《高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.2 雙曲線及其性質(zhì) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.2 雙曲線及其性質(zhì) 理（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.2 雙曲線及其性質(zhì) 理 考點一　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(xx天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線l上,則雙曲線的方程為(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　A 考點二　雙曲線的幾何性質(zhì) 2.(xx課標(biāo)Ⅰ,4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為(　　) A. B.3 C.m D

2、.3m 答案　A 3.(xx山東,10,5分)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為(　　) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 答案　A 4.(xx廣東,4,5分)若實數(shù)k滿足0

3、5分)設(shè)F1、F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D.3 答案　B 6.(xx大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1、F2,點A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cos∠AF2F1=(　　) A. B. C. D. 答案　A 7.(xx北京,11,5分)設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(2,2),

4、且與-x2=1具有相同漸近線,則C的方程為　　　　;漸近線方程為　　　　.? 答案　-=1;y=±2x 8.(xx浙江,16,4分)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A,B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是　　　　.? 答案　 9.(xx福建,19,13分)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求雙曲線E的離心率; (2)如圖,O為坐標(biāo)原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且△OAB的面積恒為8.試探究:是

5、否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由. 解析　解法一:(1)因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x,所以=2, 所以=2, 故c=a, 從而雙曲線E的離心率e==. (2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1. 設(shè)直線l與x軸相交于點C. 當(dāng)l⊥x軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點, 則|OC|=a,|AB|=4a, 又因為△OAB的面積為8, 所以|OC|·|AB|=8, 因此a·4a=8,解得a=2, 此時雙曲線E的方程為-=1. 若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為-=1. 以

6、下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時,雙曲線E:-=1也滿足條件. 設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2, 則C.記A(x1,y1),B(x2,y2). 由得y1=,同理得y2=. 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得, ·=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4). 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. 因為4-k2<0, 所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16), 又因為m2=4(k2-4), 所以Δ=0,即l與雙曲線E有且只有一個公共點. 因此,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為

7、-=1. 解法二:(1)同解法一. (2)由(1)知,雙曲線E的方程為-=1. 設(shè)直線l的方程為x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 依題意得-

8、(1-4m2)-a2=0, 即(1-4m2)(a2-4)=0, 所以a2=4, 因此,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1. 解法三:(1)同解法一. (2)當(dāng)直線l不與x軸垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 依題意得k>2或k<-2. 由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, 因為4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=, 又因為△OAB的面積為8, 所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=, 所以·=8,化簡得x1x2=4. 所以=4,即m2=4(k2-4). 由(1)得雙曲線E

9、的方程為-=1, 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0, 因為4-k2<0,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當(dāng)且僅當(dāng)Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4, 所以雙曲線E的方程為-=1. 當(dāng)l⊥x軸時,由△OAB的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線E:-=1有且只有一個公共點. 綜上所述,存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為-=1. 10.(xx江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點為F,點A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,B

10、F∥OA(O為坐標(biāo)原點). (1)求雙曲線C的方程; (2)過C上一點P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點M,與直線x=相交于點N. 證明:當(dāng)點P在C上移動時,恒為定值,并求此定值. 解析　(1)設(shè)F(c,0),因為b=1,所以c=, 直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B. 又直線OA的方程為y=x,則A,kAB==.又因為AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3, 故雙曲線C的方程為-y2=1. (2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y0≠0), 即y=. 因為直線AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點為M; 直線l與直線x=的交點為N, 則== =·. 因為P(x0,y0)是C上一點,則-=1,代入上式得 =·=·=, 所求定值為==.