《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教A版選修2-1（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三章 空間向量與立體幾何 1　空間向量加減法運(yùn)用的三個(gè)層次 空間向量是處理立體幾何問(wèn)題的有力工具，但要用好向量這一工具解題，必須熟練運(yùn)用加減法運(yùn)算． 第1層　用已知向量表示未知向量 例1　如圖所示，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，P，Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量，，表示和. 解　＝＋ ＝＋ ＝＋(－) ＝＋(－) ＝＋×(＋) ＝＋＋； ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋(－) ＝＋×(＋)＝＋＋. 點(diǎn)評(píng)　用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和

2、，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則．在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立． 第2層　化簡(jiǎn)向量 例2　如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD.設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量． (1)＋＋； (2)＋(＋)；(3)－(＋)． 解　(1)＋＋＝＋＝. (2)＋(＋)＝＋＋ ＝＋＋＝. (3)－(＋) ＝－＝. ，，如圖所示． 點(diǎn)評(píng)　要求空間若干向量之和，可以通過(guò)平移，將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則

3、它們的和為0.兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍成立，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮運(yùn)用平行四邊形法則． 第3層　證明立體幾何問(wèn)題 例3　如圖，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點(diǎn)共線． 證明　設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B，G，N三點(diǎn)共線. 2　空間向量易錯(cuò)點(diǎn)掃描 易錯(cuò)點(diǎn)1　對(duì)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系理解不清 例1　“a·b<0”是“〈a，b〉為鈍角”的________條件．(填“充分不必要

4、”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 錯(cuò)解　a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉為鈍角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉為鈍角”的充要條件． 錯(cuò)因分析　錯(cuò)解中忽略了兩個(gè)向量共線且反向的情況． 剖析　當(dāng)〈a，b〉＝π時(shí)，a·b<0，但此時(shí)夾角不為鈍角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉為鈍角”的必要不充分條件． 正解　必要不充分 總結(jié)　a·b<0?a與b夾角為鈍角或a與b方向相反，a·b>0?a與b夾角為銳角或a與b方向相同． 易錯(cuò)點(diǎn)2　忽略兩向量的夾角的定義 例2　如圖所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別

5、為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，試求線段CD的長(zhǎng)． 錯(cuò)解　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0， ∵二面角α—AB—β的平面角為120°， ∴〈，〉＝120°. ∴CD2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos120°＝72，∴CD＝6. 錯(cuò)因分析　錯(cuò)解中混淆了二面角的平面角與向量夾角的概念．向量，的夾角與二面角α—AB—β的平面角互補(bǔ)，而不是相等． 正解　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0， ∵二面角α—AB—β的平面角為120°， ∴〈，〉＝180°－120°＝60°. ∴CD2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋

6、2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12. 易錯(cuò)點(diǎn)3　判斷是否共面出錯(cuò) 例3　已知O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，a＝＋＋，b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是(　　) A.B.C.D.或 錯(cuò)解　a＝＋＋，b＝＋－， 相加得＋＝(a＋b)， 所以，都與a，b共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故選D. 剖析?。?a＋b)，說(shuō)明＋與a，b共面，但不能認(rèn)為，都與a，b共面． 對(duì)A，B：設(shè)＝xa＋yb， 因?yàn)閍＝＋＋，b＝＋－， 代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因?yàn)镺，A，B，C四點(diǎn)不共面， 所以，，不共面，

7、 所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0， 此時(shí)，x，y不存在，所以a、b與不共面， 故a，b與可構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 同理a，b與也可構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 對(duì)C：因?yàn)閍＝＋＋，b＝＋－，相減有＝(a－b)，所以與a，b共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 正解　C 易錯(cuò)點(diǎn)4　混淆向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算 例4　下列各式中正確的是(　　) A．a(chǎn)·b＝b·c(b≠0)?a＝c B．a(chǎn)·b＝0?a＝0或b＝0 C．(a·b)·c＝a·(b·c) D.·＝||||cos(180°－∠AOB) 錯(cuò)解　A(或B或C) 剖析　想當(dāng)然地將向量的數(shù)量積運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算等價(jià)，以致出

8、錯(cuò)．向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律、結(jié)合律，故A、C錯(cuò)誤；若a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故B錯(cuò)誤；·的夾角是180°－∠AOB. 正解　D 易錯(cuò)點(diǎn)5　忽略建系的前提 例5　四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，試合理建立坐標(biāo)系，求與所成角的余弦值． 錯(cuò)解　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 此時(shí)＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝. 剖析　空間直角坐標(biāo)系的建立的前提是三條直線兩兩垂直，而本題中直線AB與AD不垂直． 正解　設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，則AC⊥

9、BD. 因?yàn)镕為CE中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AE， 因?yàn)锳E⊥平面ABCD， 所以O(shè)F⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD， 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 此時(shí)＝(1,0,1)，＝(1，，0)， 所以cos〈，〉＝. 易錯(cuò)點(diǎn)6　求空間角時(shí)，因?qū)λ蠼桥c向量夾角的關(guān)系不理解致誤 例6　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C的大?。? 錯(cuò)解　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，

10、 C1(0,1,1)． 由題意知是平面ABD1的一個(gè)法向量，＝(1,0,1)，是平面BCD1的一個(gè)法向量，＝(0,1,1)， 所以cos〈，〉＝＝. 所以〈，〉＝60°. 所以二面角A－BD1－C的大小為60°. 剖析　利用向量法求所成角問(wèn)題，需注意所求的角的確切位置． 正解　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)． 由題意知＝(1,0,1)是平面ABD1的一個(gè)法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一個(gè)法向量． 所以cos〈，〉

11、＝＝， 所以〈，〉＝60°. 結(jié)合圖形知二面角A－BD1－C的大小為120°. 3　空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建三策略 利用空間向量的方法解決立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是依托圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將其他向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離問(wèn)題的探求．所以如何建立空間直角坐標(biāo)系顯得非常重要，下面簡(jiǎn)述空間建系的三種方法，希望同學(xué)們面對(duì)空間幾何問(wèn)題能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱 例1　已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，試求異面直線BC1與DC所成角的余

12、弦值． 解　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 則D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)， 所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)． 所以cos〈，〉＝＝. 故異面直線BC1與DC所成角的余弦值為. 點(diǎn)評(píng)　本例以直四棱柱為背景，求異面直線所成角．求解關(guān)鍵是從直四棱柱圖形中的共點(diǎn)的三條棱互相垂直關(guān)系處著眼，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可． 2．利用線面垂直關(guān)系 例2　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥

13、平面BB1C1C，E為棱C1C的中點(diǎn)，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.試建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)． 解　過(guò)點(diǎn)B作BP垂直BB1交C1C于點(diǎn)P， 因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP， 又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B， 且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1， 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BP，BB1，BA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz. 因?yàn)锳B＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝， 所以CP＝，C1P＝，BP＝，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，

14、 C1，E，A1(0,2，)，p. 點(diǎn)評(píng)　空間直角坐標(biāo)系的建立，要盡量地使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣建成的坐標(biāo)系，既能迅速寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，又由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)含有0，也為后續(xù)的運(yùn)算帶來(lái)了方便．本題已知條件中的垂直關(guān)系“AB⊥平面BB1C1C”，可作為建系的突破口． 3．利用面面垂直關(guān)系 例3　如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)．將△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如圖2)，連接BC，BD.求平面ABE與平面BCD所成的銳角的大小． 解　取AE中點(diǎn)M，連接BM，DM. 因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，AD∥BC

15、，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)， 所以△ABE與△ADE都是等邊三角形， 所以BM⊥AE，DM⊥AE. 又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD. 以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MD，MB所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，如圖， 則B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，M(0,0,0)， 所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0，，0)， 設(shè)平面BCD的法向量為m＝(x，y，z)， 由 取y＝1，得m＝(0,1,1)， 又因平面ABE的一個(gè)法向量＝(0，，0)， 所以cos〈m，〉＝＝， 所以平面ABE與平面BCD所成

16、的銳角為45°. 點(diǎn)評(píng)　本題求解關(guān)鍵是利用面面垂直關(guān)系，先證在兩平面內(nèi)共點(diǎn)的三線垂直，再構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大?。梅ㄏ蛄康膴A角求二面角時(shí)應(yīng)注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向，取的方向不同求出來(lái)的角度就不同，所以最后還應(yīng)該根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大?。? 4　用向量法研究“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題 “動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題是在靜態(tài)幾何問(wèn)題中滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，同時(shí)由于“動(dòng)態(tài)”的存在，使得問(wèn)題的處理趨于靈活．本文介紹巧解“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題的法寶——向量法，教你如何以靜制動(dòng)． 1．求解、

17、證明問(wèn)題 例1　在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC—O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF，求證：A1F⊥C1E. 證明　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則A1(a,0，a)，C1(0，a，a)． 設(shè)AE＝BF＝x， ∴E(a，x,0)，F(xiàn)(a－x，a,0)． ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a) ＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E. 2．定位問(wèn)題 例2　如圖，已知四邊形ABCD，CDGF，ADG

18、E均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，在DG上是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF的夾角為45°？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解題提示　假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)平面BEF的法向量為n，設(shè)BM與平面BEF所成的角為θ，利用sinθ＝求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若滿足條件則存在． 解　存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF的夾角為45°. 因?yàn)樗倪呅蜟DGF，ADGE均為正方形， 所以GD⊥DA，GD⊥DC. 又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD. 又DA⊥DC，所以DA，DG，DC兩兩垂直，如圖， 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DG所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dx

19、yz， 則B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)． 因?yàn)辄c(diǎn)M在DG上，假設(shè)存在點(diǎn) M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直線BM與平面BEF的夾角為45°. 設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)． 因?yàn)椋?0，－1,1)，＝(－1,0,1)， 則即 令z＝1，得x＝y(tǒng)＝1， 所以n＝(1,1,1)為平面BEF的一個(gè)法向量． 又＝(－1，－1，t)，直線BM與平面BEF所成的角為45°，所以sin45°＝＝＝， 解得t＝－4±3. 又0≤t≤1，所以t＝3－4. 故在DG上存在點(diǎn)M(0,0,3－4)， 且DM＝3－4時(shí)，直線MB與平面BEF所成的角為45°

20、. 點(diǎn)評(píng)　由于立體幾何題中“動(dòng)態(tài)”性的存在，使有些問(wèn)題的結(jié)果變得不確定，這時(shí)我們要以不變應(yīng)萬(wàn)變，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，引入?yún)⒘?，利用空間垂直關(guān)系及數(shù)量積將幾何問(wèn)題代數(shù)化，達(dá)到以靜制動(dòng)的效果. 5　向量與立體幾何中的數(shù)學(xué)思想 1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 向量方法是解決問(wèn)題的一種重要方法，坐標(biāo)是研究向量問(wèn)題的有效工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示可以把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而溝通了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想．向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，因此，它能將幾何中的“形”和代數(shù)中的“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合在一起． 例1　如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD

21、∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，點(diǎn)E在棱AB上，平面A1EC與棱C1D1相交于點(diǎn)F. (1)證明：A1F∥平面B1CE； (2)若E是棱AB的中點(diǎn)，求二面角A1－EC－D的余弦值； (3)求三棱錐B1－A1EF的體積的最大值． (1)證明　因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是棱柱， 所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F， 所以A1F∥EC.又因?yàn)锳1F?平面B1CE， EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE. (2)解　因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°， 所

22、以AA1，AB，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 則A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，A(0,0,0)， 所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2)，＝(0,0,1)． 設(shè)平面A1EC的法向量為m＝(x，y，z)， 由·m＝0，·m＝0，得 令z＝1，得m＝(2，－2,1)． 又因?yàn)槠矫鍰EC的法向量為n＝＝(0,0,1)， 所以cos〈m，n〉＝＝， 由圖可知，二面角A1－EC－D的平面角為銳角， 所以二面角A1－EC－D的余弦值為. (3)解　過(guò)點(diǎn)F作FM⊥A

23、1B1于點(diǎn)M， 因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面A1B1C1D1， 平面A1ABB1∩A1B1C1D1＝A1B1，F(xiàn)M⊥A1B1， 所以FM⊥平面A1ABB1， 所以＝＝××FM ＝××FM＝FM. 因?yàn)楫?dāng)F與點(diǎn)D1重合時(shí)，F(xiàn)M取到最大值2(此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合)， 所以當(dāng)F與點(diǎn)D1重合時(shí)，三棱錐B1－A1EF的體積的最大值為. 2．轉(zhuǎn)化與化歸思想 空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算為解決立體幾何中的夾角、距離、垂直、平行等問(wèn)題提供了工具，因此我們要善于把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角、模、垂直、平行等問(wèn)題，利用向量方法解決．將幾何問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題，然后利用向量的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和論證，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何

24、問(wèn)題．這種“從幾何到向量，再?gòu)南蛄康綆缀巍钡乃枷敕椒?，在本章尤為重要? 例2　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為D1E上的一點(diǎn)，D1F＝2FE. (1)證明：平面DFC⊥平面D1EC； (2)求二面角A－DF－C的平面角的余弦值． 分析　求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． (1)證明　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz， 則A(1

25、,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)． ∵E為AB的中點(diǎn)，∴E(1,1,0)， ∵D1F＝2FE， ∴＝＝(1,1，－2)＝， ∴＝＋＝(0,0,2)＋ ＝. 設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量， 則∴ 取x1＝1得平面DFC的一個(gè)法向量n＝(1,0，－1)． 設(shè)p＝(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量， 則∴ 取y2＝1得平面D1EC的一個(gè)法向量p＝(1,1,1)， ∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n⊥p， ∴平面DFC⊥平面D1EC. (2)解　設(shè)q＝(x3，y3，z3)是平面A

26、DF的法向量， 則∴ 取y3＝1得平面ADF的一個(gè)法向量q＝(0,1，－1)， 設(shè)二面角A－DF－C的平面角為θ，由題中條件可知θ∈，則cosθ＝－＝－＝－， ∴二面角A－DF－C的平面角的余弦值為－. 3．函數(shù)思想 例3　已知關(guān)于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有兩個(gè)實(shí)根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)．問(wèn)|c|能否取得最大值？若能，求出實(shí)數(shù)t的值及對(duì)應(yīng)的向量b與c夾角的余弦值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 分析　寫(xiě)出|c|關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)觀點(diǎn)求解． 解　由題意知Δ≥0，得－4≤t≤－， 又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－

27、2)＝(－1＋t,1,3－2t)， ∴|c|＝＝. 當(dāng)t∈時(shí)，f(t)＝52＋是單調(diào)遞減函數(shù)，∴f(t)max＝f(－4)，即|c|的最大值存在， 此時(shí)c＝(－5,1,11)．b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝， ∴cos〈b，c〉＝＝＝－. 點(diǎn)評(píng)　凡涉及向量中的最值問(wèn)題，若可用向量坐標(biāo)形式，一般可考慮寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)思想求解． 4．分類討論思想 例4　如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD(點(diǎn)P位于平面ABCD的上方)，問(wèn)BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使⊥？ 分析　由⊥，得PQ⊥QD，所以平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)Q在以邊AD為直徑的圓上，若

28、此圓與邊BC相切或相交，則BC邊上存在點(diǎn)Q，否則不存在． 解　假設(shè)存在點(diǎn)Q(Q點(diǎn)在邊BC上)，使⊥， 即PQ⊥QD，連接AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD. 又＝＋且⊥，∴·＝0， 即·＋·＝0. 又由·＝0，∴·＝0，∴⊥. 即點(diǎn)Q在以邊AD為直徑的圓上，圓的半徑為. 又∵AB＝1，由題圖知， 當(dāng)＝1，即a＝2時(shí)，該圓與邊BC相切，存在1個(gè)點(diǎn)Q滿足題意； 當(dāng)>1，即a>2時(shí)，該圓與邊BC相交，存在2個(gè)點(diǎn)Q滿足題意； 當(dāng)<1，即0