2022年高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量 第1講 平面向量的概念及線性運算習題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，給出下列結(jié)論：①a與λa的方向相反；②a與λ2a的方向相同；③|－λa|≥|a|；④|－λa|≥|λ|·a.其中正確的是________(填序號). 解析　對于①，當λ＞0時，a與λa的方向相同，當λ＜0時，a與λa的方向相反，②正確；對于③，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關系不確定；對于④，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小. 答案?、? 2.在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示). 解析　由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案　－a＋b 3.(xx·全國Ⅱ卷)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____________. 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得解得λ＝μ＝. 答案　 4.設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使＝成立的充分條件是________(填序號). ①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|. 解析　表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有＝，觀察選項易知③滿足題意. 答案　③ 5.(xx·溫州八校檢測)設a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________. 解析　∵＝a＋b，＝a－2b， ∴＝＋＝2a－b. 又∵A，B，D三點共線，∴，共線. 設＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)， ∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1. 答案?。? 6.向量e1，e2不共線，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，給出下列結(jié)論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號為________. 解析　由＝－＝4e1＋2e2＝2，且與不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上. 答案?、? 7.(xx·北京卷)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 解析　由題中條件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－. 答案　?。? 8.(xx·蘇北四市調(diào)研)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0，若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析　由已知條件得＋＝－，如圖，因此延長AM交BC于D點，則D為BC的中點.延長B M交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E、F分別為AC、AB的中點，即M為△ABC的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝3，則m＝3. 答案　3 二、解答題 9.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？ 解　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 要使d與c共線，則應有實數(shù)k，使d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2， 即得λ＝－2μ. 故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線. 10.如圖，四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M，N分別是DC，AB的中點，已知＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示，，＋. 解?。剑剑璦＋b＋c. 因為＝＋＋，＝＋＋， 所以2＝＋＋＋＋＋＝－－＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以＝a－b－c. ＋＝＋＋＋＝2＝a－2b－c. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2＝2＋，給出以下說法：①點P在線段AB上；②點P在線段AB的反向延長線上；③點P在線段AB的延長線上；④點P不在直線AB上.其中說法正確的是________(填序號). 解析　因為2＝2＋，所以2＝，所以點P在線段AB的反向延長線上，故②正確. 答案?、? 12.O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的________(填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”). 解析　作∠BAC的平分線AD. ∵＝＋λ， ∴＝λ ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))， ∴＝·， ∴∥. ∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心. 答案　內(nèi)心 13.若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________. 解析　＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|. 故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形. 答案　直角三角形 14若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？ 解　設＝a，＝tb，＝(a＋b)， ∴＝－＝－a＋b， ＝－＝tb－a. 要使A，B，C三點共線，只需＝λ， 即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa. 又∵a與b為不共線的非零向量， ∴有? ∴當t＝時，三向量終點在同一直線上.