2022年高三數(shù)學第一次模擬考試試題 文（含解析） 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎知識和基本技能為載體，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學生科學素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：集合、不等式、復數(shù)、向量、三視圖、導數(shù)、簡單的線性規(guī)劃、直線與圓、圓錐曲線、立體幾何、數(shù)列、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、命題、程序框圖、頻率分布直方圖及獨立性檢驗思想，不等式選講、幾何證明選講、參數(shù)方程極坐標等；考查學生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷.個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.） 【題文】1. 已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】集合A1 【答案解析】D解析：因為，，所以，選D. 【思路點撥】一般遇到不等式的解集，可先對不等式求解再判斷集合之間的關(guān)系. 【題文】2.已知復數(shù)，則它的共軛復數(shù)等于( ) A． B． C． D． 【知識點】復數(shù)的概念與運算L4 【答案解析】C解析：因為，所以，則選C. 【思路點撥】復數(shù)的概念及代數(shù)運算是常考知識點，熟記運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵. 【題文】3.命題“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【知識點】特稱命題與全稱命題A3 【答案解析】B解析：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，其否定格式是特稱變?nèi)Q，結(jié)論變否定，所以選B. 【思路點撥】熟悉特稱命題與全稱命題的否定格式是快速判斷的關(guān)鍵. 【題文】4．已知是兩個不同的平面，下列四個條件中能推出的是（ ） ①在一條直線, ③存在兩條平行直線； ②存在一個平面； ④存在兩條異面直線. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【知識點】兩面平行的判定G4 【答案解析】C解析：由垂直同一直線的兩面平行知①正確，排除B,D，兩個平面內(nèi)各有一個直線與另一個面平行，兩面還可能相交所以③錯誤，排除A，則選C. 【思路點撥】對于多項選擇問題，可用排除法進行判斷. 【題文】5．已知平面向量的夾角為且，在中，，，為中點，則( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【知識點】向量的數(shù)量積F3 【答案解析】A解析：因為，所以 . 【思路點撥】求向量的模通常利用模的平方等于向量的平方進行轉(zhuǎn)化求值. 【題文】6．能夠把圓:的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓的“和諧函數(shù)”,下列函數(shù)不是圓的“和諧函數(shù)”的是（　?。? A． B． C． D． 【知識點】奇函數(shù)、圓B4 H3 【答案解析】C解析：若為和諧函數(shù)，則該函數(shù)為過原點的奇函數(shù)，顯然A,B,D都滿足條件，而C不是奇函數(shù)，所以不是圓O的和諧函數(shù)，所以答案為C. 【思路點撥】由“和諧函數(shù)”的定義及選項知，該函數(shù)若為“和諧函數(shù)”，其函數(shù)須為過原點的奇函數(shù)，由此逐項判斷即可得到答案. 【題文】7.已知sinα＋cosα＝，則tanα＝( ) A． B． C．－ D．－ 【知識點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式C2 【答案解析】A解析：因為 sinα＋cosα＝，所以，得，整理得，所以選A. 【思路點撥】本題主要考查的是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應用，可把已知通過兩邊平方轉(zhuǎn)化為熟悉的正弦余弦二次式，再化切求值. 【題文】8．已知等比數(shù)列的前An項和為，且，，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】等比數(shù)列D3 【答案解析】D解析：設等比數(shù)列的公比為q，則，所以，所以選D. 【思路點撥】抓住等比數(shù)列特征直接求出公比，再利用前n項和與通項公式特征求其比值. 【題文】9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為4，則P的取值范圍是 （ ） A． B. C． D. 【知識點】程序框圖L1 【答案解析】D解析：依次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)得：第一次執(zhí)行s=,n=2，第二次執(zhí)行s=+,n=3，第三次執(zhí)行s= s=+,n=4，因為輸出的值為4，所以，則選D. 【思路點撥】對于循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，可依次執(zhí)行循環(huán)體，直到跳出循環(huán)，再進行解答. 【題文】1 0．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（　?。? A．11 B．12 C．13 D．14 【知識點】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域E5 【答案解析】D解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖三角形ABC表示的區(qū)域，則，顯然點A到直線3x+4y﹣7=0的距離最大，又A點坐標為(﹣1, ﹣1)，所以A到直線3x+4y﹣7=0的距離為，則所求的最大值為14，所以選D. . 【思路點撥】一般遇到不等式組表示的平面區(qū)域問題時經(jīng)常利用其幾何意義數(shù)形結(jié)合解答. 【題文】11．設雙曲線C的中心為點O,若有且只有一對相交于點O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) (A) (B) (C) (D) 【知識點】雙曲線的幾何性質(zhì)H6 【答案解析】A解析：由雙曲線的基本性質(zhì)對稱軸是坐標軸，這時只須考慮雙曲線的焦點在x軸的情形．因為有且只有一對相較于點O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，所以直線A1B1和A2B2，關(guān)于x軸對稱，并且直線A1B1和A2B2，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．則有，得，所以選A. 【思路點撥】本題抓住雙曲線的對稱性得到兩直線的相互位置，再結(jié)合雙曲線的漸近線確定兩直線的變化范圍，進而得到其離心率的范圍. 【題文】12．已知函數(shù)，函數(shù)若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）[ A. B. C. D. 【知識點】函數(shù)的值域B3 【答案解析】B解析：因為當時，，所以此時函數(shù)單調(diào)遞增，其值域為，當x時，值域為，所以函數(shù)f(x)在其定義域上的值域為[0,1]，又函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的值域為[﹣2a+2, ﹣+2]，若存在，使得成立，則 解得，所以選B . 【思路點撥】本題的本質(zhì)是兩個函數(shù)的值域交集非空，可通過求值域解答. 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二．填空題（每題5分，共20分。把答案填在答題紙的橫線上） 【題文】13．已知函數(shù)，則 ． 【知識點】函數(shù)圖像的對稱性的應用B4 B8 【答案解析】5解析：因為，所以2×2+f(0)=4+1=5. 【思路點撥】結(jié)合函數(shù)各部分特征，發(fā)現(xiàn)函數(shù)值與自變量的關(guān)系進行解答即可. 【題文】14.已知球的直徑PQ=4，A、B、C是該球球面上的三點，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，DABC是正三角形，則棱錐P-ABC的體積為_________________. 【知識點】球的截面性質(zhì)，棱錐的體積G8 G7 【答案解析】解析：設球心為M，三角形ABC截面小圓的圓心為0，∵ABC是等邊三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，∴P在面ABC的投影O是等邊△ABC的重心（此時四心合一）∵PQ是直徑，∴∠PCQ=90°．∴PC=4cos30°=2 ，∴PO=2cos30°=3． OC=2sin30°=，O是等邊△ABC的重心，∴OC=OH，∴等邊三角形ABC的高 OH=，AC=÷sin60°=3． 則三棱錐P-ABC體積=PO?S△ABC=×3×××3=. 【思路點撥】一般遇到球內(nèi)的截面問題，通常利用球的截面性質(zhì)尋求各量的關(guān)系，本題圍繞棱錐體積計算公式，分別求棱錐的底面面積和高進行解答即可. 【題文】15. 一個多面體的直觀圖、主視圖、左視圖、俯視圖如下，、分別為、的中點.下列結(jié)論中正確的題號有 ①直線與 相交. ②.③//平面. ④三棱錐的體積為. 【知識點】三視圖G2 【答案解析】②③④解析：直線與是異面直線，所以①錯；取AB,BC中點E,F，因為EF∥AC，ME∥，所以平面MNFE∥平面 ， 所以，MN∥平面，所以③正確；而BC⊥平面，所以，則②正確；因為，所以④正確，綜上得正確的題號為②③④ . 【思路點撥】證明線線垂直常通過線面垂直進行判斷；求三棱錐體積時，若直接計算不方便可以考慮換底面法解答. 【題文】16. 某城市為促進家庭節(jié)約用電，計劃制定階梯電價，階梯電價按年月均用電量從低到高分為一、二、三、四檔，屬于第一檔電價的家庭約占10，屬于第二檔電價的家庭約占40，屬于第三檔電價的家庭約占30，屬于第四檔電價的家庭約占20。為確定各檔之間的界限，從該市的家庭中抽查了部分家庭，調(diào)查了他們上一年度的年月均用電量（單位：千瓦時），由調(diào)查結(jié)果得下面的直方圖 由此直方圖可以做出的合理判斷是 ①．年月均用電量不超過80千瓦時的家庭屬于第一檔 ②．年月均用電量低于200千瓦時，且超過80千瓦時的家庭屬于第二檔 ③．年月均用電量超過240千瓦時的家庭屬于第四檔 ④．該市家庭的年月均用電量的平均數(shù)大于年月均用電量的中位數(shù) 【知識點】頻率分布直方圖I2 【答案解析】①③④解析：由頻率分布直方圖知，各組對應的頻率分別為0.1,0.16,0.24，0.18,0.12,0.08,0.04,0.04,0.04，所以第一檔用電量在80千瓦時以內(nèi)，第二檔在80到160之間，第三檔在160到240之間，第四檔在240以上，則做出的合理判斷是①③④. 【思路點撥】正確認識頻率分布直方圖是解題的關(guān)鍵. 三、解答題（本大題共8小題，共70分，17---21必做，每題12分；22、23、24選做，每題10分，多選以第一題為準，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應位置） 【題文】17. （本小題滿分12分）若的圖像與直線相切，并且切點橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求和的值； (2) ⊿ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊.若是函數(shù) 圖象的一個對稱中心，且a=4，求⊿ABC周長的取值范圍. 【知識點】三角函數(shù)與解三角形C7 C8 【答案解析】(1) a=1，m=；(2) (8,12]. 解析：(1)，由題意，函數(shù)f(x)的周期為π，且最大(或最小)值為m，而m＞0，＜0，所以a=1，m=； (2)因為是函數(shù)f(x)圖像的一個對稱中心，所以，又因為A為△ABC的內(nèi)角，所以，由正弦定理得b+c+a=b+c+4=，因為，所以b+c+a∈（8,12]. 【思路點撥】一般研究三角函數(shù)的性質(zhì)，通常先把函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)；在三角形中解決邊長的關(guān)系不方便時，可利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角求范圍. 【題文】18．（本小題滿分12分）“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時，給出的區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)，該數(shù)越接近10表示越滿意．為了解某大城市市民的幸福感，隨機對該城市的男、女各500人市民進行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示： 幸福感指數(shù) 男市民人數(shù) 10 20 220 125 125 女市民人數(shù) 10 10 180 175 125 根據(jù)表格，解答下面的問題： （1）完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值； （參考數(shù)據(jù)：） （2）如果市民幸福感指數(shù)達到6，則認為他幸福．試在犯錯誤概率不超過的前提下能否判定該市市民幸福與否與性別有關(guān)？ 參考公式： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【知識點】頻率分布直方圖，獨立性檢驗思想I2 I4 【答案解析】(1) 6.46 (2)有關(guān) 解析：(1)幸福指數(shù)在[4,6).[6,8)內(nèi)的頻數(shù)分別是220+180=400,125+175=300，又因為總?cè)藬?shù)為1000人，所以相應的頻數(shù)/組距值為400÷1000÷2=0.2,300÷1000÷2=0.15，據(jù)此完成頻率分布直方圖如圖所示 所求的平均值為 0.01×2×1+0.15×2×3+0.20×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46 (2)由已知可得下表 因為，所以在犯錯誤概率不超過0.01的前提下可以判定該市市民幸福與否與性別有關(guān). 【思路點撥】理解頻率分布直方圖的縱坐標的含義是解答與頻率分布直方圖有關(guān)問題的關(guān)鍵，判斷兩個變量是否相關(guān)可用獨立性檢驗的思想解答.. 【題文】19（本小題滿分12分） 如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，于（不同于點），延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐，如圖2所示. （1）若M是FC的中點，求證：直線//平面； （2）求證：BD⊥； （3）若平面平面，試判斷直線與直線CD能否垂直？并說明理由. 【知識點】線面平行判定定理，線面垂直判定定理G4 G5 【答案解析】(1)略；(2)略；(3)不存在 解析：（1）因為,分別為中點，所以//，又，，所以. （2）因為，且 所以，又 所以 （3）直線與直線不能垂直， 因為,,, ，所以.因為，所以， 又因為，所以.假設，因為，， 所以，所以，這與為銳角矛盾 所以直線與直線不能垂直. 【思路點撥】一般遇到直線與平面平行或垂直問題，通常結(jié)合其判定定理進行解答. 【題文】20.（本小題滿分12分） 已知拋物線上的一點（m，1）到焦點的距離為.點是拋物線上任意一點（除去頂點），過點與的直線和拋物線交于點，過點與的直線和拋物線交于點.分別以點，為切點的拋物線的切線交于點P′. （I）求拋物線的方程； （II）求證：點P′在y軸上. 【知識點】圓錐曲線綜合應用H8 H7 【答案解析】（I）（II）略 解析：（Ⅰ）由題意得 ，，所以拋物線的方程為 （II）設，因為 則以點為切點的拋物線的切線方程為：，又，所以 同理可得以點為切點的拋物線的切線方程為 由解得，又過點與的直線的斜率為 所以直線的方程為 由得 所以，即，同理可得直線的方程為 由得 所以，即 則，即P′得橫坐標為0， 所以點P′在y軸上. 【思路點撥】一般遇到拋物線上的點到焦點距離可轉(zhuǎn)化為到其準線的距離進行解答；對于直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，此類問題通常把要解決的問題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點坐標關(guān)系，再通過聯(lián)立方程用韋達定理轉(zhuǎn)化求解. 【題文】21．（本小題滿分12分）對于函數(shù)，若時，恒有＞成立，則稱函數(shù)是D上的J函數(shù)． （Ⅰ）當函數(shù)是定義域上的J函數(shù)時，求m的取值范圍； （Ⅱ）若函數(shù)為（0，＋∞）上的J函數(shù)， 試比較與的大?。? 求證：對于任意大于1的實數(shù)均有. 【知識點】導數(shù)的綜合應用B12 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）①當時，當時，當時②略 解析：（Ⅰ）由，可得， 因為函數(shù)是函數(shù)，所以，即， 因為，所以，即的取值范圍為. （Ⅱ）①構(gòu)造函數(shù)， 則，可得為上的增函數(shù)， 當時，，即，得； 當時，，即，得； 當時，，即，得. ②因為，所以， 由①可知， 所以，整理得， 同理可得，…，. 把上面?zhèn)€不等式同向累加可得. 【思路點撥】在導數(shù)的綜合應用中，證明不等式一般借助于函數(shù)的單調(diào)性進行證明，若含多問時，后面的問題往往與前面的結(jié)論相關(guān). 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 【題文】22．（本小題滿分10分） 如圖，圓O1與圓O2相交于A，B 兩點，AB是圓O2的直徑，過A點作圓O1的切線交圓O2于點E，并與BO1的延長線交于點P， PB分別與⊙O1、⊙O2交于C，D兩點． 求證： （1）PA?PD=PE?PC； （2）AD=AE． 【知識點】幾何證明選講N1 【答案解析】略. 解析：（1） ① ② 由 ①②得 (2)連接AC,DE.，. 由（1）知，AB是圓的直徑 ,. 【思路點撥】在圓中出現(xiàn)圓的割線，尋求連段之間的長度關(guān)系，注意圓的切割線定理的應用. 【題文】23．（本小題滿分分）選修4─4：坐標系與參數(shù)方程選講． 已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線． （1）求曲線的普通方程； （2）若點在曲線上，點，當點在曲線上運動時，求中點的軌跡方程． 【知識點】參數(shù)方程極坐標N3 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）將 代入 ，得的參數(shù)方程為 ∴曲線的普通方程為． ………5分 （2）設，，又，且中點為 所以有： 又點在曲線上，∴代入的普通方程得 ∴動點的軌跡方程為． . 【思路點撥】若所求的點的軌跡與已知動點相關(guān)，可用代入法求其軌跡方程. 【題文】24．（本小題滿分分）選修4─5：不等式證明選講． ≥ 已知函數(shù)． （1）求 的解集； （2）設函數(shù)，若對任意的都成立，求的取值范圍． 【知識點】不等式選講N4 【答案解析】(1) 或 (2) 解析：（1） ∴即 ∴① 或② 或③ 解得不等式①：；②：無解 ③： 所以的解集為或． （2）即的圖象恒在圖象的上方 圖象為恒過定點，且斜率變化的一條直線作函數(shù)圖象如圖,其中，，∴，由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方 ∴實數(shù)的取值范圍為. 【思路點撥】解絕對值不等式一般可用零點分段討論去絕對值解不等式，對于不等式恒成立問題或者分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像關(guān)系問題進行解答.