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1、2022年高考數(shù)學(xué) 極坐標(biāo)與參數(shù)方程練習(xí) 理
1、已知一條封閉的曲線由一段圓弧和一段拋物線?。ǎ┙M成。
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(X軸的正半軸為極軸,原點(diǎn)為極點(diǎn))
(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的取值范圍。
2、已知P(1,)是橢圓等內(nèi)一定點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)M到直線 的距離為d.
(1)當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)時(shí),求d的最小值;
(2)設(shè)直線MP與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求|PM|·| PN |的最大值.
3、在極坐標(biāo)系中, 極點(diǎn)為O. 曲線C: , 過(guò)點(diǎn)A(3,0)作兩條
2、互相垂直的直線與C分別交于點(diǎn)P, Q和M, N.
(1) 當(dāng)時(shí), 求直線PQ的極坐標(biāo)方程; (2) 求的最大值.
4、已知拋物線C:,過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l,交拋物線C于A、B兩點(diǎn)。
(I)將拋物線C化為普通方程,并寫出直線l的以t為參數(shù)的參數(shù)方程;
(II)若
5、已知圓.
(1)求圓心的軌跡C的方程;
(2)若存在過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡C于點(diǎn)A,B,且構(gòu)成等比數(shù)列,求的取值范圍.
不等式選講練習(xí)
1、已知大于1的正數(shù)滿足
(1)求證:
(2)求的最小值。
3、
2、設(shè)正數(shù)x,y,z滿足
(1)求證:; (2)求的最小值.
3、已知正實(shí)數(shù),,滿足.
(Ⅰ)求 的;
(Ⅱ)若,求,,的值.
4、(1)已知關(guān)于的不等式,若此不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果任取,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
5、(1)已知為正實(shí)數(shù),滿足,求證:。
(2)已知不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
極坐標(biāo)與參數(shù)方程練習(xí)參考答案
1、已知一條封閉的曲
4、線由一段圓弧和一段拋物線弧()組成。
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(X軸的正半軸為極軸,原點(diǎn)為極點(diǎn))
(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的取值范圍。
解:(1),
(2)由圖知:
當(dāng)時(shí),,此時(shí),
故
當(dāng)時(shí),,此時(shí),
,故
時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知,范圍與上述一致。綜上得:
2、矩陣與變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊(10分)
已知P(1,)是橢圓等內(nèi)一定點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)M到直線 的距離為d.
(1)當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)時(shí),求d的最小值;
(2)設(shè)直線MP與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求|PM|·| PN |的最大值.
解:(1)由橢圓的參數(shù)方程可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
5、則點(diǎn)M到直線的距離為
其中銳角滿足時(shí)“=”成立。
所以d的最小值為 ………………5分
(2)設(shè)直線MN的參數(shù)方程為
代入橢圓方程 ①
設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1,t2是方程①兩個(gè)實(shí)根,
即有
再由參數(shù)的幾何意義知:當(dāng)時(shí)“=”成立,所以|PM|·|PN|的最大值為2。 ………………10分
3、在極坐標(biāo)系中, 極點(diǎn)為O. 曲線C: , 過(guò)點(diǎn)A(3,0)作兩條互相垂直的直線與C分別交于點(diǎn)P, Q和M, N.
(1) 當(dāng)時(shí), 求直線PQ的極坐標(biāo)方程;
(2) 求的最大值.
(1) 解: 因?yàn)?
故 |MN|=|PQ| .所以直線PQ的傾斜角為
6、45°或135°,
即直線PQ的極坐標(biāo)方程是, 或 . …………(5分)
(2) 解: 因?yàn)?≤|MN|≤10, 8≤|PQ|≤10,
故 .又函數(shù)在(0, 1]上單調(diào)遞減, 在[1, + ∞) 上單調(diào)遞增,
所以 ,
當(dāng)PQ為極軸所在的直線, MN為過(guò)點(diǎn)A且垂直于極軸的直線時(shí), 等號(hào)成立.
因此 的最大值為 . …………(10分)
4、已知拋物線C:,過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l,交拋物線C于A、B兩點(diǎn)。
(I)將拋物線C化為普通方程,并寫出直線l的以t為參數(shù)的參數(shù)方程;
(II)若
7、
解:(1)因圓?。粒茫潞蛨A?。拢模吝^(guò)極點(diǎn)A,故可設(shè)圓?。粒茫潞蛨A?。拢模恋臉O坐標(biāo)方程為
對(duì)于圓弧ACB,由得:解得:
對(duì)于圓?。拢模?,由得:解得:
故圓弧ACB和圓?。拢模恋臉O坐標(biāo)方程
分別是: 5分
(2)曲線圍成的區(qū)域面積 10分
5、已知圓.
(1)求圓心的軌跡C的方程;
(2)若存在過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡C于點(diǎn)A,B,且構(gòu)成等比數(shù)列,求的取值范圍.
(1)圓的圓心的坐標(biāo)為,
消去參數(shù)得軌跡C的方程為.………………………4分
(2)設(shè)直線的方程為(為直線AB的傾斜角).
代入得
8、,顯然,即,
設(shè)其兩根為.又因?yàn)闃?gòu)成等比數(shù)列,
∴, ……………………………6 分
即,∴
由得,又,∴.
…………………………………………8 分
又設(shè)軌跡上的點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),則,
∴,又 ∴或.
…………………………………………………………10 分
不等式選講練習(xí)
1、已知大于1的正數(shù)滿足
(1)求證:
(2)求的最小值。
證明:(1)由柯西不等式得:
得:
(2)
由柯西不等式得: ,所以,
得
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。
故所求的最小值是3。
2、設(shè)正數(shù)x,y,z滿足
(
9、1)求證:; (2)求的最小值.
解:(1)由已知得
所以,由柯西不等式,得
即 ………………5分
(2)設(shè)
所以,由柯西不等式,得
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立。
所以 ………………10分
3、已知正實(shí)數(shù),,滿足.
(Ⅰ)求 的;
(Ⅱ)若,求,,的值.
解: (Ⅰ)由均值不等式(或柯西不等式):
------(2分)
------(2分)
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上述不等式中等號(hào)成立
故的為.
10、 ------(1分)
(Ⅱ)由柯西不等式:
= --(2分)
------(1分)
當(dāng)且僅當(dāng), 即,時(shí), 上述不等式中等號(hào)成立
又, 故,. ------(2分)
4、(1)已知關(guān)于的不等式,若此不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果任取,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:(1)由于不等式的解集為R,即對(duì)任意恒成立,
因?yàn)椋?
所以,又因?yàn)?,所以,所以?shí)數(shù)的取范圍為
5、(1)已知為正實(shí)數(shù),滿足,求證:。
(2)已知不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:(1)
(2)令
當(dāng)時(shí),有
當(dāng)時(shí),的最小值不存在,且可以無(wú)限小,恒成立不成立。
綜上,當(dāng)恒成立時(shí),有即
解得。