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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(四十八)合情推理與演繹推理 文

上傳人:xt****7 文檔編號(hào):105451571 上傳時(shí)間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?08.52KB
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1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(四十八)合情推理與演繹推理 文 一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快 1.已知數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2時(shí),an=an-1+2n-1,依次計(jì)算a2,a3,a4后,猜想an的表達(dá)式是________. 解析:a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2. 答案:an=n2 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論我們可以得到的一個(gè)真命題為:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則____________________成等比數(shù)列. 解

2、析:利用類比推理把等差數(shù)列中的差換成商即可. 答案:T4,,, 3.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________. 解析:①②正確,③④⑤

3、⑥錯(cuò)誤. 答案:2 4.對(duì)于命題:若O是線段AB上一點(diǎn),則有·+·=0. 將它類比到平面的情形是: 若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),則有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0. 將它類比到空間的情形應(yīng)該是:若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有________________________________________________________________________. 解析:將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間,通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積,因此依題意可知:若O為四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有VOBCD·+VOACD·+VOABD·+VOABC·=0.

4、 答案:VOBCD·+VOACD·+VOABD·+VOABC·=0 5.(xx·南京調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x3+x,對(duì)于等差數(shù)列{an}滿足:f(a2-1)=2,f(a2 016-3)=-2,Sn是其前n項(xiàng)和,則S2 017=________. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+x為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增, 又因?yàn)閒(a2-1)=2,f(a2 016-3)=-2,則a2-1=-(a2 016-3),即a2+a2 016=4,即a1+a2 017=4. 則S2 017=(a1+a2 017)=4 034. 答案:4 034 6.(xx·啟東檢測(cè)) [x]表示不超過x的最大整

5、數(shù),例如:[π]=3. S1=[]+[]+[]=3, S2=[]+[]+[]+[]+[]=10, S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21, …… 依此規(guī)律,那么S10=________. 解析:因?yàn)閇x]表示不超過x的最大整數(shù), 所以S1=[]+[]+[]=1×3=3, S2=[]+[]+[]+[]+[]=2×5=10, S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=3×7=21,……, Sn=[]+[]+[]+…+[]+[]=n×(2n+1),所以S10=10×21=210. 答案:210 二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1.二維空間中,圓的一維測(cè)

6、度(周長(zhǎng))l=2πr,二維測(cè)度(面積)S=πr2;三維空間中,球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2,三維測(cè)度(體積)V=πr3.應(yīng)用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測(cè)度V=8πr3,則其四維測(cè)度W=________. 解析:在二維空間中,圓的二維測(cè)度(面積)S=πr2,則其導(dǎo)數(shù)S′=2πr,即為圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2πr;在三維空間中,球的三維測(cè)度(體積)V=πr3,則其導(dǎo)數(shù)V′=4πr2,即為球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2;應(yīng)用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測(cè)度V=8πr3,則其四維測(cè)度W=2πr4. 答案:2πr4 2.觀察下列等式 12=1 12-22=-3

7、 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為________________. 解析:觀察規(guī)律可知,第n個(gè)式子為12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1. 答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 3.(xx·南京第十三中學(xué)檢測(cè))某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示,第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5,則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)為________. 解析:因?yàn)?=1+1,3=2+1,5=3+2,即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和,所以第10年樹的分枝數(shù)為21+34=55. 答案:55

8、 4.給出以下數(shù)對(duì)序列: (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) …… 記第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為aij,如a43=(3,2),則anm=________. 解析:由前4行的特點(diǎn),歸納可得:若an m=(a,b),則a=m,b=n-m+1,所以an m=(m,n-m+1). 答案:(m,n-m+1) 5.在平面幾何中:△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為=.把這個(gè)結(jié)論類比到空間:在三棱錐A-BCD中(如圖),平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E,則得到類比的結(jié)論是____________

9、__. 解析:由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得 =. 答案:= 6.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,觀察上述結(jié)果,可推測(cè)一般的結(jié)論為____________________. 解析:因?yàn)閒(21)=,f(22)>2=,f(23)>,f(24)>,所以歸納得f(2n)≥. 答案:f(2n)≥ 7.(xx·海門中學(xué)測(cè)試) 有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下: 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … …

10、 … 29 … … … … … … … … … … … 則第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是________. 解析:由歸納推理可得第30行的第1個(gè)數(shù)是1+4+6+8+10+…+60=-1=929.又第n行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2n,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2n+2,所以第30行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大60,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大62,故第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是929+60+62 =1 051. 答案:1 051 8.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.若y=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),那么在△A

11、BC中,sin A+sin B+sin C的最大值是________. 解析:由題意知,凸函數(shù)滿足 ≤f, 又y=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù), 則sin A+sin B+sin C≤3sin=3sin=. 答案: 9.(xx·蘇州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=x2-x-m. (1)當(dāng)m=0時(shí),求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在(0,a]的最大值; (2)證明:當(dāng)m≥-3時(shí),不等式f(x)+g(x)

12、 則F′(x)=-,x∈(0,+∞), 當(dāng)00;當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)<0, 所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)01時(shí),F(xiàn)(x)的最大值為F(1)=0. (2)證明:f(x)+g(x)(x-2)ex+ln x-x, 設(shè)h(x)=(x-2)ex+ln x-x,x∈, 要證m≥-3時(shí),m>h(x)對(duì)任意x∈均成立, 只要證h(x)max<-3即可,下證此結(jié)論成立. 因?yàn)閔′(x)=(x-1),所以當(dāng)

13、, 設(shè)u(x)=ex-,則u′(x)=ex+>0, 所以u(píng)(x)在上單調(diào)遞增, 又因?yàn)閡(x)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線,且u=-2<0,u(1)=e-1>0, 所以?x0∈,使得u(x0)=0,即ex0=,ln x0=-x0, 當(dāng)x∈時(shí),u(x)<0,h′(x)>0; 當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),u(x)>0,h′(x)<0; 所以函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞增,在(x0,1]上單調(diào)遞減, 所以h(x)max=h(x0)=(x0-2)ex0+ln x0-x0=(x0-2)·-2x0=1--2x0. 因?yàn)閥=1--2x在x∈上單調(diào)遞增, 所以h(x0)=1--2x0<1-2-2=

14、-3,即h(x)max<-3, 所以當(dāng)m≥-3時(shí),不等式f(x)+g(x)

15、 ===1. 三上臺(tái)階,自主選做志在沖刺名校 1.觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,…,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為________. 解析:由|x|+|y|=1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12,歸納推理得|x|+|y|=n的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4n,故|x|+|y|=20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80. 答案:80 2.古希臘的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)

16、.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式: 三角形數(shù)   N(n,3)=n2+n 四邊形數(shù)   N(n,4)=n2 五邊形數(shù)   N(n,5)=n2-n 六邊形數(shù)   N(n,6)=2n2-n …… 可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(20,15)的值為________. 解析:原已知式子可化為N(n,3)=n2+n=n2+n; N(n,4)=n2=n2+n; N(n,5)=n2-n=n2+n; N(n,6)=2n2-n=n2+n. 故N(n,k)=n2+n, N(20,15)=×202+×20=2 490. 答案:2

17、 490 3.(xx·東臺(tái)中學(xué)檢測(cè))如圖,已知雙曲線-=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2是左右兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線上. (1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積; (2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=60°, △F1MF2的面積又是多少? (3)觀察以上結(jié)果,你能猜出隨著∠F1MF2的度數(shù)的變化, △F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結(jié)論. 解:由雙曲線方程知a=2,b=3,c=, 設(shè)MF1=r1,MF2=r2(r1>r2),由雙曲線的定義,得r1-r2=2a=4, 將r1-r2=4兩邊平方得r+r-2r1r2=16, (1)若∠F1MF

18、2=90°,在Rt△F1MF2中,有F1F-4S△F1MF2=16, 即52-16=4S△F1MF2,解得S△F1MF2=9. (2)若∠F1MF2=120°,在△F1MF2中,由余弦定理得F1F=r+r-2r1r2cos 120°, 即F1F=(r1-r2)2+3r1r2, 即(2)2=42+3r1r2,所以r1r2=12, 可得S△F1MF2=r1r2sin 120°=3. 同理可得,若∠F1MF2=60°時(shí),S△F1MF2=9. (3)由此猜想:隨著∠F1MF2的度數(shù)的逐漸增大,△F1MF2的面積將逐漸減小. 證明如下:令∠F1MF2=θ(0<θ<π), 則S△F1MF2=r1r2sin θ, 由雙曲線的定義及余弦定理, 得 ②-①得r1r2=, 所以S△F1MF2==, 因?yàn)?<θ<π,0<<,所以當(dāng)∈時(shí),tan 是增函數(shù). 而當(dāng)tan 逐漸增大時(shí),S△F1MF2=將逐漸減小,所以隨著∠F1MF2的度數(shù)的逐漸增大,△F1MF2的面積將逐漸減?。?

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