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1、2022年高考數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)復(fù)習(xí)12 分期付款中的有關(guān)計(jì)算
教學(xué)目的:
通過“分期付款中的有關(guān)計(jì)算“的教學(xué),使學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)角度對某些日常生活中的問題進(jìn)行研究
教學(xué)重點(diǎn):分期付款問題進(jìn)行獨(dú)立探究的基本步驟
教學(xué)難點(diǎn):將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題
授課類型:新授課
課時(shí)安排:1課時(shí)
教 具:多媒體、實(shí)物投影儀
內(nèi)容分析:
?? ?研究性課題的教學(xué)有兩個(gè)特點(diǎn):一是不僅僅局限于書本知識,更有很多課外內(nèi)容,如利率、復(fù)利計(jì)息、分期付款等專業(yè)術(shù)語的含義,以及現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的運(yùn)用等,這樣就使探究成敗不決定于數(shù)學(xué)成績的好壞,每一位學(xué)生都可以通過自己的思考與實(shí)踐獲得成功;其次,不僅僅拘泥于
2、教師主演,也不僅僅注重研究的結(jié)果,更關(guān)注的是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提出問題、分析問題、解決問題的能力和心理體驗(yàn),這就為學(xué)生個(gè)性的發(fā)展,能力的提高,創(chuàng)新精神的培養(yǎng)提供了廣闊的空間而正因有這樣的特點(diǎn),就導(dǎo)致了不僅僅該課題本身是開放的(具有解法和結(jié)論的不確定性),其教學(xué)本身也是開放性的,這就有可能出現(xiàn)教師事先沒預(yù)料到的問題,從而也為促進(jìn)教學(xué)相長提供了好機(jī)會
研究性課題是應(yīng)教改需要在新教材中新加的一個(gè)專題性欄目,為突出研究性課題的實(shí)踐性,課前和課后都安排學(xué)生進(jìn)行社會調(diào)查實(shí)踐;為突出研究性課題的探究性,對學(xué)生適當(dāng)啟發(fā)引導(dǎo),大膽放手,讓學(xué)生獨(dú)立分析和解決問題另外以突出學(xué)生主體地位為根本去設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié);以面向全
3、體學(xué)生為原則而采取分層次的教學(xué)方式,并且采用了現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等多媒體教學(xué)手段輔助教學(xué),提高了課堂效率和教學(xué)效果
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.研究性課題的基本過程:
生活實(shí)際中的問題存在的可行方案啟迪思維留有余地
搜集整理信息獨(dú)立探究個(gè)案提出解答并給答辯
創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證并使用模型結(jié)論分析
2.分期付款使用模型:分期付款購買售價(jià)為a的商品,分n次經(jīng)過m個(gè)年(月)還清貸款,每年(月)還款x,年(月)利率為p,則每次應(yīng)付款:
二、例題講解
將上節(jié)課采取不同方案所得結(jié)果列表比較,看其是否有共同特點(diǎn)?列表比較,觀其規(guī)律.
方案
類別
付款
次數(shù)
付款方法
每期所付款表
4、達(dá)式
每期
付款
付款
總額
1
6
每隔2個(gè)月付款1次,付6次
x=
1785.86
10721.16
2
12
每月付款1次,付12次
x=
888.49
10661.85
3
3
每隔4個(gè)月付款1次,付3次
x=
3607.62
10822.85
例1 一般地,購買一件售價(jià)為a元的商品采用分期付款時(shí)要求在m個(gè)月內(nèi)將款全部付清,月利率為p,分n(n是m的約數(shù))次付款,那么每次付款數(shù)的計(jì)算公式為
推導(dǎo)過程:設(shè)每次付款x
則:第1期付款x元(即購貨后個(gè)月時(shí)),到付清款時(shí)還差個(gè)月,因此這期所付款連同利息之和為:
……
第n期付款(
5、即最后一次付款)x元時(shí),款已付清,所付款沒有利息.
各期所付的款連同到最后一次付款時(shí)所生的利息之和為:
貨款到m個(gè)月后已增值為
根據(jù)規(guī)定可得:
即:
解之得:
例2 某人,公元xx年參加工作,考慮買房數(shù)額較大需做好長遠(yuǎn)的儲蓄買房計(jì)劃,打算在xx年的年底花50萬元購一套商品房,從xx年初開始存款買房,請你幫我解決下列問題:
方案1:從xx年開始每年年初到建設(shè)銀行存入3萬元,銀行的年利率為1.98%,且保持不變,按復(fù)利計(jì)算(即上年利息要計(jì)入下年的本金生息),在xx年年底,可以從銀行里取到多少錢?若想在xx年年底能夠存足50萬,每年年初至少要存多少呢?
方案2:若在xx年初向建行
6、貸款50萬先購房,銀行貸款的年利率為4.425%,按復(fù)利計(jì)算,要求從貸款開始到xx年要分10年還清,每年年底等額歸還且每年1次,每年至少要還多少錢呢?
方案3:若在xx年初貸款50萬元先購房,要求從貸款開始到xx年要分5期還清,頭兩年第1期付款,再過兩年付第二期…,到xx年年底能夠還清,這一方案比方案2好嗎?
啟迪思維,留有余地:
問題1:按各種方案付款每次需付款額分別是多少?
每次付款額是50萬元的平均數(shù)嗎?(顯然不是,而會偏高)
那么分期付款總額就高于買房價(jià),什么引起的呢?(利息)
問題2:按各種方案付款最終付款總額分別是多少?(事實(shí)上,它等于各次付款額之和,于是可以歸結(jié)為上一
7、問題)
于是,本課題的關(guān)鍵在于按各種方案付款每次需付款額分別是多少?
——設(shè)為x
搜集、整理信息:
(1)分期付款中規(guī)定每期所付款額相同;
(2)每年利息按復(fù)利計(jì)算,即上年利息要計(jì)入下年本金.
例如,由于年利率為1.98%,,款額a元過一個(gè)年就增值為
a(1+1.98%)=1.0198a(元);
再過一個(gè)月又增值為1.0198a(1+1.98%)=1.0198a(元)
獨(dú)立探究方案1
可將問題進(jìn)一步分解為:
1. 商品售價(jià)增值到多少?
2. 各期所付款額的增值狀況如何?
3.當(dāng)貸款全部付清時(shí),房屋售價(jià)與各期付款額有什么關(guān)系?
提出解答,并給答辯:
按復(fù)利計(jì)算
8、存10年本息和(即從銀行里取到錢)為:
3×+3×+…+3×
=≈33.51(萬元)
設(shè)每年存入x萬元,在xx年年底能夠存足50萬則:
解得x=4.48(萬元)
通過方案1讓學(xué)生了解了銀行儲蓄的計(jì)算,也初步掌握了等比數(shù)列在銀行儲蓄中的應(yīng)用,儲蓄買房時(shí)間長久,顯然不切合我的實(shí)際,于是引出分期付款問題;
獨(dú)立探究方案2:
分析方法1:設(shè)每年還x,第n年年底欠款為,則
xx年底:=50(1+4.425%)–x
xx年底:=(1+4.425%)–x
=50–(1+4.425%)·x–x …
xx年底:=(1+4.425%)–x
=50×– ·x–…–(1+4.
9、425%)·x–x
=50×–
解得:≈6.29(萬元)
分析方法2:50萬元10年產(chǎn)生本息和與每年存入x的本息和相等,故有
購房款50萬元十年的本息和:50
每年存入x萬元的本息和:x·+x·+…+x
=·x
從而有 50=·x
解得:x=6.29(萬元) , 10年共付:62.9萬元
獨(dú)立探究方案3:
分析:設(shè)每期存入x萬元,每一期的本息和分別為:第5期為x,第4期x, 第3期 x,第二期:x,第1期x,則有
[1++++·x
=50·
解得:≈12.85(萬元)
此時(shí),10年共付:12.85×5=64.25(萬元)
創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型:
比較方案1、2、
10、3結(jié)果,經(jīng)過猜想得:分期付款購買售價(jià)為a的商品,分n次經(jīng)過m個(gè)年還清貸款,每年還款x,年利率為p,則
驗(yàn)證并使用模型:(略)
結(jié)論分析:
方案
類別
付(存)款
次數(shù)
付(存)款方法
每期所付款表達(dá)式
每期
付款
付款
總額
1
10
每隔1年存款1次,存10次
4.48
50
2
10
每年付款1次,付12次
6.29
62. 9
3
5
每隔2年付款1次,付5次
12.85
64.25
方案3比方案2多付了:64.25-62.9=1.35(萬元)所以方案2更好
方案1每年雖存款少,但需等10年后才能買房由于6.29-4.48=1.81(萬元),如若本地的年房租低于1.81(萬元)就可以考慮先租10年房后再買房的方案,當(dāng)然還要考慮10年后的房價(jià)是升還降的問題
四、小結(jié) : 解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),應(yīng)先根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即數(shù)學(xué)建模,然后根據(jù)所學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)知識求得數(shù)學(xué)模型的解,最后根據(jù)實(shí)際情況求得實(shí)際問題的解.
五、課后作業(yè):提出一個(gè)熟悉的日常生活中的分期付款問題,并探究解決
六、板書設(shè)計(jì)(略)
七、課后記