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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十三 空間中的平行與垂直練習(xí) 理 　　　　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 基礎(chǔ)演練夯知識(shí) 1. 能夠得出平面α與平面β一定重合的條件是：它們的公共部分有(　　) A．兩個(gè)公共點(diǎn) B．三個(gè)公共點(diǎn) C. 無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) D．共圓的四個(gè)公共點(diǎn) 2．直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交　　　　　　 B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交 C. a⊥b　　　　　　　　　　　　　 D．a(chǎn)與b不一定垂直 3. 已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　

2、) A．α∥β，且l∥α B．α⊥β，且l⊥α C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 4. 設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是(　　) A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a⊥α，a∥b，則b⊥α C．若a⊥α，a⊥b，則b∥α D．若a∥α，a⊥b，則b⊥α 5. 已知m，n，l是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，給出下列命題： ①若m∥n，n?α，則m∥α；②若m⊥l，n⊥l，則m∥n； ③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β. 其中真命題有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè)　　

3、C. 2個(gè) D．3個(gè) 提升訓(xùn)練強(qiáng)能力 6．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，則α∥β的一個(gè)充分條件是(　　) A．存在一條直線l，l?α，l∥β B．存在一個(gè)平面γ，γ⊥α，γ⊥β C. 存在一條直線l，l⊥α，l⊥β D．存在一個(gè)平面γ，γ⊥α，γ∥β 7. 設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中為真的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 8．在正方體中，二面角A1-BD-A的正切值是(　　) A. B. C. 2 D. 9. 已知α，β是兩個(gè)不同

4、的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題： ①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β； ③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α，且n∥β. 其中為真命題的是 (　　) A．①② B．②③ C. ③④ D．①④ 10. 如圖13-1所示，正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C. 三棱錐A-BEF的體積為定值 D．△AEF的面積與△BEF的面積相等

5、 　 　　　圖13-1　　　　　　　　　圖13-2 11．如圖13-2所示，已知三個(gè)平面α，β，γ互相平行，a，b是異面直線，a與α，β，γ分別交于A，B，C三點(diǎn)，b與α，β，γ分別交于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，連接AF交平面β于點(diǎn)G，連接CD交平面β于點(diǎn)H，則四邊形BGEH必為_(kāi)_______． 12. 如圖13-3所示正方體ABCD-A1B1C1D1，下面結(jié)論正確的是________．(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上) ①AC∥平面DA1C1；② BD1⊥平面DA1C1; ③過(guò)點(diǎn)B與異面直線AC和A1D所成角均為60°的直線有4條； ④四面體DA1D1C1與正方體ABCD-A1B1C1D1的

6、內(nèi)切球的半徑之比為；⑤與平面DA1C1平行的平面與正方體的各個(gè)面都有交點(diǎn)，則這個(gè)截面的周長(zhǎng)為定值． 圖13-3 13. 已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且俯視圖如圖13-4所示．關(guān)于該四棱錐的下列說(shuō)法中： ①該四棱錐中至少有兩組側(cè)面互相垂直；②該四棱錐的側(cè)面中可能存在三個(gè)直角三角形；③該四棱錐中不可能存在四組互相垂直的側(cè)面；④該四棱錐的四個(gè)側(cè)面不可能都是等腰三角形． 其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________________． 圖13-4 14．在如圖13-5所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2B

7、C＝2，AC⊥FB. (1)求證：AC⊥平面FBC. (2)AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論． 圖13-5　　　　　　 15．如圖13-6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面PBD⊥平面ABCD，AD＝2，PD＝2，AB＝PB＝4，∠BAD＝60°. (1)求證：AD⊥PB； (2)E是側(cè)棱PC上一點(diǎn)，記＝λ，當(dāng)PB⊥平面ADE時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值． 圖13-6

8、 16．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，CD＝，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，G為CD的中點(diǎn)，現(xiàn)沿ED將△AED折起到△PED位置，使PE⊥EB. (1)求證：平面PEG⊥平面PCD； (2)求點(diǎn)A到平面PDC的距離． 圖13-7　　　　　　 專題限時(shí)集訓(xùn)(十三) 【基礎(chǔ)演練】 1．D　[解析] 兩點(diǎn)、三點(diǎn)或無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)都可以是同一直線上的點(diǎn)，而共圓的四個(gè)公共點(diǎn)一定不共線，所以正確選項(xiàng)為D. 2．C　[解析] 因?yàn)閎∥α，所以在α中必有一條直線c與b平行．因?yàn)閍⊥α，所以a⊥c，所以a⊥b. 3．D　[解析] 由m，n為異面直線，m⊥平面

9、α，n⊥平面β得α與β相交；又?l∥α，同理l∥β，從而α與β的交線平行于l. 4．B　[解析] 由a∥α，b∥α得a，b的關(guān)系不確定；若a⊥α，a∥b，則b⊥α，正確；由a⊥α，a⊥b，得b∥α或b?α；由a∥α，a⊥b，知b與α的關(guān)系不確定，選B. 5．A　[解析] ①中，也可能直線m?α；②中，m，n也可能相交或異面；③中，平面α，β的關(guān)系不確定；④中，與一個(gè)平面同時(shí)垂直的兩個(gè)平面也可能相交． 【提升訓(xùn)練】 6．C　[解析] 在選項(xiàng)A的條件下，α，β也可能相交；在選項(xiàng)B的條件下，α，β也可能相交；在選項(xiàng)C的條件下，由垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行知α∥β；在選項(xiàng)D的條件下，α⊥β

10、. 7．B　[解析] 在選項(xiàng)A中，當(dāng)l平行于平面α，β的交線時(shí)，也符合已知條件，此時(shí)α，β不平行；在選項(xiàng)B中，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；在選項(xiàng)C中，若l⊥α，l∥β，則α⊥β；在選項(xiàng)D中，在已知條件下，l與β的位置關(guān)系不確定． 8．A　[解析] 如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，A1O，則∠AOA1即為二面角A1-BD-A的平面角，易知tan∠AOA1＝＝. 9．D　[解析] ①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，此時(shí)只有當(dāng)m，n相交，α∥β； ③如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α可能相交或平行；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?

11、β，則n∥α且n∥β. 10．D　[解析] 易證AC⊥平面D1DBB1，從而AC⊥BE，故A正確；由B1D1∥平面ABCD，可知EF∥平面ABCD，故B正確；連接BD交AC于點(diǎn)O，則AO為三棱錐A -BEF的高，S△BEF＝××1＝，三棱錐A-BEF的體積為××＝，為定值，故C正確．故選D. 11．平行四邊形　[解析] 由α∥β∥γ，BG?平面ACF，CF?γ，可得BG∥CF.同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理可得，BH∥GE，所以四邊形BGEH為平行四邊形． 12．①②⑤　[解析] ∵AC∥A1C1，BD1⊥A1D，BD1⊥C1D，∴①②正確；∵ 異面直線AC和A1D所成的角為60

12、°，∴過(guò)點(diǎn)B與異面直線AC和A1D所成的角均為60°的直線有且只有3條，故③錯(cuò)誤．設(shè)AA1＝a，可求得四面體DA1C1D1的內(nèi)切球半徑為a，而正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球半徑為a，故所求的比應(yīng)為1－，故④錯(cuò)誤. 將正方體沿AA1，A 1B1，B1C1，CC1，CD展開(kāi)到一個(gè)平面上，如圖所示，易知截面多邊形的周長(zhǎng)為定值，等于3a(a為正方體的棱長(zhǎng))，故⑤正確． 13．①②③　[解析] 四棱錐P-ABCD的直觀圖如圖所示，其中頂點(diǎn)P在底面上的射影為底面正方形的BC邊的中點(diǎn)．由AB⊥BC，可得側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC，同理，側(cè)面PCD⊥側(cè)面PBC，故①正確． 根據(jù)①，側(cè)面PAB

13、，PCD均為直角三角形，調(diào)整四棱錐的高，側(cè)面PBC也可能為等腰直角三角形，所以側(cè)面中可能有三個(gè)直角三角形，故②正確． 側(cè)面PAD與側(cè)面PBC不可能垂直，證明如下： 假設(shè)側(cè)面PAD與側(cè)面PBC垂直．取BC中點(diǎn)為E，連接PE.因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥平面PAD.設(shè)平面PAD∩平面PBC＝l，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得BC∥l.又PE⊥BC，所以PE⊥l，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，得PE⊥平面PAD.又PE⊥平面ABCD，所以平面PAD∥平面ABCD，與平面PAD∩平面ABCD＝AD矛盾，所以假設(shè)不成立，故側(cè)面PAD與側(cè)面PBC不可能垂直，③中的結(jié)論是正確的． 若PB＝2，則四棱錐的

14、四個(gè)側(cè)面均是等腰三角形，故④中的結(jié)論不正確． 14．解： (1)證明：在△ABC中，因?yàn)锳C＝，AB＝2，BC＝1，所以AC⊥BC. 又因?yàn)锳C⊥FB, 所以AC⊥平面FBC. (2)AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM，證明如下： 連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN.因?yàn)镃DEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn)．所以EA∥MN. 因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM, 所以EA∥平面FDM. 所以AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM. 15．解： (1)證明：在△ABD中，∵AD＝2，AB＝4，∠BAD＝60°，∴由余弦定理求得BD＝2. ∴AD2＋BD2＝

15、AB2，∴AD⊥BD.∵平面PBD⊥平面ABCD，交線為BD， ∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB. (2)作EF∥BC，交PB于點(diǎn)F，連接AF，由EF∥BC∥AD可知A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，連接DF，因?yàn)锳D⊥PB，故若PB⊥平面ADE，則需PB⊥DF. 在△PBD中，由PB＝4，BD＝2，PD＝2，及余弦定理求得cos∠BPD＝，∴在Rt△PDF中，PF＝PDcos∠BPD＝3，因此λ＝＝＝. 16．解： (1)證明：連接BD. 在△BCD中，BD＝＝2＝AD， 所以△ABD為等腰三角形． 又因?yàn)辄c(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)， 所以DE⊥AB，所以DE⊥PE. 又因?yàn)镻E⊥EB，DE∩EB＝E，所以PE⊥平面BCDE. 因?yàn)镃D?平面BCDE，所以PE⊥CD. 因?yàn)镋G為梯形ABCD的中位線，且CD⊥AD， 所以CD⊥EG， 又PE∩EG＝E， 所以CD⊥平面PEG. 又因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面PEG⊥平面PCD. (2)由(1)知平面PEG⊥平面PCD， 且平面PEG∩平面PCD＝PG， 所以在Rt△PEG中點(diǎn)E到PG的距離EM即為點(diǎn)E到平面PDC的距離．因?yàn)镻E⊥平面ABCD，所以PE⊥EG，所以EM＝＝＝. 故點(diǎn)A到平面PDC的距離為·EM＝.