《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 理 新人教A版（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 [做真題] 題型一　抽樣方法與總體分布的估計(jì) 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是(　　) A．中位數(shù)　　　　　　　 B．平均數(shù) C．方差 D．極差 解析：選A．記9個(gè)原始評(píng)分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A． 2．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的

2、經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半 解析：選A．法一：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入

3、的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯(cuò)誤的．故選A． 法二：因?yàn)?.6<0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯(cuò)誤的．故選A． 3．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70

4、. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； (2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)． 解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 題型二　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 (2018·高考

5、全國(guó)卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò)m 不超過(guò)m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的

6、把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高

7、． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下

8、： 超過(guò)m 不超過(guò)m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． [明考情] 1．統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例在選擇或填空題中的命題熱點(diǎn)主要集中在隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體以及變量間的相關(guān)性判斷等，難度較低，常出現(xiàn)在3～4題的位置． 2．統(tǒng)計(jì)解答題多在第18題的位置，且多以頻率分布直方圖或莖葉圖與線性回歸分析或獨(dú)立性檢驗(yàn)相交匯的形式考查，難度中等． 抽樣方法 [考法全練] 1．利用系統(tǒng)抽樣法從編號(hào)分別為1，2，3，…，80的80件不同產(chǎn)品中抽出一個(gè)容量為16的樣本，如果抽出的

9、產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號(hào)為13，則抽到產(chǎn)品的最大編號(hào)為(　　) A．73　　　　　　　　　 B．78 C．77 D．76 解析：選B．樣本的分段間隔為＝5，所以13號(hào)在第三組，則最大的編號(hào)為13＋(16－3)×5＝78.故選B． 2．某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)其某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20 000人，其中各種態(tài)度對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示： 最喜愛(ài) 喜愛(ài) 一般 不喜歡 4 800 7 200 6 400 1 600 電視臺(tái)為了了解觀眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中抽選出100人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時(shí)，每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分

10、別為(　　) A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，8 解析：選D．法一：因?yàn)槌闃颖葹椋剑? 所以每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為 4 800×＝24，7 200×＝36，6 400×＝32，1 600×＝8.故選D． 法二：最喜愛(ài)、喜愛(ài)、一般、不喜歡的比例為4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2， 所以每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8，故選D． 3．(2019·廣東省七校聯(lián)考)假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)

11、法從500支疫苗中抽取50支進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時(shí)，先將500支疫苗按000，001，…，499進(jìn)行編號(hào)，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開(kāi)始向右讀，則抽取的第3支疫苗的編號(hào)為_(kāi)_______．(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行) 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67 21 76 33 50 25　83 92 12 06 76　63 01 63 78 59 16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07 44 39 52 38 79　33 21 12 34 29　78 64 56 07

12、 82 52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 解析：由題意得，從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開(kāi)始向右讀，符合條件的前三個(gè)編號(hào)依次是331，455，068，故抽取的第3支疫苗的編號(hào)是068. 答案：068 (1)系統(tǒng)抽樣 總體容量為N，樣本容量為n，則要將總體均分成n組，每組個(gè)(有零頭時(shí)要先去掉)．　 若第一組抽到編號(hào)為k的個(gè)體，則以后各組中抽取的個(gè)體編號(hào)依次為k＋，…，k＋(n－1). (2)分層抽樣 按比例抽樣，計(jì)算的主要依據(jù)是：各層抽取的數(shù)量之比＝總體中各層的數(shù)量之比． 用樣本估計(jì)總體 [典型例題] (201

13、9·廣東六校第一次聯(lián)考)某市大力推廣純電動(dòng)汽車，對(duì)購(gòu)買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程R(單位：千米)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼，其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表： 出廠續(xù)駛里程R/千米 補(bǔ)貼/(萬(wàn)元/輛) 150≤R<250 3 250≤R<350 4 R≥350 4.5 2017年底某部門隨機(jī)調(diào)查該市1 000輛純電動(dòng)汽車，統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程R，得到頻率分布直方圖如上圖所示，用樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，解決如下問(wèn)題： (1)求該市每輛純電動(dòng)汽車2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值； (2)某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2017年其充電站100天中各天充電車輛數(shù)，得如下頻數(shù)分布表： 輛數(shù) [5 500，6 5

14、00) [6 500，7 500) [7 500，8 500) [8 500，9 500] 天數(shù) 20 30 40 10 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) 2018年2月，國(guó)家出臺(tái)政策，將純電動(dòng)汽車財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái)，該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備．現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置，直流充電樁5萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電30輛車，每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái)；交流充電樁1萬(wàn)元/臺(tái)，每臺(tái)每天最多可以充電4輛車，每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái)． 該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案： 方案一，購(gòu)買100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁； 方案二，購(gòu)買2

15、00臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁． 假設(shè)車輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備，且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入，用2017年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)(日利潤(rùn)＝日收入－日維護(hù)費(fèi)用)． 【解】　(1)依題意可得純電動(dòng)汽車地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為 補(bǔ)貼/(萬(wàn)元/輛) 3 4 4.5 概率 0.2 0.5 0.3 所以該市每輛純電動(dòng)汽車2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值為3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(萬(wàn)元)． (2)由頻數(shù)分布表得每天需要充電車輛數(shù)的分布列為 輛數(shù) 6 000 7 000 8 000 9 000 概率 0.2 0.

16、3 0.4 0.1 若采用方案一，100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為30×100＋4×900＝6 600， 可得實(shí)際充電車輛數(shù)的分布列為 實(shí)際充電車輛數(shù) 6 000 6 600 概率 0.2 0.8 于是估計(jì)在方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)為 25×(6 000×0.2＋6 600×0.8)－500×100－80×900＝40 000(元)． 若采用方案二，200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁每天可充電車輛數(shù)為30×200＋4×400＝7 600， 可得實(shí)際充電車輛數(shù)的分布列為 實(shí)際充電車輛數(shù) 6 000 7 000 7 600 概率

17、 0.2 0.3 0.5 于是估計(jì)在方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)為 25×(6 000×0.2＋7 000×0.3＋7 600×0.5)－500×200－80×400＝45 500(元)． (1)統(tǒng)計(jì)中的5個(gè)數(shù)據(jù)特征 ①眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)． ②中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)．　 ③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即＝(x1＋x2＋…＋xn)． ④方差與標(biāo)準(zhǔn)差： s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]； s＝. (2)從頻率分布直方圖中得出有關(guān)數(shù)據(jù)的技

18、巧 ①頻率：頻率分布直方圖中橫軸表示組數(shù)，縱軸表示，頻率＝組距×. ②頻率比：頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1，因?yàn)樵陬l率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值，所以各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比，從而根據(jù)已知的幾組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)比求有關(guān)值． ③眾數(shù)：最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． ④中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． ⑤平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． ⑥性質(zhì)應(yīng)用：若縱軸上存在參數(shù)值，則根據(jù)所有小長(zhǎng)方形的高之和×組距＝1，列方程即可求得參數(shù)值． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)對(duì)參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的

19、1 000名選手的初賽成績(jī)(滿分：100分)作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)根據(jù)直方圖完成以下表格； 成績(jī) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 頻數(shù) (2)求參賽選手初賽成績(jī)的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (3)如果從參加初賽的選手中選取380人參加復(fù)賽，那么如何確定進(jìn)入復(fù)賽選手的成績(jī)？ 解：(1)填表如下： 成績(jī) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 頻數(shù) 50 150 350 350 100

20、 (2)平均數(shù)為55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101. (3)進(jìn)入復(fù)賽選手的成績(jī)?yōu)?0＋×10＝82(分)，所以初賽成績(jī)?yōu)?2分及其以上的選手均可進(jìn)入復(fù)賽． (說(shuō)明：回答82分以上，或82分及其以上均可) 2．(2019·昆明市診斷測(cè)試)《中國(guó)大能手》是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類的節(jié)目，旨在通過(guò)該節(jié)目，在全社會(huì)傳播和弘揚(yáng)“勞動(dòng)光勞、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時(shí)代風(fēng)尚．某公司準(zhǔn)備派出選手代表公司參加《中國(guó)大能手》職業(yè)技能

21、挑戰(zhàn)賽．經(jīng)過(guò)層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項(xiàng)關(guān)鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項(xiàng)挑戰(zhàn)的時(shí)間越少越好．已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓(xùn)練中，完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時(shí)間(單位：秒)及挑戰(zhàn)失敗(用“×”表示)的情況如表1： 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲 × 96 93 × 92 × 90 86 × × 83 80 78 77 75 乙 × 95 × 93 × 92 × 88 83 × 82 80 80 74 73 表1 據(jù)表1中甲、乙兩位選手完成該

22、項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件得表2： 均值/秒 方差 甲 85 50.2 乙 84 54 表2 (1)在表1中，從選手甲完成挑戰(zhàn)用時(shí)低于90秒的成績(jī)中，任取2個(gè)，求這2個(gè)成績(jī)都低于80秒的概率； (2)若該公司只有一個(gè)參賽名額，以完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請(qǐng)說(shuō)明你的理由． 解：(1)選手甲完成挑戰(zhàn)用時(shí)低于90秒的成績(jī)共有6個(gè)，其中低于80秒的成績(jī)有3個(gè)，分別記為A1，A2，A3，其余的3個(gè)分別記為B1，B2，B3，從6個(gè)成績(jī)中任取2個(gè)的所有取法有： A1A2，A1A3，A1B1，A

23、1B2，A1B3， A2A3，A2B1，A2B2，A2B3， A3B1，A3B2，A3B3， B1B2，B1B3， B2B3， 共5＋4＋3＋2＋1＝15(種)，其中2個(gè)成績(jī)都低于80秒的有A1A2，A1A3，A2A3，共3種，所以所取的2個(gè)成績(jī)都低于80秒的概率P＝＝. (2)甲、乙兩位選手完成關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的次數(shù)都為10，挑戰(zhàn)失敗的次數(shù)都為5，所以只需要比較他們完成關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的情況即可， 其中甲＝85(秒)，乙＝84(秒)， s＝50.2，s＝54. 答案①：選手乙代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽比較合適，因?yàn)樵谙嗤螖?shù)的挑戰(zhàn)中，兩位選手在關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別

24、相同，但甲>乙，乙選手平均用時(shí)更短． 答案②：選手甲代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽比較合適，因?yàn)樵谙嗤螖?shù)的挑戰(zhàn)中，兩位選手在關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，雖然甲>乙，但兩者相差不大，水平相當(dāng)，ss，說(shuō)明乙選手進(jìn)步幅度更大，成績(jī)提升趨勢(shì)更好．(答案不唯一，可酌情給分) 回歸分析 [典型例題] 命題角度一　線性回歸分析 某地1～10

25、歲男童年齡xi(單位：歲)與身高的中位數(shù)yi(單位：cm)(i＝1，2，…，10)如下表： x/歲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 對(duì)上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (xi－)2 (yi－)2 (xi－)(yi－) 5.5 112.45 82.50 3 947.71 566.85 (1)求y關(guān)于x的線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)精確到0.01)； (2)

26、某同學(xué)認(rèn)為y＝px2＋qx＋r更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，他求得的回歸方程是＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3 cm.與(1)中的線性回歸方程比較，哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好？ 附：回歸方程＝＋x中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ＝，＝－. 【解】　(1)＝＝≈6.871≈6.87， ＝－＝112.45－6.871×5.5≈74.66， 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝6.87x＋74.66. (2)若回歸方程為＝6.87x＋74.66，當(dāng)x＝11時(shí)，＝150.23. 若回歸方程為＝－0.30x2＋10.17x＋

27、68.07，當(dāng)x＝11時(shí)，y＝143.64. |143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93， 所以回歸方程＝－0.30x2＋10.17x＋68.07對(duì)該地11歲男童身高中位數(shù)的擬合效果更好． 求回歸直線方程的關(guān)鍵及實(shí)際應(yīng)用 (1)關(guān)鍵：正確理解計(jì)算，的公式和準(zhǔn)確地計(jì)算． (2)實(shí)際應(yīng)用：在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．　 命題角度二　非線性回歸分析 某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè)

28、)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (xi－)2 (xi－)·(yi－) (ui－)2 (ui－)·(yi－) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3 0.787 7.049 表中ui＝，＝ui. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01)； (3)若該圖書每?jī)?cè)

29、的定價(jià)為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78 840元？(假設(shè)能夠全部售出．結(jié)果精確到1) 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(w1，v1)，(w2，v2)，…，(wn，vn)，其回歸直線＝＋w的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－. 【解】　(1)由散點(diǎn)圖判斷，y＝c＋更適合作為該圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的回歸方程． (2)令u＝，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程， 由于＝＝≈8.957≈8.96， 所以＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22， 所以y關(guān)于u的線性回歸方程為＝1.22＋8.96u， 所以y關(guān)于x的回歸方程為＝1.22＋.

30、 (3)假設(shè)印刷x千冊(cè)，依題意得10x－x≥78.840， 解得x≥10， 所以至少印刷10 000冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78 840元． 求非線性回歸方程的步驟 (1)確定變量，作出散點(diǎn)圖． (2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)． (3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程． (4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果． (5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程．　 命題角度三　回歸分析與正態(tài)分布的綜合問(wèn)題 某地一商場(chǎng)記錄了12月份某5天當(dāng)中某商品的銷售量y(單位：kg)與該地當(dāng)日最高氣溫x(單位：℃)的相

31、關(guān)數(shù)據(jù)，如下表： x 11 9 8 5 2 y 7 8 8 10 12 (1)試求y與x的回歸方程＝x＋； (2)判斷y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；若該地12月某日的最高氣溫是6 ℃，試用所求回歸方程預(yù)測(cè)這天該商品的銷售量； (3)假定該地12月份的日最高氣溫X～N(μ，σ2)，其中μ近似取樣本平均數(shù)，σ2近似取樣本方差s2，試求P(3.8

32、iyi－n ＝287－5×7×9＝－28， x－n2＝295－5×72＝50，＝－＝－0.56，＝－＝9－(－0.56)×7＝12.92. 所以所求回歸直線方程為＝－0.56x＋12.92. (2)由＝－0.56<0知，y與x負(fù)相關(guān)．將x＝6代入回歸方程可得， ＝－0.56×6＋12.92＝9.56， 即可預(yù)測(cè)當(dāng)日該商品的銷售量為9.56 kg. (3)由(1)知μ≈＝7，σ≈≈3.2，所以P(3.8

33、正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于μ對(duì)稱的鐘形曲線，很多問(wèn)題都是利用圖象的對(duì)稱性解決的．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] (2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)某部門經(jīng)統(tǒng)計(jì)，客戶對(duì)不同款型理財(cái)產(chǎn)品的最滿意度百分比和對(duì)應(yīng)的理財(cái)總銷售量(單位：萬(wàn)元)如下表(最滿意度百分比越高時(shí)總銷售量越高)： 產(chǎn)品款型 A B C D E F G H I J 最滿意度百分比/% 20 34 25 19 26 20 19 24 19 13 總銷售量/萬(wàn)元 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52 設(shè)x表示理財(cái)產(chǎn)品最滿意度的百分比，y為該理財(cái)產(chǎn)品的總銷

34、售量(單位：萬(wàn)元)，這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示． (1)在5份A款型理財(cái)產(chǎn)品的客戶滿意度調(diào)查資料中只有一份是最滿意的，從這5份資料中任取2份，求含有最滿意客戶資料的概率． (2)我們約定：相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在0.3以下是無(wú)線性相關(guān)，在0.3以上(含0.3)至0.75是一般線性相關(guān)，在0.75以上(含0.75)是較強(qiáng)線性相關(guān)，y與x是否達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)？若達(dá)到，請(qǐng)求出線性回歸方程；若沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)，則采取“末位”剔除制度(即總銷售量最少的那一款型產(chǎn)品退出理財(cái)銷售)，請(qǐng)求在剔除“末位”款型后的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.1)． 數(shù)據(jù)參考計(jì)算值： x－102 xiyi

35、－10· 參考 計(jì)算值 21.9 72.1 288.9 37.16 452.1 17.00 附：線性相關(guān)系數(shù)r＝，回歸直線方程＝＋x的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為＝，＝－. 解：(1)在5份A款型理財(cái)產(chǎn)品的客戶資料中只有1份是最滿意的，把最滿意客戶資料記為a，其余客戶資料記為b，c，d，e. 則任取2份資料的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10個(gè)． 含有a的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4個(gè)． 則含有最滿意客戶資料的概率為＝. (

36、2)線性相關(guān)系數(shù)r＝＝≈0.72∈[0.3，0，75)， 即y與x具有一般線性相關(guān)關(guān)系，沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系． 由“末位”剔除制度可知，應(yīng)剔除J款型理財(cái)產(chǎn)品， 重新計(jì)算得′＝＝≈22.89， ′＝＝≈74.33， x－9′2＝288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43， xiyi－9′·′＝452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.28. ＝＝≈1.26≈1.3. ＝′－′＝74.33－1.26×22.89≈45.5. 所求線性回歸方程為＝45.5＋1.3x. (注：若用＝1.3計(jì)算出a≈44.6，即

37、＝44.6＋1.3x不扣分) 統(tǒng)計(jì)案例 [典型例題] (2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)2019年2月25日，第11屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)大師賽(簡(jiǎn)稱RMM)于羅馬尼亞首都布加勒斯特閉幕，最終成績(jī)揭曉，以色列選手排名第一，而中國(guó)隊(duì)無(wú)一人獲得金牌，最好成績(jī)是獲得銀牌的第15名，總成績(jī)排名第6.在分量極重的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)比賽中，過(guò)去拿冠軍拿到手軟的中國(guó)隊(duì)，已經(jīng)連續(xù)4年沒(méi)有拿到冠軍了．人們不禁要問(wèn)“中國(guó)奧數(shù)究竟怎么了？”，一時(shí)間關(guān)于各級(jí)教育主管部門是否應(yīng)該下達(dá)“禁奧令”成為社會(huì)討論的熱點(diǎn)．某重點(diǎn)高中培優(yōu)班共50人，現(xiàn)就這50人對(duì)“禁奧令”的態(tài)度進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：

38、不應(yīng)下“禁奧令” 應(yīng)下“禁奧令” 總計(jì) 男生 5 女生 10 總計(jì) 50 若按對(duì)“禁奧令”的態(tài)度采用分層抽樣的方法從50人中抽出10人進(jìn)行重點(diǎn)調(diào)查，知道其中認(rèn)為不應(yīng)下“禁奧令”的同學(xué)共有6人． (1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為對(duì)下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由； (2)現(xiàn)從這10人中抽出2名男生、2名女生，記此4人中認(rèn)為不應(yīng)下“禁奧令”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 參考公式與數(shù)據(jù)：K2＝ P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841

39、6.635 10.828 【解】　(1)由題意將列聯(lián)表補(bǔ)充如下： 不應(yīng)下“禁奧令” 應(yīng)下“禁奧令” 總計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 總計(jì) 30 20 50 所以K2＝≈8.333>6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為對(duì)下“禁奧令”的態(tài)度與性別有關(guān)． (2)由題意，可知在這10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人認(rèn)為不應(yīng)下“禁奧令”，ξ的所有可能取值有1，2，3，4. P(ξ＝1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝. 所以ξ的分布列是 ξ 1 2 3 4 P

40、 所以E(ξ)＝＝2.4. 獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵 (1)根據(jù)2×2列聯(lián)表準(zhǔn)確計(jì)算K2，若2×2列聯(lián)表沒(méi)有列出來(lái)，要先列出此表． (2)K2的觀測(cè)值k越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] (2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)2019年，在慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年之際，又迎來(lái)了以“創(chuàng)軍人榮耀，筑世界和平”為口號(hào)的第七屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)(以下簡(jiǎn)稱“軍運(yùn)會(huì)”)．據(jù)悉，這次軍運(yùn)會(huì)將于2019年10月18日至27日在美麗的江城武漢舉行，屆時(shí)將有來(lái)自100多個(gè)國(guó)家的近萬(wàn)名軍人運(yùn)動(dòng)員參賽．相對(duì)于奧運(yùn)會(huì)、亞運(yùn)會(huì)等大型綜合賽事，軍運(yùn)會(huì)或許對(duì)很多人來(lái)說(shuō)還很陌生，

41、所以武漢某高校為了在學(xué)生中更廣泛地推介普及軍運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，特在網(wǎng)絡(luò)上組織了一次“我所知曉的武漢軍運(yùn)會(huì)”知識(shí)問(wèn)答比賽．為便于對(duì)答卷進(jìn)行對(duì)比研究，組委會(huì)抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他們的成績(jī)(單位：分)頻率分布直方圖如圖： (注：答卷滿分100分，成績(jī)≥80的答卷為“優(yōu)秀”等級(jí)) (1)從現(xiàn)有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分別求答卷成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率； (2)求下面列聯(lián)表中a，b，c，d的值，并根據(jù)列聯(lián)表回答：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績(jī)?yōu)椤畠?yōu)秀’等級(jí)與性別有關(guān)”？ 男 女 總計(jì) 優(yōu)秀 a b

42、 a＋b 非優(yōu)秀 c d c＋d 總計(jì) 1 000 1 000 2 000 (3)根據(jù)男、女生成績(jī)頻率分布直方圖，對(duì)他們的成績(jī)的優(yōu)劣進(jìn)行比較． 附： P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)男生答卷成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率P＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，女生答卷成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的概率P＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53. (2) 男 女 總計(jì) 優(yōu)秀 580 530

43、1 110 非優(yōu)秀 420 470 890 總計(jì) 1 000 1 000 2 000 所以a＝580，b＝530，c＝420，d＝470. 由K2＝得， K2＝≈5.061>5.024， 所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“答卷成績(jī)?yōu)椤畠?yōu)秀’等級(jí)與性別有關(guān)”． (3)根據(jù)男、女生成績(jī)頻率分布直方圖可得，男、女生成績(jī)的中位數(shù)均在80到85之間，但男生的成績(jī)分布集中程度較女生成績(jī)分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為男生的成績(jī)較好且穩(wěn)定． [A組　夯基保分專練] 一、選擇題 1．(2019·福州市質(zhì)量檢測(cè))某校學(xué)生會(huì)為了了解本校高一1 000名學(xué)生的課余時(shí)間

44、參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下： 參加場(chǎng)數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 參加人數(shù)占調(diào)查 人數(shù)的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四個(gè)結(jié)論中正確的是(　　) A．表中m的數(shù)值為10 B．估計(jì)該校高一學(xué)生參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)次數(shù)不高于2場(chǎng)的學(xué)生約為180人 C．估計(jì)該校高一學(xué)生參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)次數(shù)不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人 D．若采用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，從該校高一1 000名學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則分段間隔為25 解析：選C．A中的m值應(yīng)為12；B中應(yīng)為38

45、0人；C是正確的；D中的分段間隔應(yīng)為20，故選C． 2．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)在某次賽車中，50名參賽選手的成績(jī)(單位：min)全部介于13到18之間(包括13和18)，將比賽成績(jī)分為五組：第一組[13，14)，第二組[14，15)，…，第五組[17，18]，其頻率分布直方圖如圖所示，若成績(jī)?cè)赱13，15)內(nèi)的選手可獲獎(jiǎng)，則這50名選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為(　　) A．39　　　　　　　　 B．35 C．15 D．11 解析：選D．由頻率分布直方圖知成績(jī)?cè)赱15，18]內(nèi)的頻率為(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成績(jī)?cè)赱13，15)內(nèi)的頻率為1－0.78＝0

46、.22，則成績(jī)?cè)赱13，15)內(nèi)的選手有50×0.22＝11(人)，即這50名選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為11，故選D． 3．(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：A—結(jié)伴步行，B—自行乘車，C—家人接送，D—其他方式．并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，求本次抽查的學(xué)生中A類人數(shù)是(　　) A．30 B．40 C．42 D．48 解析：選A．由條形統(tǒng)計(jì)圖知，B—自行乘車上學(xué)的有42人，C—家人接送上學(xué)的有30人，D—其他方式上學(xué)的有18人，采用B，C，D三種方式上學(xué)的共90人，設(shè)A—

47、結(jié)伴步行上學(xué)的有x人，由扇形統(tǒng)計(jì)圖知，A—結(jié)伴步行上學(xué)與B—自行乘車上學(xué)的學(xué)生占60%，所以＝，解得x＝30，故選A． 4．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標(biāo)，先調(diào)查了用電量y(單位：kW·h)與氣溫x(單位：℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了如下對(duì)照表： x(單位：℃) 17 14 10 －1 y(單位：kW·h) 24 34 38 a 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程＝－2x＋60，則a的值為(　　) A．48 B．62 C．64 D．68 解析：選C．由題意，得＝＝10，＝＝.樣

48、本點(diǎn)的中心(，)在回歸直線＝－2x＋60上，代入線性回歸方程可得＝－20＋60，解得a＝64，故選C． 5．(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè))如圖的折線圖是某超市2018年一月份至五月份的營(yíng)業(yè)額與成本數(shù)據(jù)，根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．該超市2018年的前五個(gè)月中三月份的利潤(rùn)最高 B．該超市2018年的前五個(gè)月的利潤(rùn)一直呈增長(zhǎng)趨勢(shì) C．該超市2018年的前五個(gè)月的利潤(rùn)的中位數(shù)為0.8萬(wàn)元 D．該超市2018年前五個(gè)月的總利潤(rùn)為3.5萬(wàn)元 解析：選D．第1個(gè)月利潤(rùn)為3－2.5＝0.5(萬(wàn)元)，第2個(gè)月利潤(rùn)為3.5－2.8＝0.7(萬(wàn)元)，第3個(gè)月利潤(rùn)為3.8－3＝0.

49、8(萬(wàn)元)，第4個(gè)月利潤(rùn)為4－3.5＝0.5(萬(wàn)元)，第5個(gè)月利潤(rùn)為5－4＝1(萬(wàn)元)，其中五月份利潤(rùn)最高，為1萬(wàn)元，所以A錯(cuò)誤．第4個(gè)月利潤(rùn)相比第3個(gè)月在下降，所以B錯(cuò)誤．前五個(gè)月的利潤(rùn)的中位數(shù)為0.7萬(wàn)元，所以C錯(cuò)誤，前五個(gè)月的總利潤(rùn)為0.5＋0.7＋0.8＋0.5＋1＝3.5(萬(wàn)元)，所以D正確． 6．(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))將甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)各5場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是(　　) A．甲隊(duì)平均得分高于乙隊(duì)的平均得分 B．甲隊(duì)得分的中位數(shù)大于乙隊(duì)得分的中位數(shù) C．甲隊(duì)得分的方差大于乙隊(duì)得分的方差 D．甲、乙兩隊(duì)得分的極差相等

50、 解析：選C．由題中莖葉圖得，甲隊(duì)的平均得分甲＝＝29，乙隊(duì)的平均得分乙＝＝30，甲<乙，選項(xiàng)A不正確；甲隊(duì)得分的中位數(shù)為29，乙隊(duì)得分的中位數(shù)為30，甲隊(duì)得分的中位數(shù)小于乙隊(duì)得分的中位數(shù)，選項(xiàng)B不正確；甲隊(duì)得分的方差s＝×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝，乙隊(duì)得分的方差s＝×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，s>s，選項(xiàng)C正確；甲隊(duì)得分的極差為31－26＝5，乙隊(duì)得分的極差為32－28＝4，兩者不相等，選項(xiàng)D不正確．故選C． 二、填空題 7．如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)

51、動(dòng)員在10場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這10場(chǎng)比賽中得分的中位數(shù)為_(kāi)_______． 解析：把10場(chǎng)比賽的所得分?jǐn)?shù)按順序排列為5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，中間兩個(gè)為14與16，故中位數(shù)為＝15. 答案：15 8．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為2，若數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差為8，則a的值為_(kāi)_______． 解析：根據(jù)方差的性質(zhì)可知，a2×2＝8，故a＝2. 答案：2 9．給出下列四個(gè)命題： ①某班級(jí)一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，如果7號(hào)、33號(hào)、4

52、6號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號(hào)為23； ②一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同； ③若一組數(shù)據(jù)a，0，1，2，3的平均數(shù)為1，則其標(biāo)準(zhǔn)差為2； ④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為＝＋x，其中＝2，＝1，＝3，則＝1. 其中真命題有________(填序號(hào))． 解析：在①中，由系統(tǒng)抽樣知抽樣的分段間隔為52÷4＝13，故抽取的樣本的編號(hào)分別為7號(hào)、20號(hào)、33號(hào)、46號(hào)，故①是假命題；在②中，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)為(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，都相同，故②是真命題；在③中，因?yàn)闃颖镜钠?/p>

53、均數(shù)為1，所以a＋0＋1＋2＋3＝5，解得a＝－1，故樣本的方差為[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，標(biāo)準(zhǔn)差為，故③是假命題；在④中，回歸直線方程為＝x＋2，又回歸直線過(guò)點(diǎn)(，)，把(1，3)代入回歸直線方程＝x＋2，得＝1，故④是真命題． 答案：②④ 三、解答題 10．(2019·蘭州市診斷考試)“一本書，一碗面，一條河，一座橋”曾是蘭州的城市名片，而現(xiàn)在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另一張名片，隨著全民運(yùn)動(dòng)健康意識(shí)的提高，馬拉松運(yùn)動(dòng)不僅在蘭州，而且在全國(guó)各大城市逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加．為此，某市對(duì)人們參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況

54、進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查．其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取200人，對(duì)其每周參與馬拉松長(zhǎng)跑訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表： 平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù) 不大于2 3或4 不少于5 人數(shù) 30 130 40 若某人平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不少于5，則稱其為“熱烈參與者”，否則稱為“非熱烈參與者”． (1)經(jīng)調(diào)查，該市約有2萬(wàn)人參與馬拉松運(yùn)動(dòng)，試估計(jì)其中“熱烈參與者”的人數(shù)； (2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列2×2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)？ 熱烈參與者 非熱烈參與者 總計(jì) 男

55、 140 女 55 總計(jì) 附：K2＝(n為樣本容量) P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)以200人中“熱烈參與者”的頻率作為概率，則該市“熱烈參與者”的人數(shù)約為20 000×＝4 000. (2)2×2列聯(lián)表為 熱烈參與者 非熱烈參與者 總計(jì) 男 35 105

56、140 女 5 55 60 總計(jì) 40 160 200 K2＝≈7.292>6.635， 故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱烈參與馬拉松”與性別有關(guān)． 11．(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)中共十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加． 為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入，力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入(單位：千元)并制成如下頻率分布直方圖： (1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年

57、平均收入(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)． (2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92.利用該正態(tài)分布，解決下列問(wèn)題： (i)在2019年脫貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？ (ii)為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1 000位農(nóng)民．若每個(gè)農(nóng)民的年收入相互獨(dú)立，問(wèn)：這1 000位農(nóng)民中年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？ 附：

58、參考數(shù)據(jù)與公式 ≈2.63，若X～N(μ，σ2)，則 ①P(μ－σμ－σ)≈＋≈0.841 4， μ－σ≈17.40－2.63＝14.77， 即最低年收入大約為14.77千元． (ii)由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋

59、≈0.977 3，得每個(gè)農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率為0.977 3，記這1 000位農(nóng)民中年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ，則ξ～B(103，p)，其中p＝0.977 3，于是恰好有k位農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k， 從而由＝>1，得k<1 001p， 由＝>1，得k>1 001p－1， 而1 001p＝978.277 3， 所以，977.277 3

60、)某學(xué)校高三年級(jí)共有4個(gè)班，其中實(shí)驗(yàn)班和普通班各2個(gè)，且各班學(xué)生人數(shù)大致相當(dāng)．在高三第一次數(shù)學(xué)統(tǒng)一測(cè)試(滿分100分)成績(jī)揭曉后，教師對(duì)這4個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，其中涉及試題“難度”和“區(qū)分度”等指標(biāo)．根據(jù)該校的實(shí)際情況，規(guī)定其具體含義如下：難度＝，區(qū)分度＝. (1)現(xiàn)從這4個(gè)班中各隨機(jī)抽取5名學(xué)生，根據(jù)這20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制莖葉圖如下： 請(qǐng)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)該次考試試題的難度和區(qū)分度； (2)為了研究試題的區(qū)分度與難度的關(guān)系，調(diào)取了該校上一屆高三6次考試的成績(jī)分析數(shù)據(jù)，得到下表： 考試序號(hào) 1 2 3 4 5 6 難度x 0.65 0.71

61、0.73 0.76 0.77 0.82 區(qū)分度y 0.12 0.16 0.16 0.19 0.20 0.13 ①用公式r＝計(jì)算區(qū)分度y與難度x之間的相關(guān)系數(shù)r(精確到0.001)； ②判斷y與x之間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)與弱，并說(shuō)明是否適宜用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系． 參考數(shù)據(jù)：xiyi＝0.713 4, ≈0.009 2. 解：(1)由莖葉圖知，實(shí)驗(yàn)班這10人的數(shù)學(xué)總成績(jī)?yōu)?60分，普通班這10人的數(shù)學(xué)總成績(jī)?yōu)?00分， 故這20人的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)椋?8(分)，由此估計(jì)這4個(gè)班的平均分為78分， 所以難度＝＝0.78. 由＝86估計(jì)實(shí)驗(yàn)班的平均分為86分，由＝

62、70估計(jì)普通班的平均分為70分， 所以區(qū)分度＝＝0.16. (2)①由于 (xi－)(yi－) ＝ (xiyi－xi－yi＋) ＝xiyi－xi－yi＋n　 ＝xiyi－n　－n?。玭　 ＝xiyi－n　， 且xiyi＝0.713 4， ≈0.009 2， 6　＝6×0.74×0.16＝0.710 4， 所以r＝ ＝≈≈0.326. ②由于r≈0.326∈[0.30，0.75)，故兩者之間相關(guān)性非常一般，不適宜用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系，即使用線性回歸模型來(lái)擬合，效果也不理想． [B組　大題增分專練] 1．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“

63、梅雨如煙暝村樹(shù)”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤(rùn)著濃烈的詩(shī)情．每年六、七月份，我國(guó)長(zhǎng)江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南Q鎮(zhèn)2009～2018年梅雨季節(jié)的降雨量(單位：mm)的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問(wèn)題： (1)“梅實(shí)初黃暮雨深”，請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)Q鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量； (2)“江南梅雨無(wú)限愁”，Q鎮(zhèn)的楊梅種植戶老李也在犯愁，他過(guò)去種植的甲品種楊梅，畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大(把握超過(guò)八成)，而乙品種楊梅2009～2018年的畝產(chǎn)量(單位：kg)與降雨量的發(fā)生頻數(shù)(年)如2×2列聯(lián)表所示(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)，請(qǐng)你幫助老李排解憂愁

64、，他來(lái)年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更??？(完善列聯(lián)表，并說(shuō)明理由) 降雨量 畝產(chǎn)量　　　 [200，400) [100，200)∪[400，500] 總計(jì) <600 2 ≥600 1 總計(jì) 10 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 解：(1)頻率分布直方圖中第四組的頻率為1－100×(0.002＋0.004＋0.003)＝0.1. 所以用樣本平均數(shù)估計(jì)Q鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量為

65、 150×0.2＋250×0.4＋350×0.3＋450×0.1＝30＋100＋105＋45＝280(mm)． (2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，降雨量在[200，400)內(nèi)的頻數(shù)為10×100×(0.003＋0.004)＝7. 進(jìn)而完善列聯(lián)表如下． 降雨量 畝產(chǎn)量　　　 [200，400) [100，200)∪[400，500] 總計(jì) <600 2 2 4 ≥600 5 1 6 總計(jì) 7 3 10 K2＝＝≈1.270<1.323. 故認(rèn)為乙品種楊梅的畝產(chǎn)量與降雨量有關(guān)的把握不足75%.而甲品種楊梅受降雨量影響的把握超過(guò)八成，故老李來(lái)年應(yīng)該種植乙品種楊

66、梅受降雨量影響更?。? 2．(2019·佛山模擬)表中的數(shù)據(jù)是一次階段性考試某班的數(shù)學(xué)、物理原始成績(jī)： 學(xué)號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 數(shù)學(xué) 117 128 96 113 136 139 124 124 121 115 115 123 125 117 123 122 132 129 96 105 106 120 物理 80 84 83 85 89 81 91 78 85 91 72 76 87 82 79 82 84 89 63 73 77 45 學(xué)號(hào) 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 數(shù)學(xué) 108 137 87 95 108 117 104 128 125 74 81 135 101 9