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1、高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)41 雙曲線(文、理)(含詳解,13高考題)
一、選擇題
1.(xx·湖北高考文科·T2)已知,則雙曲線:與:的( )
A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等
【解題指南】分別表示出雙曲線和的實(shí)軸,虛軸,離心率和焦距,最后比較即可.
【解析】選D. 雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為,焦距為,離心率為;雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為,焦距為,離心率為,故只有焦距相等.故答案為D.
2.(xx·福建高考理科·T3)雙曲線的頂點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離等于( )
A. B. C. D.
2、
【解題指南】先求頂點(diǎn),后求漸近線方程,再用距離公式求解.
【解析】選C.雙曲線的右頂點(diǎn)為,漸近線方程為,則頂點(diǎn)到漸近線的距離為.
3.(xx·福建高考文科·T4)雙曲線x2-y2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于 ( )
A. B. C. D.
【解題指南】先求頂點(diǎn),后求漸近線方程,再用距離公式.
【解析】選B.頂點(diǎn)到漸近線y=x的距離為.
4. (xx·新課標(biāo)Ⅰ高考文科·T4)與(xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理科·T4)相同
已知雙曲線C: = 1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為( )
A.y=±x
3、 B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【解題指南】 根據(jù)題目中給出離心率確定與之間的關(guān)系,再利用確定與之間的關(guān)系,即可求出漸近線方程.
【解析】選C.因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,得,所以漸近線方程為
5.(xx·天津高考理科·T5)已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p= ( )
A.1 B. C.2 D.3
【解題指南】畫出圖示,確定拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),表示出△AOB的面積,然后求解.
【解析】選C.
如圖,A,B兩點(diǎn)是雙曲線的漸近線與拋
4、物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的交點(diǎn),其坐標(biāo)分別為,故△AOB的面積為,又因?yàn)殡p曲線的離心率為2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=a,所以p=2.
6. (xx·湖北高考理科·T5)已知0<<,則雙曲線C1:與C2: 的( )
A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等 C.焦距相等 D.離心率相等
【解析】選D. 對(duì)于雙曲線C1,有, .對(duì)于雙曲線C2,有
, .即故兩雙曲線的離心率相等.,實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距不相等。
7.(xx·北京高考理科·T6)若雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為( )
A.y=±2x B.y= C. D.
【解
5、題指南】利用離心率求a,b間的關(guān)系,代入漸近線方程。
【解析】選B。由離心率為,可知,所以,漸近線方程為。
8.(xx·北京高考文科·T7)雙曲線的離心率大于的充分必要條件是( )
A.m> B.m≥1 C.m>1 D.m>2
【解題指南】找出,表示出離心率,再解出m。
【解析】選C.。
9.(xx·廣東高考理科·T7)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,則C的方程是( )
A. B. C. D.
【解題指南】本題考查雙曲線的方程和相關(guān)性質(zhì),應(yīng)掌握好之間的關(guān)系.
【解析】選B.設(shè)C的方程為,由題意知,則,,所求方程為.
10
6、.(xx·浙江高考文科·T9) 與(xx·浙江高考理科·T9)相同
如圖,F1,F2是橢圓C1: +y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2是矩形,則C2的離心率是 ( )
A、 B、 C、 D、
【解題指南】由已知條件求解雙曲線中的a,b,c或是它們之間的關(guān)系.
【解析】選D.由橢圓C1與雙曲線C2有公共焦點(diǎn)可知,因?yàn)閨AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+|AF2|2==12,所以|AF1|·|AF2|=2,又||AF1|-|AF2||=2a,所以(|AF1|-|AF2|)2=4a2
7、,所以a2=2,a=,
所以.
二、填空題
11. (xx·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T3)雙曲線的兩條漸近線的方程為 .
【解題指南】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,b再利用漸近線公式求解.
【解析】由雙曲線得a=4,b=3,故兩條漸近線的方程為
【答案】.
12. (xx·天津高考文科·T11)已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn), 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為 .
【解題指南】根據(jù)拋物線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)確定c的值,再由離心率求a。
【解析】由拋物線知其準(zhǔn)線方程為,故雙曲線中c=2,又離心率為2,所以a=1,由得,因此該雙曲線的方程為
【答案】.
13.
8、(xx·陜西高考理科·T11)雙曲線的離心率為, 則m等于 .
【解題指南】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中及離心率的求解公式推導(dǎo)m的值.
【解析】
【答案】9.
14. (xx·陜西高考文科·T11)雙曲線的離心率為 .
【解題指南】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,及離心率的求解公式得解.
【解析】
【答案】.
15. (xx·湖南高考文科·T14)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C: (a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)。若在C上存在一點(diǎn)P。使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為________________.
【解題指南】本題由雙曲線的定義式和直角三角形中角的
9、對(duì)邊等于斜邊的一半求出的關(guān)系進(jìn)而求出雙曲線的離心率,注意范圍
【解析】在直角三角形中,由題設(shè)可知:,又,所以,故
【答案】.
16. (xx·湖南高考理科·T14)設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若且的最小內(nèi)角為,則C的離心率為___ .
【解題指南】本題由雙曲線的定義式和條件得出,的長(zhǎng),然后用余弦定理得到的關(guān)系再利用求得結(jié)果.
【解析】不妨設(shè),則得,,,則在三角形中,由余弦定理得,整理得所以.
【答案】.
17. (xx·遼寧高考文科·T15)已知為雙曲線的左焦點(diǎn),為上的點(diǎn).若的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)在線段上,則的周長(zhǎng)為__________.
【解題指南】明確雙曲線的定義及性質(zhì),合理利用式子的變形,創(chuàng)造性地使用雙曲線的定義.
【解析】由雙曲線知,則點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),由已知得,
由雙曲線的定義得,
的周長(zhǎng)為
【答案】44.