2022年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 文（含解析） 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)、簡單的線性規(guī)劃、直線與圓、圓錐曲線、立體幾何、數(shù)列、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、命題、程序框圖、頻率分布直方圖及獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，不等式選講、幾何證明選講、參數(shù)方程極坐標(biāo)等；考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷.個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 【題文】1. 已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】集合A1 【答案解析】D解析：因?yàn)?，，所以，選D. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到不等式的解集，可先對(duì)不等式求解再判斷集合之間的關(guān)系. 【題文】2.已知復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)等于( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算L4 【答案解析】C解析：因?yàn)?，所以，則選C. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)運(yùn)算是?？贾R(shí)點(diǎn)，熟記運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵. 【題文】3.命題“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題與全稱命題A3 【答案解析】B解析：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，其否定格式是特稱變?nèi)Q，結(jié)論變否定，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】熟悉特稱命題與全稱命題的否定格式是快速判斷的關(guān)鍵. 【題文】4．已知是兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)條件中能推出的是（ ） ①在一條直線, ③存在兩條平行直線； ②存在一個(gè)平面； ④存在兩條異面直線. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【知識(shí)點(diǎn)】兩面平行的判定G4 【答案解析】C解析：由垂直同一直線的兩面平行知①正確，排除B,D，兩個(gè)平面內(nèi)各有一個(gè)直線與另一個(gè)面平行，兩面還可能相交所以③錯(cuò)誤，排除A，則選C. 【思路點(diǎn)撥】對(duì)于多項(xiàng)選擇問題，可用排除法進(jìn)行判斷. 【題文】5．已知平面向量的夾角為且，在中，，，為中點(diǎn)，則( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積F3 【答案解析】A解析：因?yàn)?，所?. 【思路點(diǎn)撥】求向量的模通常利用模的平方等于向量的平方進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值. 【題文】6．能夠把圓:的周長和面積同時(shí)分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓的“和諧函數(shù)”,下列函數(shù)不是圓的“和諧函數(shù)”的是（　?。? A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)、圓B4 H3 【答案解析】C解析：若為和諧函數(shù)，則該函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù)，顯然A,B,D都滿足條件，而C不是奇函數(shù)，所以不是圓O的和諧函數(shù)，所以答案為C. 【思路點(diǎn)撥】由“和諧函數(shù)”的定義及選項(xiàng)知，該函數(shù)若為“和諧函數(shù)”，其函數(shù)須為過原點(diǎn)的奇函數(shù)，由此逐項(xiàng)判斷即可得到答案. 【題文】7.已知sinα＋cosα＝，則tanα＝( ) A． B． C．－ D．－ 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式C2 【答案解析】A解析：因?yàn)?sinα＋cosα＝，所以，得，整理得，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用，可把已知通過兩邊平方轉(zhuǎn)化為熟悉的正弦余弦二次式，再化切求值. 【題文】8．已知等比數(shù)列的前An項(xiàng)和為，且，，則（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列D3 【答案解析】D解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，所以，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】抓住等比數(shù)列特征直接求出公比，再利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式特征求其比值. 【題文】9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為4，則P的取值范圍是 （ ） A． B. C． D. 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖L1 【答案解析】D解析：依次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)得：第一次執(zhí)行s=,n=2，第二次執(zhí)行s=+,n=3，第三次執(zhí)行s= s=+,n=4，因?yàn)檩敵龅闹禐?，所以，則選D. 【思路點(diǎn)撥】對(duì)于循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，可依次執(zhí)行循環(huán)體，直到跳出循環(huán)，再進(jìn)行解答. 【題文】1 0．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【知識(shí)點(diǎn)】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域E5 【答案解析】D解析：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D三角形ABC表示的區(qū)域，則，顯然點(diǎn)A到直線3x+4y﹣7=0的距離最大，又A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1, ﹣1)，所以A到直線3x+4y﹣7=0的距離為，則所求的最大值為14，所以選D. . 【思路點(diǎn)撥】一般遇到不等式組表示的平面區(qū)域問題時(shí)經(jīng)常利用其幾何意義數(shù)形結(jié)合解答. 【題文】11．設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O,若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) (A) (B) (C) (D) 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)H6 【答案解析】A解析：由雙曲線的基本性質(zhì)對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，這時(shí)只須考慮雙曲線的焦點(diǎn)在x軸的情形．因?yàn)橛星抑挥幸粚?duì)相較于點(diǎn)O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，所以直線A1B1和A2B2，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且直線A1B1和A2B2，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．則有，得，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】本題抓住雙曲線的對(duì)稱性得到兩直線的相互位置，再結(jié)合雙曲線的漸近線確定兩直線的變化范圍，進(jìn)而得到其離心率的范圍. 【題文】12．已知函數(shù)，函數(shù)若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）[ A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值域B3 【答案解析】B解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，?dāng)x時(shí)，值域?yàn)?，所以函?shù)f(x)在其定義域上的值域?yàn)閇0,1]，又函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的值域?yàn)閇﹣2a+2, ﹣+2]，若存在，使得成立，則 解得，所以選B . 【思路點(diǎn)撥】本題的本質(zhì)是兩個(gè)函數(shù)的值域交集非空，可通過求值域解答. 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二．填空題（每題5分，共20分。把答案填在答題紙的橫線上） 【題文】13．已知函數(shù)，則 ． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的對(duì)稱性的應(yīng)用B4 B8 【答案解析】5解析：因?yàn)椋?×2+f(0)=4+1=5. 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)各部分特征，發(fā)現(xiàn)函數(shù)值與自變量的關(guān)系進(jìn)行解答即可. 【題文】14.已知球的直徑PQ=4，A、B、C是該球球面上的三點(diǎn)，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，DABC是正三角形，則棱錐P-ABC的體積為_________________. 【知識(shí)點(diǎn)】球的截面性質(zhì)，棱錐的體積G8 G7 【答案解析】解析：設(shè)球心為M，三角形ABC截面小圓的圓心為0，∵ABC是等邊三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，∴P在面ABC的投影O是等邊△ABC的重心（此時(shí)四心合一）∵PQ是直徑，∴∠PCQ=90°．∴PC=4cos30°=2 ，∴PO=2cos30°=3． OC=2sin30°=，O是等邊△ABC的重心，∴OC=OH，∴等邊三角形ABC的高 OH=，AC=÷sin60°=3． 則三棱錐P-ABC體積=PO?S△ABC=×3×××3=. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到球內(nèi)的截面問題，通常利用球的截面性質(zhì)尋求各量的關(guān)系，本題圍繞棱錐體積計(jì)算公式，分別求棱錐的底面面積和高進(jìn)行解答即可. 【題文】15. 一個(gè)多面體的直觀圖、主視圖、左視圖、俯視圖如下，、分別為、的中點(diǎn).下列結(jié)論中正確的題號(hào)有 ①直線與 相交. ②.③//平面. ④三棱錐的體積為. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案解析】②③④解析：直線與是異面直線，所以①錯(cuò)；取AB,BC中點(diǎn)E,F，因?yàn)镋F∥AC，ME∥，所以平面MNFE∥平面 ， 所以，MN∥平面，所以③正確；而BC⊥平面，所以，則②正確；因?yàn)?，所以④正確，綜上得正確的題號(hào)為②③④ . 【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直常通過線面垂直進(jìn)行判斷；求三棱錐體積時(shí)，若直接計(jì)算不方便可以考慮換底面法解答. 【題文】16. 某城市為促進(jìn)家庭節(jié)約用電，計(jì)劃制定階梯電價(jià)，階梯電價(jià)按年月均用電量從低到高分為一、二、三、四檔，屬于第一檔電價(jià)的家庭約占10，屬于第二檔電價(jià)的家庭約占40，屬于第三檔電價(jià)的家庭約占30，屬于第四檔電價(jià)的家庭約占20。為確定各檔之間的界限，從該市的家庭中抽查了部分家庭，調(diào)查了他們上一年度的年月均用電量（單位：千瓦時(shí)），由調(diào)查結(jié)果得下面的直方圖 由此直方圖可以做出的合理判斷是 ①．年月均用電量不超過80千瓦時(shí)的家庭屬于第一檔 ②．年月均用電量低于200千瓦時(shí)，且超過80千瓦時(shí)的家庭屬于第二檔 ③．年月均用電量超過240千瓦時(shí)的家庭屬于第四檔 ④．該市家庭的年月均用電量的平均數(shù)大于年月均用電量的中位數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖I2 【答案解析】①③④解析：由頻率分布直方圖知，各組對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.1,0.16,0.24，0.18,0.12,0.08,0.04,0.04,0.04，所以第一檔用電量在80千瓦時(shí)以內(nèi)，第二檔在80到160之間，第三檔在160到240之間，第四檔在240以上，則做出的合理判斷是①③④. 【思路點(diǎn)撥】正確認(rèn)識(shí)頻率分布直方圖是解題的關(guān)鍵. 三、解答題（本大題共8小題，共70分，17---21必做，每題12分；22、23、24選做，每題10分，多選以第一題為準(zhǔn)，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應(yīng)位置） 【題文】17. （本小題滿分12分）若的圖像與直線相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求和的值； (2) ⊿ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.若是函數(shù) 圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且a=4，求⊿ABC周長的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)與解三角形C7 C8 【答案解析】(1) a=1，m=；(2) (8,12]. 解析：(1)，由題意，函數(shù)f(x)的周期為π，且最大(或最小)值為m，而m＞0，＜0，所以a=1，m=； (2)因?yàn)槭呛瘮?shù)f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，又因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，所以，由正弦定理得b+c+a=b+c+4=，因?yàn)?，所以b+c+a∈（8,12]. 【思路點(diǎn)撥】一般研究三角函數(shù)的性質(zhì)，通常先把函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)；在三角形中解決邊長的關(guān)系不方便時(shí)，可利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角求范圍. 【題文】18．（本小題滿分12分）“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時(shí)，給出的區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)，該數(shù)越接近10表示越滿意．為了解某大城市市民的幸福感，隨機(jī)對(duì)該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示： 幸福感指數(shù) 男市民人數(shù) 10 20 220 125 125 女市民人數(shù) 10 10 180 175 125 根據(jù)表格，解答下面的問題： （1）完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值； （參考數(shù)據(jù)：） （2）如果市民幸福感指數(shù)達(dá)到6，則認(rèn)為他幸福．試在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下能否判定該市市民幸福與否與性別有關(guān)？ 參考公式： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢驗(yàn)思想I2 I4 【答案解析】(1) 6.46 (2)有關(guān) 解析：(1)幸福指數(shù)在[4,6).[6,8)內(nèi)的頻數(shù)分別是220+180=400,125+175=300，又因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為1000人，所以相應(yīng)的頻數(shù)/組距值為400÷1000÷2=0.2,300÷1000÷2=0.15，據(jù)此完成頻率分布直方圖如圖所示 所求的平均值為 0.01×2×1+0.15×2×3+0.20×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46 (2)由已知可得下表 因?yàn)?，所以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下可以判定該市市民幸福與否與性別有關(guān). 【思路點(diǎn)撥】理解頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)的含義是解答與頻率分布直方圖有關(guān)問題的關(guān)鍵，判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)可用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想解答.. 【題文】19（本小題滿分12分） 如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，于（不同于點(diǎn)），延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐，如圖2所示. （1）若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線//平面； （2）求證：BD⊥； （3）若平面平面，試判斷直線與直線CD能否垂直？并說明理由. 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行判定定理，線面垂直判定定理G4 G5 【答案解析】(1)略；(2)略；(3)不存在 解析：（1）因?yàn)?分別為中點(diǎn)，所以//，又，，所以. （2）因?yàn)?，? 所以，又 所以 （3）直線與直線不能垂直， 因?yàn)?,, ，所以.因?yàn)椋裕? 又因?yàn)?，所?假設(shè)，因?yàn)?，? 所以，所以，這與為銳角矛盾 所以直線與直線不能垂直. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到直線與平面平行或垂直問題，通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行解答. 【題文】20.（本小題滿分12分） 已知拋物線上的一點(diǎn)（m，1）到焦點(diǎn)的距離為.點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)（除去頂點(diǎn)），過點(diǎn)與的直線和拋物線交于點(diǎn)，過點(diǎn)與的直線和拋物線交于點(diǎn).分別以點(diǎn)，為切點(diǎn)的拋物線的切線交于點(diǎn)P′. （I）求拋物線的方程； （II）求證：點(diǎn)P′在y軸上. 【知識(shí)點(diǎn)】圓錐曲線綜合應(yīng)用H8 H7 【答案解析】（I）（II）略 解析：（Ⅰ）由題意得 ，，所以拋物線的方程為 （II）設(shè)，因?yàn)? 則以點(diǎn)為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為：，又，所以 同理可得以點(diǎn)為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為 由解得，又過點(diǎn)與的直線的斜率為 所以直線的方程為 由得 所以，即，同理可得直線的方程為 由得 所以，即 則，即P′得橫坐標(biāo)為0， 所以點(diǎn)P′在y軸上. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化為到其準(zhǔn)線的距離進(jìn)行解答；對(duì)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，此類問題通常把要解決的問題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再通過聯(lián)立方程用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解. 【題文】21．（本小題滿分12分）對(duì)于函數(shù)，若時(shí)，恒有＞成立，則稱函數(shù)是D上的J函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)函數(shù)是定義域上的J函數(shù)時(shí)，求m的取值范圍； （Ⅱ）若函數(shù)為（0，＋∞）上的J函數(shù)， 試比較與的大小； 求證：對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)均有. 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用B12 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)②略 解析：（Ⅰ）由，可得， 因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)，所以，即， 因?yàn)?，所以，即的取值范圍? （Ⅱ）①構(gòu)造函數(shù)， 則，可得為上的增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，即，得； 當(dāng)時(shí)，，即，得； 當(dāng)時(shí)，，即，得. ②因?yàn)椋裕? 由①可知， 所以，整理得， 同理可得，…，. 把上面?zhèn)€不等式同向累加可得. 【思路點(diǎn)撥】在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中，證明不等式一般借助于函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，若含多問時(shí)，后面的問題往往與前面的結(jié)論相關(guān). 請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 【題文】22．（本小題滿分10分） 如圖，圓O1與圓O2相交于A，B 兩點(diǎn)，AB是圓O2的直徑，過A點(diǎn)作圓O1的切線交圓O2于點(diǎn)E，并與BO1的延長線交于點(diǎn)P， PB分別與⊙O1、⊙O2交于C，D兩點(diǎn)． 求證： （1）PA?PD=PE?PC； （2）AD=AE． 【知識(shí)點(diǎn)】幾何證明選講N1 【答案解析】略. 解析：（1） ① ② 由 ①②得 (2)連接AC,DE.，. 由（1）知，AB是圓的直徑 ,. 【思路點(diǎn)撥】在圓中出現(xiàn)圓的割線，尋求連段之間的長度關(guān)系，注意圓的切割線定理的應(yīng)用. 【題文】23．（本小題滿分分）選修4─4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講． 已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線． （1）求曲線的普通方程； （2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求中點(diǎn)的軌跡方程． 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程極坐標(biāo)N3 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）將 代入 ，得的參數(shù)方程為 ∴曲線的普通方程為． ………5分 （2）設(shè)，，又，且中點(diǎn)為 所以有： 又點(diǎn)在曲線上，∴代入的普通方程得 ∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為． . 【思路點(diǎn)撥】若所求的點(diǎn)的軌跡與已知?jiǎng)狱c(diǎn)相關(guān)，可用代入法求其軌跡方程. 【題文】24．（本小題滿分分）選修4─5：不等式證明選講． ≥ 已知函數(shù)． （1）求 的解集； （2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的都成立，求的取值范圍． 【知識(shí)點(diǎn)】不等式選講N4 【答案解析】(1) 或 (2) 解析：（1） ∴即 ∴① 或② 或③ 解得不等式①：；②：無解 ③： 所以的解集為或． （2）即的圖象恒在圖象的上方 圖象為恒過定點(diǎn)，且斜率變化的一條直線作函數(shù)圖象如圖,其中，，∴，由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方 ∴實(shí)數(shù)的取值范圍為. 【思路點(diǎn)撥】解絕對(duì)值不等式一般可用零點(diǎn)分段討論去絕對(duì)值解不等式，對(duì)于不等式恒成立問題或者分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)系問題進(jìn)行解答.