2.1.3　方程組的解集 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解方程組的解集的定義及表示方法．(難點(diǎn)) 2．掌握用消元法求方程組解集的方法．(重點(diǎn)) 3．會(huì)利用方程組知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 1.通過(guò)理解方程組的定義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)． 2．通過(guò)求方程組的解集，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng). 1．方程組的解集 一般地，將多個(gè)方程聯(lián)立， 就能得到方程組．方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱為這個(gè)方程組的解集． 2．求方程組解集的依據(jù)是等式的性質(zhì)等，常用的方法是消元法． 3．二元一(二)次方程組解集的表示方法為{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b為確定的實(shí)數(shù)，三元一次方程組解集的表示方法為 {(x, y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c為確定的實(shí)數(shù)． 1．用代入法解方程組時(shí)，代入正確的是(　　) A．x－2－x＝4　　　　 B．x－2－2x＝4 C．x－2＋2x＝4 D．x－2＋x＝4 C　[把①代入②得，x－2(1－x)＝4，去括號(hào)得，x－2＋2x＝4.故選C.] 2．已知二元一次方程組解集為(　　) A．{(x，y)|(2,3)} B．{(x，y)|(3,2)} C．{(x，y)|(－2,3)} D．{(x，y)|(－2，－3)} A　[ ①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集為{(x，y)|(2,3)}，故選A.] 3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，則A∩B＝(　　) A．{(x，y)|(1,4)} B．{(x，y)|(2,3)} C．{(x，y)|(3,2)} D．{(x，y)|(4,1)} C　[根據(jù)題意，得 由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}. ] 4．已知那么x－y的值是________． －1　[兩式相減可得結(jié)果x－y＝－1.] 二元一次方程組的解集 【例1】　求下列方程組的解集． (1) (2) [解]　(1)由①，得y＝4－x.③ 把③代入②，得2x－3(4－x)＝3. 解這個(gè)方程，得x＝3. 把x＝3代入③，得y＝1. 所以原方程組的解集為{(x，y)|(3,1)}． (2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2. 把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1. 所以原方程組的解集為{(x，y)|(2,1)}． 法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1. 把y＝1代入①得，3x－7×1＝－1，所以x＝2. 所以原方程組的解集為{(x，y)|(2,1)}. 求二元一次方程組的解集的常用方法有加減消元法和代入消元法，要能夠根據(jù)所解方程組的特點(diǎn)選用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ⒁饨饧谋硎拘问? 1．求下列方程組的解集． (1) (2) [解]　(1)由②，得2y＝3x－5.③ 把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝. 所以原方程組的解集為. (2)由①×2，得16x＋18y＝146，③ 由③－②，得9x＝144，解得x＝16. 把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－. 所以原方程組的解集為. 三元一次方程組的解集 【例2】　求下列方程組的解集． (1) (2) [解]　(1)法一：將③分別代入①②，得 解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程組的解集為{(x，y，z)|(8,2,2)}． 法二：②－①，得y＋4z＝10，④ ②－③，得6y＋5z＝22，⑤ 聯(lián)立④⑤，得解得 把y＝2代入③，得x＝8. 所以原方程組的解集為{(x，y，z)|(8,2,2)}． 法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④ ④－②，得4x＋3y＝38，⑤ 聯(lián)立③⑤，得解得 把x＝8，y＝2代入①，得z＝2. 所以原方程組的解集為{(x，y，z)|(8,2,2)}． (2)①×2－②，得x＋8z＝11，④ ①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤ 聯(lián)立④⑤，得解得 把x＝3，z＝1代入①，得y＝2. 所以原方程組的解集為{(x，y，z)|(3,2,1)}． 求三元一次方程組解集的基本思路是：通過(guò) “代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”化為 “二元”，使三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解. 2．求方程組的解集． [解]?、伲冢郏?(x＋y＋z)＝10， 即x＋y＋z＝5.④ ④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2. 所以原方程組的解集為{(x，y，z)|(－1,2,4)}． 待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式 【例3】　已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像過(guò)點(diǎn)(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式． [思路點(diǎn)撥]　把a(bǔ)，b，c看成三個(gè)未知數(shù)，分別把三組已知的x，y的值代入，就可以得到一個(gè)三元一次方程組，解這個(gè)方程組即可求出a，b，c的值． [解]　根據(jù)題意，得 ②－①，得a＋b＝2，④ ③－①，得4a＋b＝26，⑤ 聯(lián)立④⑤，得解得 把a(bǔ)＝8，b＝－6代入①，得c＝－12. 因此所求函數(shù)的解析式為y＝8x2－6x－12. 解決此類問(wèn)題的方法是根據(jù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組，解方程組求得字母系數(shù)的值，進(jìn)而確定所求函數(shù)的解析式. 3．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像過(guò)點(diǎn)(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式． [解]　根據(jù)題意，得解得 因此所求函數(shù)的解析式為y＝－5x2＋8x＋1. 二元二次方程組的解集 【例4】　求下列方程組的解集． (1) (2) [解]　(1)由①得y＝8－x，③ 把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0. 解得x1＝2，x2＝6. 把x1＝2代入③，得y1＝6. 把x2＝6代入③，得y2＝2. 所以原方程組的解集為{(x，y)|(2,6)，(6,2)}． (2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0， 解得x－2y＝1或x－2y＝－2， 由得 由得 所以原方程組的解集為. 求二元二次方程組解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把二次降為一次，因此可以通過(guò)消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程. 4．求方程組的解集． [解]　∵方程①是x與2y的和，方程②是x與2y的積， ∴x與2y是方程z2－4z－21＝0的兩個(gè)根，解此方程得z1＝－3，z2＝7， ∴或 即或 所以原方程組的解集為 . 方程組的實(shí)際應(yīng)用 【例5】　某汽車在相距70 km的甲、乙兩地往返行駛，行駛中有一坡度均勻的小山．該汽車從甲地到乙地需要2.5 h，從乙地到甲地需要2.3 h．假設(shè)該汽車在平路、上坡路、下坡路的行駛過(guò)程中時(shí)速分別是30 km,20 km,40 km，則從甲地到乙的過(guò)程中，上坡路、平路、下坡路的長(zhǎng)度各是多少？ [思路點(diǎn)撥]　 題中有三個(gè)等量關(guān)系：①上坡路長(zhǎng)度＋平路長(zhǎng)度＋下坡路長(zhǎng)度＝70 km；②從甲地到乙地的過(guò)程中，上坡時(shí)間＋平路時(shí)間＋下坡時(shí)間＝2.5 h；③從乙地到甲地的過(guò)程中，上坡時(shí)間＋平路時(shí)間＋下坡時(shí)間＝2.3 h. [解]　設(shè)從甲地到乙地的過(guò)程中，上坡路、平路、下坡路分別是x km，y km和z km. 由題意得解得 故從甲地到乙地的過(guò)程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km. 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程組，求出方程組的解集，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題. 5．在中國(guó)古算術(shù)《張丘建算經(jīng)》(約公元5世紀(jì))里，有一道著名的“百雞問(wèn)題”：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢買百雞，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何？(三種雞都買) [解]　設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別買x只、y只、z只． 根據(jù)題意，得 ②×3－①，得7x＋4y＝100，y＝＝25－x. 因?yàn)閤，y均為正數(shù)，所以x一定是4的倍數(shù)，且x是小于的正整數(shù)，所以x的取值只能為4,8,12. 若x＝4，則y＝18，z＝78； 若x＝8，則y＝11，z＝81； 若x＝12，則y＝4，z＝84. 故雞翁為4只，雞母為18只，雞雛為78只或雞翁為8只，雞母為11只，雞雛為81只或雞翁為12只，雞母為4只，雞雛為84只． 1．求二元一次方程組的解集的常用方法有加減消元法和代入消元法，要能夠根據(jù)所解方程組的特點(diǎn)選用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ⒁饨饧谋硎拘问剑? 2．待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解決此類問(wèn)題的方法是根據(jù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組，解方程組求得字母系數(shù)的值，進(jìn)而確定所求函數(shù)的解析式. 1．二元一次方程組的解集是(　　) A．{(x，y)|(1,2)}　　　　 B．{(x，y)|(1,0)} C．{(x，y)|(－1,2)} D．{(x，y)|(1，－2)} A　[由加減消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程組的解集為{(x，y)|(1,2)}．] 2．求方程組的解集時(shí)，要使運(yùn)算簡(jiǎn)便，消元的方法應(yīng)選取(　　) A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上說(shuō)法都不對(duì) B　[根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，先消去y最簡(jiǎn)便，故選B.] 3．桌面上有甲、乙、丙三個(gè)杯子，三杯內(nèi)原本均裝有一些水．先將甲杯的水全部倒入丙杯，此時(shí)丙杯的水量為原本甲杯內(nèi)水量的2倍多40毫升；再將乙杯的水全部倒入丙杯，此時(shí)丙杯的水量為原本乙杯內(nèi)水量的3倍少180毫升．若過(guò)程中水沒(méi)有溢出， 則原本甲、乙兩杯內(nèi)的水量相差(　　) A．80毫升 B．110毫升 C．140毫升 D．220毫升 B　[設(shè)甲杯中原有水a(chǎn)毫升，乙杯中原有水 b毫升，丙杯中原有水c毫升， 依題意有 ②－①，得b－a＝110，故選B.] 4．設(shè)計(jì)一個(gè)二元二次方程組，使得這個(gè)二元二次方程組的解是和試寫(xiě)出符合要求的方程組________． 　[由于這兩組解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1， 故可組成方程組為(答案不唯一)．] - 7 -