n2+1)n2>(n2-1)2,
即證3n2>1.
而3n2>1在n≥2時(shí)恒成立,
從而不等式+>(n≥2,n∈N*)恒成立.
10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥
6、CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).
(1)求證:EC∥平面PAD;
(2)求證:平面EAC⊥平面PBC.
證明:(1)作線段AB的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,CF(圖略),則AF=CD,AF∥CD,
所以四邊形ADCF是平行四邊形,
則CF∥AD.
又EF∥AP,且CF∩EF=F,所以平面CFE∥平面PAD.
又EC?平面CEF,所以EC∥平面PAD.
(2)因?yàn)镻C⊥底面ABCD,所以PC⊥AC.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形,
且AB=2AD=2CD=2,
所以AC=,BC=.
所以AB2=AC2+BC2,所以AC⊥BC,
因?yàn)镻C∩BC=C,所以AC⊥平面P
7、BC,
因?yàn)锳C?平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC.
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1.已知數(shù)列{an}滿足a1=,且an+1=(n∈N*).
(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=anan+1(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為T(mén)n,證明:Tn<.
證明:(1)由已知可得,當(dāng)n∈N*時(shí),an+1=,
兩邊取倒數(shù)得,==+3,
即-=3,所以數(shù)列是首項(xiàng)為=2,
公差為3的等差數(shù)列,
其通項(xiàng)公式為=2+(n-1)×3=3n-1,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(2)由(1)知an=,
故bn=anan+1=
=,
8、
故Tn=b1+b2+…+bn
=×+×+…+×==-·.
因?yàn)椋?,所以Tn<.
2.若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,則稱{an}具有性質(zhì)P.
(1)若{an}具有性質(zhì)P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;
(2)若無(wú)窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b1=c5=1,b5=c1=81,an=bn+cn,判斷{an}是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè){bn}是無(wú)窮數(shù)列,已知an+1=bn+sin an(n∈N*),求證:“對(duì)任意a1,{an}都具有性質(zhì)P”的
9、充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.
解:(1)因?yàn)閍5=a2,所以a6=a3,a7=a4=3,a8=a5=2,
于是a6+a7+a8=a3+3+2.
又因?yàn)閍6+a7+a8=21,所以a3=16.
(2)由題意,得數(shù)列{bn}的公差為20,{cn}的公比為,
所以bn=1+20(n-1)=20n-19,
cn=81·n-1=35-n,
an=bn+cn=20n-19+35-n.
a1=a5=82,但a2=48,a6=,a2≠a6,
所以{an}不具有性質(zhì)P.
(3)證明:充分性:
當(dāng){bn}為常數(shù)列時(shí),an+1=b1+sin an.
對(duì)任意給定的a1,若ap=aq,則b1
10、+sin ap=b1+sin aq,即ap+1=aq+1,充分性得證.
必要性:
假設(shè){bn}不是常數(shù)列,則存在k∈N*,使得b1=b2=…=bk=b,而bk+1≠b.
下面證明存在滿足an+1=bn+sin an的數(shù)列{an},使得a1=a2=…=ak+1,但ak+2≠ak+1.
設(shè)f(x)=x-sin x-b,取m∈N*,使得mπ>|b|,
則f(mπ)=mπ-b>0,f(-mπ)=-mπ-b<0,
故存在c使得f(c)=0.
取a1=c,因?yàn)閍n+1=b+sin an(1≤n≤k),
所以a2=b+sin c=c=a1,
依此類推,得a1=a2=…=ak+1=c.
但ak+2=bk+1+sin ak+1=bk+1+sin c≠b+sin c,
即ak+2≠ak+1.
所以{an}不具有性質(zhì)P,矛盾.
必要性得證.
綜上,“對(duì)任意a1,{an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.