《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第29講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第29講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第29講　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 考試要求　1.平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義(B級要求)；2.數(shù)量積的坐標(biāo)表示，數(shù)量積的運(yùn)算(C級要求)；3.用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，判斷兩向量垂直(B級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)兩個向量的夾角的范圍是.(　　) (2)兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.(　　) (3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角.(　　) (4)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.(　　) 解析　(1)兩個向量的夾角的范圍是[0，π].

2、 (3)若a·b>0，a和b的夾角可能為0；若a·b<0，a和b的夾角可能為π. (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(教材改編)已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，則·＝________. 解析　畫圖可知向量與夾角為角C的補(bǔ)角(圖略)，故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16. 答案?。?6 3.(2015·全國Ⅱ卷改編)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，則(2a＋b)·a＝________. 解析　因?yàn)閍＝(1

3、，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. 答案　1 4.(2017·無錫一模)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b與ma＋b垂直，則實(shí)數(shù)m的值為________. 解析　由(a－b)·(ma＋b)＝0，得ma2＋(1－m)a·b－b2＝0，即5m＋(1－m)－2＝0，解得m＝. 答案　 5.(2017·鎮(zhèn)江期末)已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，0)，那么|2a＋b|＝________. 解析　因?yàn)?a＋b＝(－3，2)，所以|2a＋b|＝＝. 答案　 知 識 梳 理

4、 1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念 (1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，記＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角. (2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. 2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角. (1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夾角：cos θ

5、＝＝. (4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a(交換律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 4.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x

6、2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 考點(diǎn)一　平面向量的數(shù)量積 【例1】 (1)(2018·江蘇南京開學(xué)測試)已知在?ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°.若E為DC的中點(diǎn)，且·＝1，則·的值為________. (2)(2018·啟東中學(xué)第一次月考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E為BC的中點(diǎn)，若·＝3，則·＝________. 解析　(1)設(shè)AB＝m(m>0)，以向量，為基底，在?ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠BAD＝60°，則·＝·(－)＝2－·－2＝4－m－m2，因?yàn)椤ぃ?，得m2＋m－6＝0，因?yàn)閙>0，所

7、以m＝2，所以·＝·(＋)＝(－)·(－)＝2－·＋2＝4－3＋2＝3，故·＝3. (2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 因?yàn)锳B＝3，AD＝，E為BC的中點(diǎn)， 所以A(0，0)，B(3，0)，D(0，)， 設(shè)C(x，)， 所以＝(3，0)，＝(x，). 因?yàn)椤ぃ?，所以3x＝3， 解得x＝1，所以C(1，). 因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以E， 即E， 所以＝，＝(－2，)， 所以·＝2×(－2)＋×＝－4＋1＝－3. 答案　(1)3　(2)－3 規(guī)律方法　(1)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向

8、量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義. (2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時，可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡再運(yùn)算.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ). 【訓(xùn)練1】 (1)(一題多解)(2018·蘇州調(diào)研)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足＝，則·＝________. (2)(2016·江蘇卷)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)，·＝4，·＝－1，則·的值是________. 解析　(1)法一　因?yàn)椋剑剑剑?－)＝＋，＝＋＝－＋.因?yàn)锳B⊥AC，所以·＝0，所以·＝·＝

9、－||2＋ ||2＝－×22＋×22＝－2. 法二　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，E，所以＝，＝(－2，1)，所以·＝·(－2，1)＝×(－2)＋×1＝－2. (2)設(shè)＝a，＝b，則·＝(－a)·(－b)＝a·b＝4. 又∵D為BC中點(diǎn)，E，F(xiàn)為AD的兩個三等分點(diǎn)， 則＝(＋)＝a＋b， ＝＝a＋b. ＝＝a＋b， ＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b， ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b， 則·＝＝ －a2－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1. 可得a2＋b2＝. 又＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b. ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b

10、， 則·＝＝－(a2＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝. 答案　(1)－2　(2) 考點(diǎn)二　平面向量的夾角與垂直 【例2】 (1)(2016·全國Ⅱ卷改編)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝________. (2)(2018·南京、鹽城調(diào)研)已知向量a，b滿足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，則向量a，b的夾角為________. 解析　(1)由題知a＋b＝(4，m－2)，因?yàn)?a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0， 即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8. (2)設(shè)向量a，b的夾角為θ，由|a－b|＝得 21＝(a－b)2＝

11、a2＋b2－2a·b＝25＋1－10cos θ， 即cos θ＝，所以向量a，b的夾角為. 答案　(1)8　(2) 規(guī)律方法　(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，cos θ＝(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題. (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角. 【訓(xùn)練2】 (1)(教材改編)已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，則實(shí)數(shù)λ的值是________. (2)(教材改編)已知向量a＝(1，

12、)，b＝(3，m).若向量a，b的夾角為，則實(shí)數(shù)m＝________. 解析　(1)b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0?λ＝－3. (2)∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m， 又a·b＝××cos ， ∴3＋m＝××cos ， ∴m＝. 答案　(1)－3　(2) 考點(diǎn)三　平面向量的模及其應(yīng)用(典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)(1)(2018·蘇北四市調(diào)研)已知平面向量a與b的夾角等于，若|a|＝2，|b|＝3，則|2a－3b|＝________. (2)(2018·鹽城模擬)已知||＝||＝，且·＝1.若點(diǎn)C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是_

13、_______. 解析　(1)由題意可得a·b＝|a|·|b|cos＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝. (2)由題意可得·＝||·||cos∠AOB＝2cos∠AOB＝1，則cos∠AOB＝， ∠AOB＝.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過O點(diǎn)垂直于OA的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(，0)，B.設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則＋＝，又|＋|＝1，所以＋＝1，即點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓.||的幾何意義是點(diǎn)C到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以－1≤||≤＋1. 答案　(1)　(2)[－1，＋1] 【遷移探究1】 (2018·啟東中學(xué)階段測試)已知向量a，b，c滿

14、足a＋b＋c＝0，且a與b的夾角等于150°，b與c的夾角等于120°，|c|＝2，求|a|，|b|. 解　由a＋b＋c＝0， 得? ∴ 解之得|a|＝2，|b|＝4. 【遷移探究2】 (1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則|＋3|的最小值為________. (2)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，動點(diǎn)D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________. 解析　(1)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝x(0≤x≤a

15、)，∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).＝(2，－x)，＝(1，a－x)， ∴＋3＝(5，3a－4x)， |＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，當(dāng)x＝時取等號. ∴|＋3|的最小值為5. (2)設(shè)D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1， 向量＋＋＝(x－1，y＋)， 故|＋＋|＝的最大值為圓(x－3)2＋y2＝1上的動點(diǎn)到點(diǎn)(1，－)距離的最大值，其最大值為圓(x－3)2＋y2＝1的圓心(3，0)到點(diǎn)(1，－)的距離加上圓的半徑，即＋1＝1＋. 答案　(1)5　(2)1＋ 規(guī)律方法　(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|

16、a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；②幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解. (2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點(diǎn)表示的圖形求解. 【訓(xùn)練3】 (1)(2018·南通調(diào)研)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a與b反向，則|b|＝________. (2)(2018·南京模擬)設(shè)向量|a＋b|＝，a·b＝4，則|a－b|＝_____

17、___. 解析　(1)∵a與b反向，∴a與b共線，∴m(2m＋1)－2×3＝0?2m2＋m－6＝0?m＝－2或m＝.當(dāng)m＝－2時，a＝(－3，3)，b＝(2，－2)，a與b反向，此時|b|＝2；當(dāng)m＝時，a＝(4，3)，b＝，a與b同向，不合題意. (2)|a－b|＝＝＝2. 答案　(1)2　(2)2 一、必做題 1.(2017·鎮(zhèn)江期末)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|a－b|＝________. 解析　|a－b|＝＝＝＝ . 答案　 2.(2018·江蘇押題卷)已知四邊形ABCD，若AC＝3，BD＝2，則(＋)·(＋)的值為________.

18、 解析　因＝＋，故(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝2－ 2＝5. 答案　5 3.(2018·江蘇大聯(lián)考)已知四邊形ABCD，若·＝·＝2，則·的值為________. 解析　因?yàn)椤ぃ?＋)·(＋)＝·＋(＋＋)·＝·＋·， 所以·＝·－·＝0. 答案　0 4.(2018·江蘇大聯(lián)考)四邊形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點(diǎn)，若AC＝4，·＝12，＝，＝2，則·＝________. 解析　·＝2－2＝2－4＝12，2＝16，2＝4，因此·＝ 2－2＝4－4＝0. 答案　0 5.(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若點(diǎn)P滿足

19、＝＋λ，且·＝1，則實(shí)數(shù)λ的值為________. 解析　由題意可得－＝＝λ. 又＝－＝＋(λ－1)， 所以·＝λ·＋λ(λ－1)||2＝1，即λ＋(λ2－λ)4＝1， 所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－. 答案　1或－ 6.(2018·南京、鹽城模擬)在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4.若點(diǎn)D在邊BC上，且＝2，AD＝，則AC的長為________. 解析　令A(yù)C＝b，由題意得·＝4bcos 120°＝－2b， 因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上， 且＝2， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 從而2＝，又因?yàn)锳D＝， 所以＝＋－， 整理得b2－2b－3＝0，解之

20、得b＝3(b＝－1舍去)，即AC的長為3. 答案　3 7.(2018·揚(yáng)州、泰州、南通、淮安、宿遷、徐州六市聯(lián)考)如圖，在四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，則·的值為________. 解析　由·＝－7，得(＋)·(＋)＝－7，又O為BD的中點(diǎn)，所以(＋)·(－)＝－7，所以2－2＝－7， 又OA＝3，所以2＝16， 又O為BD的中點(diǎn)，且OC＝5，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)· (－＋)＝2－2＝9. 答案　9 8.(2017·南京、鹽城高三第二次模擬考試)已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，2)，則·的最小值為________. 解析

21、　設(shè)＝(x，y)， 從而＝＋＝(1＋x，2＋y)，＝＋＝(x－2，y＋2)， 則·＝(x＋1，y＋2)·(x－2，y＋2)＝x2－x－2＋(y＋2)2＝＋(y＋2)2－， 所以·的最小值為－. 答案?。? 9.(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研(二))已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x). (1)當(dāng)x＝時，求m·n的值； (2)若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值. 解　(1)當(dāng)x＝時，m＝，n＝， 所以m·n＝－＝. (2)m·n＝cos xsin x－cos2x ＝sin 2x－cos 2x－ ＝sin－， 若m·n＝－，則sin－＝

22、－， 即sin＝， 因?yàn)閤∈，所以2x－∈， 所以cos＝， 則cos 2x＝cos＝coscos －sinsin ＝×－×＝. 10.(2018·江蘇如東高級中學(xué)期中)在△ABC中，∠B＝，D是邊BC上一點(diǎn)，AD＝5，CD＝3，AC＝7. (1)求∠ADC的值； (2)求·的值. 解　(1)在△ADC中，由余弦定理得AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝AC2，即52＋32－2×5×3×cos∠ADC＝72，所以cos∠ADC＝－. 又因?yàn)?<∠ADC<π，所以∠ADC＝. (2)由(1)得∠ADB＝. 在△ABD中，由正弦定理得AB＝×sin∠ADB＝. 所

23、以·＝×5×cos ＝. 二、選做題 11.(2018·蘇州調(diào)研)已知A，B，C是半徑為1的圓O上的三點(diǎn)，AB為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)(含圓周)，則·＋·＋·的取值范圍為________. 解析　原式＝(＋)·(－)＋2·＝2－1＋2(＋)·PO＝32－1＋2·.設(shè)||＝r，與的夾角為θ，其中r≤1，0≤θ≤π，則原式＝3r2＋2r·cos θ－1， 由于－∈[－1，1]，所以當(dāng)r＝－，且cos θ＝－1時，原式取得最小值－.當(dāng)r＝1，且cos θ＝1時，原式取得最大值4，從而所求取值范圍是. 答案　 12.(2017·南京三模)在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，

24、C的對邊.若向量m＝(a，cos A)，向量n＝(cos C，c)，且m·n＝3bcos B. (1)求cos B的值； (2)若a，b，c成等比數(shù)列，求＋的值. 解　(1)因?yàn)閙·n＝3bcos B，所以acos C＋ccos A＝3bcos B， 所以sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin BcosB， 即sin(A＋C)＝3sin Bcos B，所以sin B＝3sin Bcos B. 因?yàn)锽是△ABC的內(nèi)角，所以sin B≠0，所以cos B＝. (2)因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac. 由正弦定理得sin2B＝sin A·sin C. 因?yàn)閏os B＝，∠B是△ABC的內(nèi)角， 所以sin B＝. 又＋＝＋ ＝＝ ＝＝＝＝. 13