(江蘇專用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與平面向量 第3講 平面向量學(xué)案 文 蘇教版
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1、第3講 平面向量 [2019考向?qū)Ш絔 考點(diǎn)掃描 三年考情 考向預(yù)測 2019 2018 2017 1.平面向量的概念及線性運(yùn)算 江蘇高考對平面向量考查命題熱點(diǎn)是:平面向量的幾何意義、數(shù)量積、兩向量平行與垂直.試題常以填空題形式出現(xiàn),數(shù)量積是命題熱點(diǎn).平面向量常與三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合,以解答題形式呈現(xiàn),難度中等. 2.平面向量的數(shù)量積 第12題 第13題 3.平面向量與其他知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用 第12題 第16題 1.必記的概念與定理 (1)零向量模的大小為0,方向是任意的,它與任意非零向量都共線,記為0. (2)長度等于
2、1個單位長度的向量叫單位向量,a的單位向量為. (3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量). (4)如果直線l的斜率為k,則a=(1,k)是直線l的一個方向向量. 2.平面向量的兩個重要定理 (1)向量共線定理:向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底. 3.平面向量的數(shù)量積 已知兩個非零向量a與b,則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a|
3、|b|cos θ,其中θ是a與b的夾角.向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°,a與b同向時,夾角θ=0°;a與b反向時,夾角θ=180°. 4.記住幾個常用的公式與結(jié)論 (1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2). (2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2). (3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=-=(x2-x1,y2-y1). (4)設(shè)a=(x,y),λ∈R,則λa=(λx,λy). (5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2. (6)兩向量a,b的
4、夾角公式:cos θ=(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). (7)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a≠0, 則a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0. a⊥b(b≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 5.需要關(guān)注的易錯易混點(diǎn) (1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個. (2)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的. (3)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同,盡管在形式上它們完全一樣,但意義完全不同,
5、向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息. (4)“a·b>0”是“θ為銳角”的必要不充分條件, “a·b<0”是“θ為鈍角”的必要不充分條件. 平面向量的概念及線性運(yùn)算 [典型例題] (1)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為________. (2)如圖,在同一個平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為α,且tan α=7,與的夾角為45°.若=m+n(m,n∈R),則m+n=________. 【解析】 (1)因?yàn)閙a+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8), 所以所以所以m-n=2-5=-
6、3. (2)法一:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),由tan α=7,α∈,得sin α=,cos α=,設(shè)C(xC,yC),B(xB,yB),則xC=||cos α=×=,yC=||sin α=×=,即C.又cos(α+45°)=×-×=-,sin (α+45°)=×+×=,則xB=||cos(α+45°)=-,yB=||sin (α+45°)=,即B,由=m +n ,可得解得所以m+n=+=3. 法二:由tan α=7,α∈,得sin α=,cos α=,則cos(α+45°)=×-×=-,·=1××=1,·=1××=,·=1×1×=-,由=m +n
7、 ,得·=m 2+n ·,即=m-n?、?,同理可得·=m ·+n 2,即1=-m+n?、?,聯(lián)立①②,解得所以m+n=+=3. 【答案】 (1)-3 (2)3 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)來進(jìn)行求解. (3)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1.(2019·徐州模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC.若=x+y
8、(x,y∈R),則x-y的值為________. [解析] 如圖,延長DC,AB交于點(diǎn)E, 因?yàn)椤螪CA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以=-.因?yàn)椋絰+y,所以=-x+y.因?yàn)镃,D,E三點(diǎn)共線,所以-x+y=1,即x-y=-1. [答案] -1 2.(2019·江門模擬)已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P滿足++=0,=λ,則實(shí)數(shù)λ的值為________. [解析] 如圖所示,由=λ且++=0,則P為以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn), 因此=-2,則λ=-2. [答案] -2 平面向量的數(shù)量積 [典型例題] (
9、2019·高考江蘇卷)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若·=6·,則的值是________. 【解】 法一:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)B(-a,0),C(a,0),A(b,c),a>0,c>0,由BE=2EA得E,則直線OA:y=x,直線CE:(b-2a)y=c(x-a),聯(lián)立可得O,則·=(-a-b,-c)·(a-b,-c)=b2+c2-a2,·=·=,由·=6·得b2+c2-a2=2(b2+c2-2ab),化簡得4ab=b2+c2+a2,則===. 法二: 由A,O,D
10、三點(diǎn)共線,可設(shè)=λ,則=(+),由E,O,C三點(diǎn)共線可設(shè)=μ,則-=μ(-),則=(1-μ)+μ=(1-μ)·+μ,由平面向量基本定理可得解得μ=,λ=,則=(+),=-=-,則6·=6×(+)·=(·+2-2)=·,化簡得32=2,則=. 向量數(shù)量積是高考命題的熱點(diǎn),可以說是必考內(nèi)容.向量數(shù)量積主要應(yīng)用于三類問題:一是角度問題,二是求模問題,三是與三角形結(jié)合解決有關(guān)問題. 涉及數(shù)量積和模的計(jì)算問題,通常有兩種求解思路: (1)直接利用數(shù)量積的定義, 在利用定義計(jì)算時,要善于將相關(guān)向量分解為圖形中模、夾角和已知的向量進(jìn)行計(jì)算.求平面向量的模時,常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方. (2)
11、建立坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算求解. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 3.(2019·蘇北四市高三模擬)已知||=||=,且·=1,若點(diǎn)C滿足|+|=1,則||的取值范圍是________. [解析] 由題意可得·=||·||cos∠AOB=2cos∠AOB=1,則cos∠AOB=,∠AOB=.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,過點(diǎn)O且與OA垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(,0),B,設(shè)C(x,y),則+=,又|+|=1,所以+=1,即點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓.||的幾何意義是點(diǎn)C到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離,又圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為,所以-1≤||≤+1. [答案] [-1,+1] 4.(
12、2019·益陽、湘潭調(diào)研)已知非零向量a,b滿足a·b=0,|a+b|=t|a|,若a+b與a-b的夾角為,則t的值為________. [解析] 因?yàn)閍·b=0,所以(a+b)2=(a-b)2,即|a+b|=|a-b|.又|a+b|=t|a|,所以|a-b|=|a+b|=t|a|.因?yàn)閍+b與a-b的夾角為,所以=cos ,整理得=,即(2-t2)|a|2=2|b|2.又|a+b|=t|a|,平方得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+=t2|a|2,解得t2=.因?yàn)閠>0,所以t=. [答案] 平面向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用 [典型例題] (2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市
13、模擬)已知向量a=,b=(1,4cos α),α∈(0,π). (1)若a⊥b,求tan α的值; (2)若a∥b,求α的值. 【解】 (1)因?yàn)閍⊥b,所以sin+12cos α=0, 即sin α+cos α+12cos α=0, 即sin α+cos α=0, 又cos α≠0,所以tan α=-. (2)若a∥b,則4cos αsin=3, 即4cos α=3, 所以sin 2α+cos 2α=2, 所以sin=1, 因?yàn)棣痢?0,π),所以2α+∈, 所以2α+=,即α=. 在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中,一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題,
14、如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系,利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等;另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題,在解決此類問題的過程中,只要根據(jù)題目的具體要求,在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系,就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題. [對點(diǎn)訓(xùn)練] 5.(2019·江蘇省四星級學(xué)校聯(lián)考)已知向量a=(2,cos 2x),b=,函數(shù)f(x)=a·b. (1)若f(α)=,α∈,求f的值; (2)若函數(shù)g(x)=af(x)+b的定義域?yàn)?,值域?yàn)閇1-,3],求實(shí)數(shù)a,b的值. [解] 由題意知f(x)=2cos2-cos 2x=cos+1-cos 2x=2sin+
15、1. (1)因?yàn)閒(α)=2sin+1=, 所以sin=-.又α∈, 所以2α-∈,則cos=. 因?yàn)閒=2sin+1=2sin 2α+1, sin 2α=sin=-×+×=, 所以f=2×+1=+1=. (2)因?yàn)間(x)=af(x)+b=2asin+a+b,由x∈可得,2x-∈, 所以sin∈.顯然a≠0, ①當(dāng)a>0時,由題意可得, 解得; ②當(dāng)a<0時,由題意可得, 解得. 綜上,或. 1.已知a與b是兩個不共線向量,且向量a+λb與-(b-3a)共線,則λ=________. [解析] 由題意知a+λb=k[-(b-3a)], 所以解得 [答案]
16、 - 2.(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知平面向量a,b是互相垂直的單位向量,且c·a=c·b=-1,則|a-2b+3c|=________. [解析] 設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則c·a=x=-1,c·b=y(tǒng)=-1,所以c=(-1,-1),所以a-2b+3c=(-2,-5),所以|a-2b+3c|==. [答案] 3.(2019·南京、鹽城高三模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC=3,cos∠BAC=,=2,則·的值為________. [解析] 由=2,得=(+2),又=-,AB=AC=3,cos∠BAC=,所以·=(+2)·(-)=(-9+3
17、)=-2. [答案] -2 4.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,則向量a與b的夾角θ=________. [解析] 因?yàn)閍·(b-a)=a·b-a2=2, 所以a·b=2+a2=3. 所以cos θ===. 所以向量a與b的夾角為. [答案] 5.(2019·無錫市高三模擬)已知平面向量α,β滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為120°,則α的模的取值范圍為________. [解析] 法一:由|β|=1,且α與β-α的夾角為120°,作向量=α,=β-α,則=β,在△OAB中,∠OAB=180°-120°=60°,OB=1,則由正弦定理=,得OA=sin∠
18、ABO∈,即0<|α|≤. 法二:設(shè)|α|=u,|β-α|=v,由|β|2=|α+(β-α)|2=α2+2α·(β-α)+(β-α)2,得v2-uv+u2-1=0,再由關(guān)于v的一元二次方程有解,得u2-4(u2-1)≥0,又u>0,故0
19、2,得nb=.易得+2=(4,n+2b),則|+2|=≥=2,當(dāng)且僅當(dāng)n=2b時取等號,故|+2|的最小值為2. [答案] 2 7.(2019·南通市高三模擬)如圖,在同一平面內(nèi),點(diǎn)A位于兩平行直線m,n的同側(cè),且A到m,n的距離分別為1,3.點(diǎn)B,C分別在m,n上,|+|=5,則·的最大值是________. [解析] 以直線n為x軸,過點(diǎn)A且垂直于n的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(0,3),設(shè)C(c,0),B(b,2),則=(b,-1),=(c,-3), 從而(b+c)2+(-4)2=52,即(b+c)2=9, 又·=bc+3≤+3=,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時
20、取等號. [答案] 8.(2019·南京高三模擬)在凸四邊形ABCD中,BD=2,且·=0,(+)·(+)=5,則四邊形ABCD的面積為________. [解析] (+)·(+)=(-+)·(-+)=(+)·(-)=-=5,即AC2-BD2=5.因?yàn)锽D=2,所以AC=3, 所以四邊形ABCD的面積為AC×BD=×2×3=3. [答案] 3 9.(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(一))如圖,點(diǎn)A,B,C在半徑為5的圓O上,E是OA的中點(diǎn),AB=8,AC=6,=x+y(x,y是實(shí)數(shù)),則的值是______. [解析] 連結(jié)BC,根據(jù)題意,可知AB2+AC2=102,
21、又圓O的半徑為5,則直徑是10,所以BC恰好是圓O的直徑,所以AB⊥AC.=(+)=+=+(+)=-,此時x=,y=-,x-y=-(-)=1.又=(+),·=(-)·(+)=(2-2)=-,故=-. [答案] - 10.(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2≥(m-2)·+m(·)·(·)對任意實(shí)數(shù)a,b,c,d都成立,則實(shí)數(shù)m的最大值是________. [解析] 原不等式可化為(a-c)2+(b-d)2≥(m-2)·(ac+bd)+mbc,即a2+b2+c2+d2-m(ac+bd+bc)≥0,
22、整理成關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式為a2-mca+b2+c2+d2-mbd-mbc≥0,此式恒成立,從而Δ1=m2c2-4(b2+c2+d2-mbd-mbc)≤0,再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)d的不等式為d2-mbd+b2+c2-mbc-m2c2≥0,從而Δ2=m2b2-4≤0,再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)b的不等式為(4-m2)b2-4mcb+4c2-m2c2≥0, 從而, 解得1-≤m≤-1+,所以m的最大值是-1. [答案] -1 11.(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(一))已知在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若向量m=(cos A,cos B),n=(b+2c,a),且m⊥n. (1)求角
23、A的大小; (2)若a=4,b+c=8,求AC邊上的高h(yuǎn)的值. [解] (1)因?yàn)閙⊥n,所以m·n=0, 所以(b+2c)cos A+acos B=0, 由正弦定理得cos Asin B+2cos Asin C+cos Bsin A=0, 即sin(A+B)+2cos Asin C=0, 因?yàn)锳+B=π-C,所以sin(A+B)=sin C,所以sin C+2cos Asin C=0. 又C∈(0,π),所以sin C>0,所以cos A=-. 因?yàn)锳∈(0,π),所以A=. (2)由 解得b=c=4. 又S△ABC=bcsin A=h·AC,所以h=2. 12.(2
24、019·蘇州期末檢測)已知向量a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且a,b共線,其中θ∈. (1)求tan的值; (2)若5cos (θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求φ的值. [解] (1)因?yàn)閍∥b,所以sin θ-2cos θ=0,即tan θ=2. 所以tan ===-3. (2)由(1)知tan θ=2,又θ∈,所以sin θ=,cos θ=, 因?yàn)?cos(θ-φ)=3cos φ, 所以5(cos θcos φ+sin θsin φ)=3cos φ, 即cos φ+2sin φ=3cos φ, 所以cos φ=sin φ,即tan φ=1, 又0<
25、φ<,所以φ=.
13.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α 26、令t=sin x+cos x,
則2sin xcos x=t2-1,且-1 27、0,
所以sin(x+α)+2sin 2α=0,即sin+2sin 2α=0.
所以sin 2α+cos 2α=0,所以tan 2α=-.
14.(2019·鎮(zhèn)江期末)已知△ABC的面積為S,且·=S.
(1)求sin A;
(2)若||=3,|-|=2,求sin B.
[解] (1) 因?yàn)椤鰽BC的面積為S,且·=S,
所以bccos A=×bcsin A,
所以sin A=cos A,
所以A為銳角,且sin2A+cos2A=sin2A+sin2A=sin2A=1,
所以sin A=.
(2)設(shè)△ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,
因?yàn)閨|=c=3,
|-|=||=a=2,
由正弦定理得=,
即=,
所以sin C=,又因?yàn)閏<a,則C為銳角,
所以C=,
所以sin B=sin=sin Acos +cos Asin
=×+×=.
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