2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第53課 空間幾何體的表面積與體積檢測評估
2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第53課 空間幾何體的表面積與體積檢測評估
一、 填空題
1. 若一個長方體的長、寬、高分別為,,1,則它的外接球的表面積是 .
2. 若正四棱錐的底面邊長為6,高為,則這個正四棱錐的側(cè)面積是 .
3. (xx·福建卷)以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于 .
4. (xx·山東卷)若一個六棱錐的體積為2,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為 .
5. (xx·全國卷)已知正四棱錐的頂點都在同一個球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為 .
6. 已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長為,那么以O(shè)為球心、OA為半徑的球的表面積為 .
7. 如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上,則當(dāng)PD=AB=2,且=時,的值為 .
(第7題)
8. (xx·蘇州模擬)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在AA1,CC1上,且AE=AA1,CF=CC1,點A,C到BD的距離之比為3∶2,則三棱錐E-BCD與F-ABD的體積之比為 .
(第8題)
二、 解答題
9. (xx·安徽卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2,點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,且平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1) 求證:GH∥EF;
(2) 若EB=2,求四邊形GEFH的面積.
(第9題)
10. 如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.
(1) 求證:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2) 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.
(第10題)
11. 如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD的交點為G,AD⊥平面ABE,AE⊥EB,AE=EB=BC=2,F為CE上的點,且BF⊥CE.
(1) 求證:AE⊥平面BCE;
(2) 求證:AE∥平面BFD;
(3) 求三棱錐C-GBF的體積.
(第11題)
第53課 空間幾何體的表面積與體積
1. 6π
2. 48
3. 2π 解析:由題意知,所得圓柱的底面半徑和高均為1,所以圓柱的側(cè)面積為2π.
4. 12 解析:設(shè)六棱錐的高為h,則V=Sh,所以××4×6h=2,解得h=1,設(shè)斜高為h',
則h2+()2=h'2,解得h'=2,所以該六棱錐的側(cè)面積為×2×2×6=12.
5. 解析:如圖,因為正四棱錐的底面邊長為2,所以AE=AC=.設(shè)球心為O,球的半徑為R,則OE=4-R,OA=R,由△AOE為直角三角形,得OA2=OE2+AE2,即R2=(4-R)2+2,解得R=,所以球的表面積S=4πR2=4π×=.
(第5題)
6. 24π 解析:設(shè)點O到底面的距離為h,則×3×h=,解得h=,OA==,故球的表面積為4π×()2=24π.
7. 1 解析:設(shè)AC∩BD=O,由AO⊥BD,PD⊥AO,得AO⊥平面PDE,由題意得AO=1,則=·AO·S△PDE=,所以S△PDE=1,在Rt△PDB中,DB=PD=2,則PB=2,S△PDB=2,所以S△BDE=1,所以==1.
8. 解析:點A,C到BD的距離之比為3∶2,所以=,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AE=AA1,CF=CC1,所以=,于是==×=.
9. (1) 因為BC∥平面GEFH,BCÌ平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可證EF∥BC,因此GH∥EF.
(第9題)
(2) 如圖,連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK.因為PA=PC,O是AC的中點,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面上,所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,從而KB=DB=OB,即K為OB的中點.再由PO∥GK得GK=PO,即G是PB的中點,且GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO===6,所以GK=3,所以四邊形GEFH的面積S=×GK=×3=18.
10. (1) 由題設(shè)知,BB1DD1,
所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,
所以BD∥B1D1.
又BD?平面CD1B1,B1D1Ì平面CD1B1,
所以BD∥平面CD1B1.
因為A1D1B1C1BC,
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,
所以A1B∥D1C.
又A1B?平面CD1B1,D1CÌ平面CD1B1,
所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B=B,
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2) 因為A1O⊥平面ABCD,
所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.
又因為AO=AC=1,AA1=,
所以A1O==1,
又因為S△ABD=××=1,
所以三棱柱ABD-A1B1D1的體積V=S△ABD·A1O=1.
11. (1) 因為AD⊥平面ABE,AD∥BC,
所以BC⊥平面ABE,
又因為AEÌ平面ABE,所以AE⊥BC.
又因為AE⊥EB,BC∩EB=B,
所以AE⊥平面BCE.
(2) 在矩形ABCD中,G是AC中點.
因為EB=BC且BF⊥CE.
所以F是EC中點,
所以在△AEC中,FG∥AE.
又因為FGÌ平面BFD,AE?平面BFD,
所以AE∥平面BFD.
(3) 因為F,G分別是EC,AC的中點,
所以FG∥AE,且FG=AE=1.
因為AE⊥平面BCE,所以FG⊥平面BCE.
在Rt△BCE中,EB=BC=2,F是EC中點,
所以S△BCF=S△BCE=××BE×BC=1,
所以==×S△CFB×FG=.
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