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(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質學案 新人教A版選修2-1

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1、 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 學習目標 1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質.2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題. 知識點一 拋物線的簡單幾何性質 思考 觀察下列圖形,思考以下問題: (1)觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形,分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別? (2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2=2px(p>0)如何確定橫坐標x的范圍? 答案 (1)拋物線與另兩種曲線相比較,有明顯的不同,橢圓是封閉曲線,有四個頂點,有兩個焦點,有中心;雙曲線雖然不是封閉曲線,但是有兩支,有兩個頂點,兩個焦點,有中心;拋物線只有一條曲線,一個頂點,一個焦

2、點,無中心. (2)由拋物線y2=2px(p>0)有所以x≥0. 梳理 四種形式的拋物線的幾何性質 標準方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 圖形 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸 焦點坐標 F F F F 準線方程 x=- x= y=- y= 頂點坐標 O(0,0) 離心率 e=1 通徑長 2p 知識點二 直線與拋物線的位置關系 直線y=kx+b與拋物線y

3、2=2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程組解的個數(shù),即二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的個數(shù). 當k≠0時,若Δ>0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點;若Δ=0,直線與拋物線有一個公共點;若Δ<0,直線與拋物線沒有公共點. 當k=0時,直線與拋物線的軸平行或重合,此時直線與拋物線有1個公共點. 知識點三 焦點弦的性質 已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2),則有: (1)y1y2=-p2,x1x2=; (2)|AB|=x1+x2+p,|AF|=x1+; (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相

4、切. (1)拋物線沒有漸近線.(√) (2)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.(×) (3)若一條直線與拋物線只有一個公共點,則二者一定相切.(×) (4)“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件.(√) 類型一 拋物線方程及其幾何性質 例1 (1)頂點在原點,對稱軸為y軸,頂點到準線的距離為4的拋物線方程是(  ) A.x2=16y B.x2=8y C.x2=±8y D.x2=±16y 考點 拋物線的簡單幾何性質 題點 焦點、準線、對稱性簡單應用 答案 D 解析 頂點在原點,對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個:x2=-2py,x2=2

5、py(p>0).由頂點到準線的距離為4,知p=8,故所求拋物線方程為x2=16y或x2=-16y. (2)頂點在原點,經過點(,-6),且以坐標軸為對稱軸的拋物線方程是________________. 考點 拋物線的簡單幾何性質 題點 焦點、準線、對稱性簡單應用 答案 y2=12x或x2=-y 解析 若x軸是拋物線的對稱軸,則設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0), 因為點(,-6)在拋物線上,所以(-6)2=2p·,解得2p=12,故所求拋物線的標準方程為y2=12x.若y軸是拋物線的對稱軸,則同理可得拋物線的標準方程為x2=-y. 反思與感悟 求拋物線的標準方程的關鍵與

6、方法 (1)關鍵:確定焦點在哪條坐標軸上,進而求方程的有關參數(shù). (2)方法:①定義法:根據(jù)定義求p,最后寫標準方程. ②待定系數(shù)法:設標準方程,列有關的方程組求系數(shù). ③直接法:建立恰當坐標系,利用拋物線的定義列出動點滿足的條件,列出對應方程,化簡方程. 跟蹤訓練1 已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,O為坐標原點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程. 考點 由拋物線的簡單幾何性質求方程 題點 由簡單幾何性質求拋物線的方程 解 由題意,可設拋物線方程為y2=2ax(a≠0), 則焦點F,準線l:x=-, ∴A,B兩點坐標

7、分別為,, ∴|AB|=2|a|. ∵△OAB的面積為4,∴··2|a|=4, ∴a=±2,∴拋物線方程為y2=±4x. 類型二 焦點弦問題 例2 已知直線l經過拋物線y2=6x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點. (1)若直線l的傾斜角為60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求線段AB的中點M到準線的距離. 考點 直線與拋物線位置關系 題點 直線與拋物線相交弦長及弦中點問題 解 (1)因為直線l的傾斜角為60°, 所以其斜率k=tan 60°=, 又F,所以直線l的方程為 y=. 聯(lián)立 消去y得4x2-20x+9=0, 解得x1=,x2=, 故|

8、AB|=×=2×4=8. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2), 由拋物線定義,知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9, 所以x1+x2=6, 于是線段AB的中點M的橫坐標是3, 又準線方程是x=-, 所以M到準線的距離等于3+=. 反思與感悟 拋物線定義的兩種應用 (1)實現(xiàn)距離轉化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離,因此,由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉化,從而簡化某些問題. (2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉化,即化折線

9、為直線解決最值問題. 跟蹤訓練2 如圖,斜率為的直線l經過拋物線y2=2px的焦點F(1,0),且與拋物線相交于A,B兩點. (1)求該拋物線的標準方程和準線方程; (2)求線段AB的長. 考點 拋物線中過焦點的弦長問題 題點 求拋物線的焦點弦長 解 (1)由焦點F(1,0),得=1,解得p=2, 所以拋物線的標準方程為y2=4x, 其準線方程為x=-1. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2). 直線l的方程為y=(x-1), 與拋物線方程聯(lián)立,得 消去y,整理得4x2-17x+4=0, 由拋物線的定義可知, |AB|=x1+x2+p=+2=, 所以線段AB

10、的長為. 類型三 直線與拋物線位置關系 例3 (1)過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有(  ) A.4條 B.3條 C.2條 D.1條 考點 直線與拋物線位置關系 題點 直線與拋物線公共點個數(shù)問題 答案 B 解析 當直線垂直于x軸時,滿足條件的直線有1條; 當直線不垂直于x軸時,滿足條件的直線有2條,故選B. (2)已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,當k為何值時,l與C:只有一個公共點;有兩個公共點;沒有公共點. 考點 直線與拋物線位置關系 題點 直線與拋物線公共點個數(shù)問題 解 聯(lián)立消去y, 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(

11、*) 當k=0時,(*)式只有一個解x=,∴y=1, ∴直線l與C只有一個公共點, 此時直線l平行于x軸. 當k≠0時,(*)式是一個一元二次方程, Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①當Δ>0,即k<1,且k≠0時, l與C有兩個公共點,此時直線l與C相交; ②當Δ=0,即k=1時,l與C有一個公共點,此時直線l與C相切; ③當Δ<0,即k>1時,l與C沒有公共點,此時直線l與C相離. 綜上所述,當k=1或0時,l與C有一個公共點; 當k<1,且k≠0時,l與C有兩個公共點; 當k>1時,l與C沒有公共點. 引申探究 求過點P(0,1)且與拋物線y2=

12、2x只有一個公共點的直線方程. 解 (1)若直線斜率不存在, 則過點P(0,1)的直線方程為x=0, 由得 所以直線x=0與拋物線只有一個交點. (2)若直線斜率存在,設為k, 則過點P的直線方程為y=kx+1, 聯(lián)立消去y, 得k2x2+2(k-1)x+1=0. 當k=0時,得x=,且y=1, 即直線y=1與拋物線只有一個公共點. 當k≠0時,若直線與拋物線只有一個公共點,則 Δ=4(k-1)2-4k2=0,解得k=, 則直線方程為y=x+1. 綜上所述,所求直線的方程為x=0或y=1或x-2y+2=0. 反思與感悟 設直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px

13、(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0. (1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合. (2)若k2≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點; 當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點; 當Δ<0時,直線與拋物線相離,無公共點. 跟蹤訓練3 (1)已知直線y=kx-k和拋物線y2=2px(p>0),則(  ) A.直線和拋物線有一個公共點 B.直線和拋物線有兩個公共點 C.直線和拋物線有一個或兩個公共點 D.直線和拋物線可能沒有公共點 考點 直線與拋物線位置關系 題點 直線與拋

14、物線公共點個數(shù)問題 答案 C 解析 ∵直線y=kx-k過定點(1,0), ∴當k=0時,直線與拋物線有一個公共點; 當k≠0時,直線與拋物線有兩個公共點. (2)(2017·牌頭中學期中)拋物線y=x2上關于直線y=x+3對稱的兩點M,N的坐標分別為____. 答案 (-2,4) (1,1) 解析 設直線MN的方程為y=-x+b, 代入y=x2中, 整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0, ∴b>-. 設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-1, =-+b=+b, 由在直線y=x+3上, 即+b=-+3,解得b=2, 聯(lián)立得 解得 1.已

15、知拋物線的對稱軸為x軸,頂點在原點,焦點在直線2x-4y+11=0上,則此拋物線的方程是(  ) A.y2=-11x B.y2=11x C.y2=-22x D.y2=22x 考點 由拋物線的簡單幾何性質求方程 題點 由簡單幾何性質求拋物線的方程 答案 C 解析 在方程2x-4y+11=0中,令y=0,得x=-, ∴拋物線的焦點為F, 設拋物線方程為y2=-2px(p>0), 則=,∴p=11, ∴拋物線的方程是y2=-22x,故選C. 2.已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為(  ) A.-B.-1C.-D.- 考點

16、 拋物線的簡單幾何性質 題點 拋物線性質的綜合問題 答案 C 解析 因為拋物線C:y2=2px的準線為x=-, 且點A(-2,3)在準線上, 故-=-2,解得p=4, 所以y2=8x, 所以焦點F的坐標為(2,0), 這時直線AF的斜率kAF==-. 3.若拋物線y2=2px(p>0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列,那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關系是(  ) A.成等差數(shù)列 B.既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列 C.成等比數(shù)列 D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 考點 拋物線的簡單幾何性質 題點 拋物線性質的綜合問題 答案 A 解析 設三點為P1(x1,y1),

17、P2(x2,y2),P3(x3,y3), 則y=2px1,y=2px2,y=2px3. 因為2y=y(tǒng)+y, 所以x1+x3=2x2, 即|P1F|-+|P3F|-=2, 所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|. 4.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的長為8,則p=________. 考點 拋物線中過焦點的弦長問題 題點 與弦長有關的其他問題 答案 2 解析 設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 易知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F, 且傾斜角為45°的直線的方程為y=x-, 把x

18、=y(tǒng)+代入y2=2px,得y2-2py-p2=0, ∴y1+y2=2p,y1y2=-p2. ∵|AB|=8,∴|y1-y2|=4, ∴(y1+y2)2-4y1y2=(4)2, 即(2p)2-4×(-p2)=32. 又p>0,∴p=2. 5.已知圓C:x2+y2+6x+8y+21=0,拋物線y2=8x的準線為l,設拋物線上任一點P到直線l的距離為m,則m+|PC|的最小值為________. 考點 拋物線的定義 題點 拋物線定義與其他知識結合的應用 答案  解析 圓心C(-3,-4),由拋物線的定義知,m+|PC|最小時為圓心與拋物線焦點(2,0)間的距離,即=. 1.

19、拋物線的中點弦問題用點差法較簡便. 2.軸對稱問題,一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上,二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系. 3.在直線和拋物線的綜合問題中,經常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關鍵是代換和轉化. 一、選擇題 1.(2017·嘉興一中期末)已知點A(0,2),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,若=,則p的值等于(  ) A.B.2C.4D.8 答案 B 2.拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,M是拋物線C上的點,O為坐標

20、原點,若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切,且該圓的面積為36π,則p的值為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 考點 由拋物線的簡單幾何性質求方程 題點 由簡單幾何性質求拋物線的方程 答案 D 解析 ∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切, ∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑. ∵圓的面積為36π,∴圓的半徑為6. 又圓心在OF的垂直平分線上,|OF|=, ∴+=6,∴p=8. 3.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是(  ) A.B.C.D.3 考點 直線與拋物線的位置關系 題點 求距離最小值問題 答案 A 解析

21、 設拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8=0的距離為 ,當m=時,取得最小值為. 4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,其上的三個點A,B,C的橫坐標之比為3∶4∶5,則以|FA|,|FB|,|FC|為邊長的三角形(  ) A.不存在 B.必是銳角三角形 C.必是鈍角三角形 D.必是直角三角形 考點 拋物線的簡單幾何性質 題點 拋物線的簡單幾何性質應用 答案 B 解析 設A,B,C三點的橫坐標分別為x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由拋物線定義,得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能

22、構成三角形,|FC|所對角為最大角,由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù),故該三角形必是銳角三角形. 5.等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則△AOB的面積是(  ) A.8p2B.4p2C.2p2D.p2 考點 拋物線的簡單幾何性質 題點 拋物線的簡單幾何性質應用 答案 B 解析 因為拋物線的對稱軸為x軸,內接△AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對稱性,知直線AB與拋物線的對稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°. 由方程組 得或 所以易得A,B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p,-2p). 所以|AB|=4p,

23、所以S△AOB=×4p×2p=4p2. 6.(2017·牌頭中學期中)已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,·=2(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(  ) A.2B.3C.D. 答案 B 解析 設點A的坐標為(a2,a),點B的坐標為(b2,b),直線AB的方程為x=ty+m,與拋物線y2=x聯(lián)立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由·=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面積為m|a-b|=|a-b|=,△AFO的面積等于×|a|=,所以△ABO與△AFO的面積之和為+≥2=3,當

24、且僅當=,即|a|=時“=”成立,故選B. 7.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為(  ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 考點 直線與拋物線的位置關系 題點 直線與拋物線位置關系的綜合應用 答案 B 解析 拋物線的焦點為F,所以過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y(tǒng)+,代入y2=2px消去x,得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根與系數(shù)的關系得=p=2(y1,y2分別為點A,B的縱坐標),所以拋物線方程為y2=4x,準線方程為x=-1.

25、二、填空題 8.已知O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點,A是拋物線上一點,若·=-4,則點A的坐標是____________. 考點 拋物線的簡單幾何性質 題點 拋物線性質的綜合問題 答案 (1,2)或(1,-2) 解析 ∵拋物線的焦點為F(1,0),設A, 則=,=, 由·=-4,得y0=±2, ∴點A的坐標是(1,2)或(1,-2). 9.(2017·嘉興一中期末)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,O為坐標原點.若|AF|=3,則△AOB的面積為________. 答案  10.已知在拋物線y=x2上存在兩個不同的點M,N關于直線y=kx+

26、對稱,則k的取值范圍為__________________. 考點 直線與拋物線位置關系 題點 直線與拋物線位置關系 答案 ∪ 解析 設M(x1,x),N(x2,x), 兩點關于直線y=kx+對稱,顯然k=0時不成立, ∴=-,即x1+x2=-. 設MN的中點為P(x0,y0), 則x0=-,y0=k×+=4. 又中點P在拋物線y=x2內, ∴4>2,即k2>, ∴k>或k<-. 三、解答題 11.(2017·嘉興一中期末)在平面直角坐標系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A,B兩點. (1)如果直線l過拋物線的焦點,求·的值; (2)如果·=-4,證

27、明直線l必過一定點,并求出該定點. 解 (1)由題意知拋物線焦點坐標為(1,0), 設l:x=ty+1,代入拋物線y2=4x, 消去x,得y2-4ty-4=0,Δ=16t2+16>0, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=4t,y1y2=-4, ∴·=x1x2+y1y2 =(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2 =-4t2+4t2+1-4=-3. (2)設l:x=ty+b,代入拋物線y2=4x, 消去x,得y2-4ty-4b=0,Δ=16t2+16b>0, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1

28、+y2=4t,y1y2=-4b, ∴·=x1x2+y1y2 =(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0, ∴b=2. ∴直線l過定點(2,0). ∴若·=-4,則直線l必過一定點(2,0). 12.已知頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線截直線x-2y-1=0所得的弦長為,求此拋物線的方程. 考點 由拋物線的簡單幾何性質求方程 題點 已知弦長求拋物線的方程 解 設拋物線方程為x2=ay(a≠0). 由方程組消去y, 得2x2-ax

29、+a=0. ∵直線與拋物線有兩個交點, ∴Δ=(-a)2-4×2×a>0,即a<0或a>8. 設兩交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=, ∴|AB|===. ∵|AB|=,∴=, 即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12, ∴所求拋物線的方程為x2=-4y或x2=12y. 13.設拋物線C:y2=4x,F(xiàn)為C的焦點,過F的直線l與C相交于A,B兩點. (1)設l的斜率為2,求|AB|的值; (2)求證:·是一個定值. 考點 直線與拋物線的位置關系 題點 直線與拋物線的綜合問題 (1)解 依題意得F(1,0), ∴直線l的

30、方程為y=2(x-1). 設直線l與拋物線的交點為A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y,整理得x2-3x+1=0, ∴x1+x2=3,x1x2=1. 方法一 |AB|= =×=5. 方法二 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5. (2)證明 設直線l的方程為x=ky+1,直線l與拋物線的交點為A(x1,y1),B(x2,y2). 由消去x,整理得y2-4ky-4=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-4. ∵·=(x1,y1)·(x2,y2) =x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)

31、+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3, ∴·是一個定值. 四、探究與拓展 14.已知直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且與拋物線相交,其中一個交點為(2p,2p),則其焦點弦的長度為________. 考點 拋物線中過焦點的弦長問題 題點 求拋物線的焦點弦長 答案  解析 由題意,知直線l過和(2p,2p), 所以直線l:y=.設另一交點坐標為(x1,y1), 聯(lián)立 整理得8x2-17px+2p2=0. 由根與系數(shù)的關系,得x1+2p=, 所以焦點弦的長度為x1+2p+p=. 15.已知拋物線y2=2x. (1)設點A的坐標為,求拋物線上距離點

32、A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|; (2)設點A的坐標為(a,0),求拋物線上的點到點A的距離的最小值d,并寫出d=f(a)的函數(shù)表達式. 考點 直線與拋物線的位置關系 題點 直線與拋物線的綜合問題 解 (1)設拋物線上任一點P的坐標為(x,y), 則|PA|2=2+y2=2+2x =2+. 因為x≥0,且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大, 所以當x=0時,|PA|min=, 故距離點A最近的點P的坐標為(0,0),最短距離是. (2)同(1)求得|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=[x-(a-1)]2+(2a-1). 當a-1≥0,即a≥1時,|PA|=2a-1, 解得|PA|min=,此時x=a-1; 當a-1<0,即a<1時,|PA|=a2, 解得|PA|min=|a|,此時x=0. 所以d=f(a)= 17

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