《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測(cè) 新人教A版選修1 -2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測(cè) 新人教A版選修1 -2(9頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測(cè) 新人教A版選修1 -2
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是( )
①y=cos x(x∈R)是三角函數(shù);
②三角函數(shù)是周期函數(shù);
③y=cos x(x∈R)是周期函數(shù).
A.①②③ B.③②①
C.②③① D.②①③
解析:顯然②是大前提,①是小前提,③是結(jié)論.
答案:D
2.用反證法證明命題“+是無理數(shù)”時(shí),假設(shè)正確的是( )
A.假設(shè)是有理數(shù)
B.假設(shè)是有理數(shù)
C.假設(shè)或
2、是有理數(shù)
D.假設(shè)+是有理數(shù)
解析:假設(shè)應(yīng)為“+不是無理數(shù)”,即“+是有理數(shù)”.
答案:D
3.下列推理過程屬于演繹推理的為( )
A.老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相似之處,某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn),試驗(yàn)成功后再用于人體試驗(yàn)
B.由1=12,1+3=22,1+3+5=32……得出1+3+5+…+(2n-1)=n2
C.由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體四條中線(四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線)交于一點(diǎn)
D.通項(xiàng)公式形如an=cqn(cq≠0)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{-2n}為等比數(shù)列
解析:A是類比推理,B是歸納推理,C是類比推理,D為演繹推理.
答案:D
3、
4.求證:+<2.
證明:因?yàn)椋?都是正數(shù),
所以為了證明+<2,
只需證明(+)2<(2)2,
展開得10+2<20,即<5,
只需證明21<25.
因?yàn)?1<25成立,
所以不等式+<2成立.
上述證明過程應(yīng)用了( )
A.綜合法
B.分析法
C.綜合法、分析法配合使用
D.間接證法
解析:結(jié)合證明特征可知,上述證明過程用了分析法,其屬于直接證明法.
答案:B
5.四個(gè)小動(dòng)物換座位,開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在1,2,3,4號(hào)位置上,第1次前后排動(dòng)物互換位置,第2次左右列互換座位,…,這樣交替進(jìn)行下去,那么第2 014次互換座位后,小兔的位置對(duì)應(yīng)的是(
4、 )
開始 第1次 第2次 第3次
A.編號(hào)1 B.編號(hào)2
C.編號(hào)3 D.編號(hào)4
解析:由題意得第4次互換座位后,4個(gè)小動(dòng)物又回到了原座位,即每經(jīng)過4次互換座位后,小動(dòng)物回到原座位,所以第2 012次互換座位后的結(jié)果與最初的位置相同,故小兔坐在第3號(hào)座位上.
答案:C
6.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平面直角坐標(biāo)系中,利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法,可以求出過點(diǎn)A(-3,4),且法向量為n=(1,-2)的直線(點(diǎn)法式)方程為:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化簡(jiǎn)得x-2y+11=0.類比以上方法,在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)A(1
5、,2,3),且法向量為m=(-1,-2,1)的平面的方程為( )
A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0
C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0
解析:所求的平面方程為-1×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0.化簡(jiǎn)得x+2y-z-2=0.
答案:A
7.用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a,b∈R)”,其反設(shè)正確的是( )
A.a(chǎn),b至少有一個(gè)不為0
B.a(chǎn),b至少有一個(gè)為0
C.a(chǎn),b全不為0
D.a(chǎn),b中只有一個(gè)為0
解析:“a,b全為0”的反設(shè)應(yīng)為“a,b不全為0”,即“a,b至少有一個(gè)不為0”.
6、答案:A
8.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示:
按照上面的規(guī)律,第n個(gè)“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為( )
A.6n-2 B.8n-2
C.6n+2 D.8n+2
解析:歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知,后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分,故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8,公差是6的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=6n+2.
答案:C
9.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項(xiàng)和為Sn,則=( )
A.2 B.4
C. D.
解析:在等比數(shù)列{an}中,q=2≠1,
設(shè)首項(xiàng)為a1≠0,則S4==15a1,
又a2=a1
7、q=2a1,
故==.
答案:C
10.下列不等式中一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析:A項(xiàng)中,因?yàn)閤2+≥x,
所以lg≥lg x;
B項(xiàng)中sin x+≥2只有在sin x>0時(shí)才成立;
C項(xiàng)中由不等式a2+b2≥2ab可知成立;D項(xiàng)中因?yàn)閤2+1≥1,所以0<≤1.
答案:C
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中的橫線上)
11.△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CA
8、P,用反證法證明時(shí)的假設(shè)為________.
解析:反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的對(duì)立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP
12. =2 , =3 , =4 ……若 =6 (a,b均為實(shí)數(shù)),猜想,a=________,b=________.
解析:由前面三個(gè)等式,推測(cè)歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,由三個(gè)等式知,整數(shù)和這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同,而分母是這個(gè)分子的平方減1,由此推測(cè) 中:a=6,b=62-1=35,即a=6,b=35.
答案:6 35
13.觀察下列等式
12=1,
12-22=-3,
9、
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10,
……
照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為____________.
解析:觀察等號(hào)左邊可知,左邊的項(xiàng)數(shù)依次加1,故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng),每項(xiàng)所含的底數(shù)也增加1,依次為1,2,3,…,n,指數(shù)都是2,符號(hào)正負(fù)交替出現(xiàn),可以用(-1)n+1表示;等號(hào)的右邊數(shù)的絕對(duì)值是左邊項(xiàng)的底數(shù)的和,故等式的右邊可以表示為(-1)n+1·,所以第n個(gè)式子可為:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.
答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·
14. 已知圓的方程是x2+y2=r2,則經(jīng)過圓上一點(diǎn)
10、M(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.類比上述性質(zhì),可以得到橢圓+=1類似的性質(zhì)為________.
解析:圓的性質(zhì)中,經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M(x0,y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換.故可得橢圓+=1類似的性質(zhì)為:過橢圓+=1上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為+=1.
答案:經(jīng)過橢圓+=1上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為+=1
15.若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于 D上的n個(gè)值x1,x2,…,xn,總滿足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f,稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù);現(xiàn)已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸
11、函數(shù),則△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是________.
解析:因?yàn)閒(x)=sin x在(0,π)上是凸函數(shù)(小前提),
所以(sin A+sin B+sin C)≤sin(結(jié)論),
即sin A+sin B+sin C≤3sin=.
因此,sin A+sin B+sin C的最大值是.
答案:
三、解答題(本大題共有6小題,共75分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或運(yùn)算步驟)
16.(12分)(2016·高考全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)若S5=,求λ.
12、
(1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,故a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.
因此{(lán)an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
于是an=n-1.
(2)解:由(1)得Sn=1-n.
由S5=得1-5=,
即5=.
解得λ=-1.
17.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x>0).如下定義一列函數(shù):f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),…,n∈N*,那么由歸
13、納推理求函數(shù)fn(x)的解析式.
解析:依題意得,f1(x)=,
f2(x)===,
f3(x)===,…,由此歸納可得fn(x)=(x>0).
18.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=lg |x|,若0<a<b,且f(a)>f(b).
證明:0<ab<1.
證明:f(x)=lg |x|
=
∵0<a<b,f(a)>f(b).
∴a、b不能同時(shí)在區(qū)間[1,+∞)上,
又由于0<a<b,故必有a∈(0,1).
若b∈(0,1),顯然有0<ab<1;
若b∈(1,+∞),由f(a)-f(b)>0,
有-lg a-lg b>0,
∴l(xiāng)g(ab)<0,∴0<ab<1.
19.(1
14、2分)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且其中任意兩邊長(zhǎng)均不相等,若,,成等差數(shù)列.
(1)比較 與 的大小,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:角B不可能是鈍角.
解析:(1) < .證明如下:
要證 < ,只需證<.
∵a,b,c>0,∴只需證b2>0,
這與cos B<0矛盾,故假設(shè)不成立.
所以角B不可能是鈍角.
解法二:假設(shè)角B是鈍角,則角B的對(duì)邊b為
15、最大邊,即b>a,b>c,所以>>0,>>0,則+>+=,這與+=矛盾,故假設(shè)不成立.
所以角B不可能是鈍角.
20.(13分)(2016·高考全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,記|f(x)|的最大值為A.
(1)求f′(x);
(2)求A;
(3)證明|f′(x)|≤2A.
解:(1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.
(2)解:當(dāng)α≥1時(shí),|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).故A=3α-2.
當(dāng)0<α<1時(shí),將f(x)變形為
f(x)=
16、2αcos2x+(α-1)cos x-1.
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,
則A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,
g(-1)=α,g(1)=3α-2,
且當(dāng)t=時(shí),g(t)取得極小值,
極小值為g=--1=-.
令-1<<1,解得α>.
①當(dāng)0<α≤時(shí),g(t)在(-1,1)內(nèi)無極值點(diǎn),
|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,
所以A=2-3α.
②當(dāng)<α<1時(shí),由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,
知g(-1)>g(1)>g.
又-|g(-1)|=>0.
所以A==.
綜上,A=
(3)證明:由(1)得
17、|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.
當(dāng)0<α≤時(shí),|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.
當(dāng)<α<1時(shí),A=++≥1,
所以|f′(x)|≤1+α<2A.
當(dāng)α≥1時(shí),|f′(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.
所以|f′(x)|≤2A.
21.(14分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn=a-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)證明:a2=;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<.
解析:(1)證明:當(dāng)n=1時(shí),4a1=a-5,a=4a1+5,
又an>0,∴a2=.
(2)當(dāng)n≥2時(shí),4Sn-1=a-4(n-1)-1,
∴4an=4Sn-4Sn-1=a-a-4,
即a=a+4an+4=(an+2)2,
又an>0,∴an+1=an+2,
∴當(dāng)n≥2時(shí),{an}是公差為2的等差數(shù)列.
又a2,a5,a14成等比數(shù)列.
∴a=a2·a14,即(a2+6)2=a2·(a2+24),解得a2=3.
由(1)知a1=1.又a2-a1=3-1=2,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1,公差d=2的等差數(shù)列.
∴an=2n-1.
(3)證明:++…+=+++…+=
=<.