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1、2022年高考數(shù)學(xué) 立體幾何試題 文
一、選擇題
1.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.
B. C. D.
2..一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長度:cm),則此幾何體的表面積是( )
A.(20+4)cm2 B.21 cm2
C.(24+4)cm2 D.24 cm2
3.已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1,點(diǎn)P、Q分別在棱BB1、DD1上,且=,過點(diǎn)A、P、Q作截面截去該正方體的含點(diǎn)A1的部分,則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的
2、主視圖的是( ?。?
4.四棱錐的三視圖如圖正(主)視圖
側(cè)(左)視圖
俯視圖
所示,則最長的一條側(cè)棱的長度是( )
A. B.
C. D.
二、填空題
5.如圖所示的一塊長方體木料中,已知,設(shè)為底面的中心,且,則該長方體中經(jīng)過點(diǎn)的截面面積的最小值為 .
6.長方體中,已知
,,棱在平面內(nèi),則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取7.如右圖,正方體的棱長為1,P值范圍是 .
為BC的中點(diǎn),Q為線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P
3、,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_____(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①當(dāng)時(shí),S為四邊形;
②當(dāng)時(shí),S不為等腰梯形;
③當(dāng)時(shí),S與的交點(diǎn)R滿足;
④當(dāng)時(shí),S為六邊形;
⑤當(dāng)時(shí),S的面積為.
三、解答題
8.(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,//,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
9.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為梯形,BC∥AD,AB⊥AD,PA=AB=BC=1,AD=2.
4、
(1)求三棱錐P—ACD的外接球的表面積;
(2)若M為PB的中點(diǎn),問在AD上是否存在一點(diǎn)E,使AM∥平面PCE?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
10.如圖,在三棱錐中,平面平面,于點(diǎn),且,,
(1)求證:
(2)
(3)若,,求三棱錐的體積.
參考答案
1.C
【解析】
試題分析:根據(jù)三視圖可知該幾何體為一個(gè)四棱錐和三棱錐的組合體,如圖所示,且平面,平面,底面為正方形,則有,所以和到平面的距離相等,且為,故,
,則該幾何體的體積為.
考點(diǎn):三視圖、簡單幾何體體積
2.A
【解析】
5、
試題分析:三視圖復(fù)原的組合體是下部是棱長為2的正方體,上部是底面邊長為2的正方形,高為1的四棱錐,
組合體的表面積為:,故選A.
考點(diǎn):三視圖求幾何體的表面積
3.A
【解析】
試題分析:當(dāng)P、B1重合時(shí),主視圖為選項(xiàng)B;當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比B1近時(shí),主視圖為選項(xiàng)C;當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比B1遠(yuǎn)時(shí),主視圖為選項(xiàng)D,因此答案為A.
考點(diǎn):組合體的三視圖
4.D
【解析】
試題分析:根據(jù)題中所給的三視圖,可知該幾何體為底面是直角
梯形,且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面梯形的左前方的頂點(diǎn),所以最長
的側(cè)棱應(yīng)該是棱錐的頂點(diǎn)與右后方的點(diǎn)的側(cè)棱,故根據(jù)勾股定理,可知最長側(cè)棱應(yīng)該是.,故選D.
6、
考點(diǎn):根據(jù)幾何體的三視圖確定幾何體的特征.
5.
【解析】
試題分析:如圖所示,經(jīng)過點(diǎn)的截面為平行四邊形
設(shè),則,為了求出平行四邊形的高,先求的高,由等面積法可得,又由三垂線定理可得平行四邊形的高,因此平行四邊形的面積
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
考點(diǎn):幾何體的截面面積的計(jì)算
6..
【解析】
試題分析:四邊形和的面積分別為4和6,長方體在平面內(nèi)的射影可由這兩個(gè)四邊形在平面內(nèi)的射影組合而成. 顯然,. 若記平面與平面所成角為,則平面與平面所成角為. 它們在平面內(nèi)的射影分別為和,所以,(其中,),因此,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到. 因此,.
考點(diǎn):三角函數(shù)的化簡和求值.
7.①②③⑤
【解
7、析】
試題分析:取AB的中點(diǎn)M,在DD1上取點(diǎn)N,使得DN=CQ,則MN∥PQ;作AT∥MN,交直線DD1于點(diǎn)T,則A、P、Q、T四點(diǎn)共面;
①當(dāng)0
8、1D1的中點(diǎn)FS為菱形APC1FS的面積=AC1PF==.
綜上,命題正確的是:①②③⑤..
考點(diǎn):立體幾何綜合應(yīng)用.
8.(Ⅰ)證明祥見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)在中,為中點(diǎn).所以;又因?yàn)槠矫娴酌?,且平面底面,由面面垂直的性質(zhì)定理可得到底面,再由線面垂直的性質(zhì)得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及已知條件易得,和;故可以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系從而由空間向量知識(shí)及可求得直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中所建立的空間直角坐標(biāo)系中,求出平面的法向量和平面的法向量,代入公式二面角的夾角公式即可求出二面角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)證明:在中,為中點(diǎn).
所以
9、 1分
因?yàn)槠矫娴酌?,且平面底?
所以底面 3分
又平面
所以. 4分
(Ⅱ)解:在直角梯形中,//為中點(diǎn)
所以
所以四邊形為平行四邊形
因?yàn)?
所以
由(Ⅰ)可知平面
所以,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
則
所以 6分
設(shè)平面的法向量為則
即亦即
令,得所以 8分
設(shè)直線與平面所成角為,則
所以與平面所成角的正弦值為
10、 10分
(Ⅲ)解:如(Ⅱ)中建立空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)?
所以平面
即為平面的法向量,且 11分
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
又
設(shè)平面的法向量為
則
即
令得
所以 13分
所以
由題知,二面角為銳角
所以二面角的余弦值為 14分
考點(diǎn):1.直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系;2. 直線與平面所成的角;3.二面角.
9.(1)5π;(2)在AD上存在點(diǎn)E,使AM∥平面BCE, .
【解析】
試題分析:(1)在△ACD中,AC=,CD=,AD=2,
利用AC2+
11、CD2=AD2證得AC⊥CD,根據(jù)PA⊥平面ABCD得到PA⊥CD,從而有CD⊥平面PAC, CD⊥PC;
根據(jù)△PAD、△PCD均是以PD為斜邊的直角三角形,
取PD的中點(diǎn)O,則OA=OP=OC=OD=,計(jì)算即得所求.
(2)根據(jù)觀察分析,取PC的中點(diǎn)N,連接MN,EN,得到MNBC, 又BC∥AE,得到MN∥AE;
由AM∥平面PCE,得 AM∥EN,四邊形AMNE為平行四邊形,AE=MN=BC=AD,= .
考點(diǎn):1.球的表面積;2.平行關(guān)系、垂直關(guān)系.
10.(1)參考解析;(2)參考解析;(3)
【解析】
試題分析:(1)由,,即可得到線段成比例,即得到直線平行,再
12、根據(jù)直線與平面平行的判斷定理即可得到結(jié)論.
(2)由平面平面,于點(diǎn),并且AC是平面PAC與平面ABC的交線,根據(jù)平面垂直的性質(zhì)定理即可得PD垂直平面ABC,再根據(jù)平面與平面垂直的判斷定理即可得到結(jié)論.
(3)由即可得AC=3.又由,, 在三角形ABC中根據(jù)余弦定理即可求得BC的值.所以三角形ABC的面積可以求出來,由于PD垂直于平面ABC所以PD為三棱錐的高,即可求得結(jié)論.
(1), 2分
3分
(2)因?yàn)槠矫嫫矫妫?
且平面平面,
平面,,
所以平面, 6分
又平面,
所以平面平面. 7分
(3)由(2)可知平面.
法一:中,,
由正弦定理,得,
因?yàn)?,所以,則,因此, 8分
△的面積. 10分
所以三棱錐的體積. 12分
法二:中,,,由余弦定理得:
,所以,
所以. 8分
△的面積. 10分
所以三棱錐的體積. 12分
考點(diǎn):1.線面平行.2.面面垂直.3.三角形的余弦定理.4.三棱錐的體積.