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(渝皖瓊)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2

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1、 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能應(yīng)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行,兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個(gè)性質(zhì)定理,證明一些空間線面平行關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題.                     知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面平行的性質(zhì) 思考1 如圖,直線l∥平面α,直線a平面α,直線l與直線a一定平行嗎?為什么? 答案 不一定,因?yàn)檫€可能是異面直線. 思考2 如圖,直線a∥平面α,直線a平面β,平面α∩平面β=直線b,滿足以上條件的平面β有多少個(gè)?直線a,b有什么位置關(guān)系? 答案 無(wú)數(shù)個(gè),a∥b. 梳理 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果一條直線與一

2、個(gè)平面平行,那么過(guò)該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行 符號(hào)語(yǔ)言 a∥α,aβ,α∩β=b?a∥b 圖形語(yǔ)言 知識(shí)點(diǎn)二 平面與平面平行的性質(zhì) 觀察長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的兩個(gè)面:平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1 平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎? 答案 是的. 思考2 若m平面ABCD,n平面A1B1C1D1,則m∥n嗎? 答案 不一定,也可能異面. 思考3 過(guò)BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,B1C1與BC是什么關(guān)系? 答案 平行. 梳理 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與

3、第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行 符號(hào)語(yǔ)言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b 圖形語(yǔ)言 知識(shí)點(diǎn)三 平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 1.若直線l不平行于平面α,則直線l就不平行于平面α內(nèi)的任意一條直線.( × ) 2.若平面α∥平面β,l平面β,m平面α,則l∥m.( × ) 3.夾在兩平行平面的平行線段相等.( √ ) 類型一 線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例1 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AC與BD交于點(diǎn)O,M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH,求證:AP∥GH. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性

4、質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題 證明 連接MO. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴O是AC的中點(diǎn). 又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn),∴AP∥OM. 又∵AP?平面BDM,OM平面BDM, ∴AP∥平面BDM. 又∵AP平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,∴AP∥GH. 引申探究 如圖,在三棱錐P-ABQ中,E,F(xiàn),C,D分別是PA,PB,QB,QA的中點(diǎn),平面PCD∩平面QEF=GH. 求證:AB∥GH. 證明 因?yàn)镈,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn), 所以EF∥AB,DC∥AB. 所以EF∥DC. 又EF?平面PCD,DC

5、平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 又EF平面EFQ, 平面EFQ∩平面PCD=GH, 所以EF∥GH. 又EF∥AB,所以AB∥GH. 反思與感悟 線∥面線∥線.在空間平行關(guān)系中,交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段FE的長(zhǎng)度為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度 答案  解析 ∵EF∥平面AB1C,又平面ADC∩平面AB1C=AC,EF平面ADC,

6、 ∴EF∥AC,∵E是AD的中點(diǎn), ∴EF=AC=×2=. 類型二 面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例2 如圖,平面α∥β,A,C∈α,B,D∈β,直線AB與CD交于點(diǎn)S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS的長(zhǎng). 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)求線段長(zhǎng) 解 設(shè)AB,CD都在平面γ上, 因?yàn)棣谩搔粒紸C,γ∩β=BD,且α∥β, 所以AC∥BD, 所以△SAC∽△SBD, 所以=, 即=, 所以SC=272. 引申探究 若將本例改為:點(diǎn)S在平面α,β之間(如圖),其他條件不變,求CS的長(zhǎng). 解 設(shè)AB,CD共面γ,γ∩α=AC,γ∩β

7、=BD. 因?yàn)棣痢桅?,所以AC與BD無(wú)公共點(diǎn),所以AC∥BD, 所以△ACS∽△BDS,所以=. 設(shè)CS=x,則=,所以x=16, 即CS=16. 反思與感悟 應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟 跟蹤訓(xùn)練2 已知:平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線l,m分別與平面α,β,γ相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F(xiàn),如圖所示,求證:=. 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 證明 如圖,連接DC,設(shè)DC與平面β相交于點(diǎn)G,則平面ACD與平面α,β分別相交于直線AD,BG,平面DCF與平面β,γ分別相交于直線GE,CF. 因?yàn)棣痢桅拢隆桅?,所以BG∥

8、AD,GE∥CF. 于是,得=,=,所以=. 類型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 命題角度1 由面面平行證明線面平行 例3 設(shè)AB,CD為夾在兩個(gè)平行平面α,β之間的線段,且直線AB,CD為異面直線,M,P分別為AB,CD的中點(diǎn).求證:MP∥平面β. 考點(diǎn) 平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 證明 如圖,過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交平面β于點(diǎn)E, 連接DE,BE. ∵AE∥CD,∴AE,CD確定一個(gè)平面,設(shè)為γ, 則α∩γ=AC,β∩γ=DE. 又α∥β,∴AC∥DE, 取AE的中點(diǎn)N,連接NP,MN, ∵M(jìn),P分別為AB,CD的中點(diǎn), ∴NP∥DE,MN

9、∥BE. 又NP?β,DEβ,MN?β,BEβ,∴NP∥β,MN∥β, ∵NP∩MN=N,∴平面MNP∥β. ∵M(jìn)P平面MNP,MP?β,∴MP∥β. 反思與感悟 線線平行、線面平行、面面平行是一個(gè)有機(jī)的整體,平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵,其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示: 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN. 求證:MN∥平面AA1B1B. 考點(diǎn) 平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 證明 如圖,作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P,連接NP, ∵M(jìn)

10、P∥BB1,∴=. ∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN. ∴=,∴NP∥CD∥AB. ∵NP?平面AA1B1B,AB平面AA1B1B, ∴NP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)P∥BB1,MP?平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B, ∴MP∥平面AA1B1B, 又∵M(jìn)P平面MNP,NP平面MNP,MP∩NP=P, ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)N平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B. 命題角度2 探索性問(wèn)題 例4 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點(diǎn)是P,過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面,能否確定截面的形狀?如果能,求

11、出截面的面積. 考點(diǎn)  題點(diǎn)  解 能,如圖,取AB,C1D1的中點(diǎn)M,N,連接A1M,MC,CN,NA1. ∵平面A1C1∥平面AC,平面A1C∩平面A1C1=A1N,平面AC∩平面A1C=MC, ∴A1N∥MC. 同理,A1M∥NC. ∴四邊形A1MCN是平行四邊形. ∵C1N=C1D1=A1B1=A1P,C1N∥A1P, ∴四邊形A1PC1N是平行四邊形, ∴A1N∥PC1且A1N=PC1. 同理,A1M∥BP且A1M=BP. 又∵A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P, ∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故過(guò)點(diǎn)A1與截面PBC1平行的截面是?

12、A1MCN. 連接MN,作A1H⊥MN于點(diǎn)H. 由題意,易得A1M=A1N=,MN=2. ∴MH=NH=,∴A1H=. 故==2××2×=2. 反思與感悟 在將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),注意觀察圖形中是不是性質(zhì)定理中符合條件的平面. 跟蹤訓(xùn)練4 如圖所示,已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),平面PBC∩平面PAD=l. (1)求證:l∥BC; (2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結(jié)論. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題 (1)證明 因?yàn)锽C∥AD,BC?平面PAD, AD平面PAD, 所以BC∥平面PAD.

13、 又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD=l,所以BC∥l. (2)解 平行.證明如下: 如圖,取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE, 可以證得NE∥AM且NE=AM, 所以四邊形MNEA是平行四邊形,所以MN∥AE. 又AE平面PAD,MN?平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 1.如圖所示,在三棱錐S-ABC中,E,F(xiàn)分別是SB,SC上的點(diǎn),且EF∥平面ABC,則(  ) A.EF與BC相交 B.EF∥BC C.EF與BC異面 D.以上均有可能 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)判定位置關(guān)系 答案 B 解析 ∵EF∥平面ABC,而平面SBC∩平面A

14、BC=BC, EF平面SBC,∴EF∥BC. 2.直線a∥平面α,α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn),則這n條直線中與直線a平行的直線有(  ) A.0條 B.1條 C.0條或1條 D.無(wú)數(shù)條 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)判定位置關(guān)系 答案 C 解析 過(guò)直線a與交點(diǎn)作平面β,設(shè)平面β與α交于直線b,則a∥b,若所給n條直線中有1條是與b重合的,則此直線與直線a平行,若沒(méi)有與b重合的,則與直線a平行的直線有0條. 3.給出四種說(shuō)法: ①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,則平面α∥平面γ; ②若平面α∥平面β,直線a與α相交,則a與β相交; ③若平面α∥平面β,

15、P∈α,PQ∥β,則PQα; ④若直線a∥平面β,直線b∥平面α,且α∥β,則a∥b. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________. 考點(diǎn) 平行問(wèn)題的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案 ①②③ 解析?、僬_,因?yàn)槠矫姒僚cγ沒(méi)有公共點(diǎn); ②正確,若直線a與平面β平行或直線aβ,則由平面α∥平面β, 知aα或a與α無(wú)公共點(diǎn), 這與直線a與α相交矛盾,所以a與β相交. ③正確,如圖所示, 過(guò)直線PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b, 由α∥β得a∥b, 因?yàn)镻Q∥β,PQγ.所以PQ∥b, 因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,所以直線a

16、與直線PQ重合,因?yàn)閍α,所以PQα; ④錯(cuò)誤,若直線a∥平面β,直線b∥平面α,且α∥β,則a與b平行、相交和異面都有可能. 4.如圖所示,直線a∥平面α,A?α,并且a和A位于平面α兩側(cè),點(diǎn)B,C∈a,AB,AC分別交平面α于點(diǎn)E,F(xiàn),若BC=4,CF=5,AF=3,則EF=______. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度 答案  解析 由于點(diǎn)A不在直線a上,則直線a和點(diǎn)A確定一個(gè)平面β,所以α∩β=EF. 因?yàn)閍∥平面α,a平面β,所以EF∥a. 所以=. 所以EF===. 5.如圖,AB是圓O的直徑 ,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),P為平

17、面ABC外一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn).記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題 解 直線l∥平面PAC. 證明如下: 因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn), 所以EF∥AC. 又EF?平面ABC,且AC平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l, 所以EF∥l. 因?yàn)閘?平面PAC,EF平面PAC, 所以l∥平面PAC. 1.空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖 2.證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般

18、規(guī)律是:“由已知想性質(zhì),由求證想判定”,是分析和解決問(wèn)題的一般思維方法,而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段. 一、選擇題 1.如圖所示的三棱柱ABC—A1B1C1中,過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于直線DE,則DE與AB的位置關(guān)系是(  ) A.異面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)證明平行問(wèn)題 答案 B 解析 由面面平行的性質(zhì)定理,可得DE∥A1B1,又A1B1∥AB,所以DE∥AB. 2.如圖所示,P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于點(diǎn)A′,B′,C′.

19、若PA′∶AA′=2∶3,則S△A′B′C′∶S△ABC等于(  ) A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 答案 B 解析 ∵平面α∥平面ABC,平面PAB與它們的交線分別為A′B′,AB,∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC,A′C′∥AC,從而易得△A′B′C′∽△ABC,且==, ∴S△A′B′C′∶S△ABC=2=. 3.如圖,在四面體A-BCD中,若截面PQMN是正方形,則在下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是(  ) A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC=BD D.異面直線

20、PM與BD所成的角為45° 考點(diǎn)  題點(diǎn)  答案 C 解析 ∵截面PQMN為正方形,∴PQ∥MN,從而易得PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC=AC,PQ平面ABC,∴PQ∥AC.從而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM,∠PMQ=45°,∴AC⊥BD,且異面直線PM與BD所成的角為45°.故選項(xiàng)A,B,D正確. 4.a(chǎn),b,c為三條不重合的直線,α,β,γ為三個(gè)不重合的平面,給出的下列說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)為(  ) ①?a∥b;②?a∥b;③?α∥β;④?α∥β. A.1 B.2 C.3 D.4 考點(diǎn) 平行的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面

21、面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案 B 解析 只有①④正確. 5.設(shè)α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中點(diǎn),當(dāng)A,B分別在平面α,β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),得到無(wú)數(shù)個(gè)AB的中點(diǎn)C,那么所有的動(dòng)點(diǎn)C(  ) A.不共面 B.當(dāng)且僅當(dāng)A,B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面 C.當(dāng)且僅當(dāng)A,B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面 D.不論A,B如何移動(dòng),都共面 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)判定位置關(guān)系 答案 D 解析 如圖所示,A′,B′分別是A,B兩點(diǎn)在α,β上運(yùn)動(dòng)后的兩點(diǎn),此時(shí)AB中點(diǎn)C變成A′B′的中點(diǎn)C′,連接A′B,取A′B的中點(diǎn)E.連接CE,C′E,AA′,BB′,CC′,則CE

22、∥AA′, 又CE?平面α,AA′平面α,∴CE∥平面α. 又C′E∥BB′,C′E?平面β,BB′平面β, ∴C′E∥平面β. 又∵平面α∥平面β,C′E?平面α, ∴C′E∥平面α. ∵C′E∩CE=E,C′E,CE平面CC′E, ∴平面CC′E∥平面α, ∴CC′∥平面α. ∴不論A,B如何移動(dòng),所有的動(dòng)點(diǎn)C都在過(guò)C點(diǎn)且與平面α,β平行的平面上. 6.設(shè)m,n表示不同的直線,α,β表示不同的平面,則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.若m∥α,m∥n,則n∥α B.若mα,nβ,m∥β,n∥α,則α∥β C.若α∥β,m∥α,m∥n,則n∥β D.若

23、α∥β,m∥α,n∥m,n?β,則n∥β 考點(diǎn) 平行的綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化 答案 D 解析 A選項(xiàng)不正確,n可能在平面α內(nèi),B選項(xiàng)不正確,平面α可能與平面β相交;C選項(xiàng)不正確,n可能在平面β內(nèi);選項(xiàng)D正確. 7.如圖,四棱錐S-ABCD的所有的棱長(zhǎng)都等于2,E是SA的中點(diǎn),過(guò)C,D,E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F,則四邊形DEFC的周長(zhǎng)為(  ) A.2+ B.3+ C.3+2 D.2+2 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度 答案 C 解析 ∵CD∥AB,CD?平面SAB,AB平面SAB, ∴CD∥平面SAB. 又

24、平面CDEF∩平面SAB=EF,∴CD∥EF, 又CD∥AB,∴AB∥EF. ∵SE=EA,∴EF為△ABS的中位線, ∴EF=AB=1,又DE=CF=, ∴四邊形DEFC的周長(zhǎng)為3+2. 8.過(guò)平面α外的直線l,作一組平面與α相交,如果所得的交線為a,b,c,…,則這些交線的位置關(guān)系為(  ) A.都平行 B.都相交且一定交于同一點(diǎn) C.都相交但不一定交于同一點(diǎn) D.都平行或交于同一點(diǎn) 考點(diǎn)  題點(diǎn)  答案 D 解析 ∵l?α,∴l(xiāng)∥α或l與α相交. ①若l∥α,則由線面平行的性質(zhì)定理可知l∥a,l∥b,l∥c,…, ∴a,b,c,…,這些交線都平行. ②若l

25、與α相交,不妨設(shè)l∩α=A,則A∈l,又由題意可知A∈a,A∈b,A∈c,…,∴這些交線交于同一點(diǎn)A. 綜上可知D正確. 二、填空題 9.α,β,γ是三個(gè)兩兩平行的平面,且α與β之間的距離是3,α與γ之間的距離是4,則β與γ之間的距離是________. 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 答案 1或7 解析 β與γ位于α的兩側(cè)時(shí),β與γ間的距離是7;當(dāng)β與γ位于α同側(cè)時(shí),β與γ間的距離是1. 10.如圖所示,ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=,過(guò)P,M,N的平

26、面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=________. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)求線段長(zhǎng)度 答案 a 解析 ∵M(jìn)N∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ, ∴MN∥PQ,易知DP=DQ=, 故PQ==DP=. 11.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn),它們共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí),AE∶EB=________. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 與性質(zhì)有關(guān)的其他問(wèn)題 答案 m∶n 解析 ∵AC∥平面EFGH, ∴EF∥AC,GH∥AC, ∴E

27、F=HG=m· , 同理EH=FG=n· . ∵四邊形EFGH是菱形, ∴m· =n· , ∴AE∶EB=m∶n. 12.已知平面α∥β,P?α且P?β,過(guò)點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于點(diǎn)A,C,過(guò)點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于點(diǎn)B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 平面與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用性質(zhì)求線段長(zhǎng) 答案 或24 解析 如圖①所示,∵AC∩BD=P, ∴經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD. ∵α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD, ∴AB∥CD. ∴=,即=,∴BD=. 如圖②所示,同理可證AB∥CD

28、,∴=, 即=,∴BD=24. 綜上所述,BD的長(zhǎng)為或24. 三、解答題 13.如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,P?平面ABCD,過(guò)BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E,交DP于點(diǎn)F. 求證:四邊形BCFE是梯形. 考點(diǎn) 平行公理 題點(diǎn) 判斷、證明線線平行 證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形, 所以BC∥AD,因?yàn)锳D平面PAD,BC?平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 因?yàn)槠矫鍮CFE∩平面PAD=EF,BC平面BCFE, 所以BC∥EF. 因?yàn)锳D=BC,AD≠EF, 所以BC≠EF, 所以四邊形BCFE是梯形. 四、探究與拓展 14.在空間四

29、邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí),下面結(jié)論正確的是(  ) A.E,F(xiàn),G,H一定是各邊的中點(diǎn) B.G,H一定是CD,DA的中點(diǎn) C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 與性質(zhì)有關(guān)的其他問(wèn)題 答案 D 解析 由于BD∥平面EFGH,所以有BD∥EH,BD∥FG,則AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC. 15.如圖所示,四邊形EFGH為四面體A-BCD的一個(gè)截面,若截面為平行四邊形. (1)求證:AB∥平面EFGH; (2)若AB⊥CD,求證:四邊形EFGH為矩形. 考點(diǎn) 直線與平面平行的性質(zhì) 題點(diǎn) 與性質(zhì)有關(guān)的其他問(wèn)題 證明 (1)∵EFGH為平行四邊形,∴EF∥HG. ∵HG平面ABD,EF?平面ABD, ∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, ∴EF∥AB. 又EF平面EFGH,AB?平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH. (2)由(1)同理可證CD∥EH, ∴∠FEH即是AB與CD所成的角. ∵AB⊥CD,∴∠FEH=90°, ∴平行四邊形EFGH為矩形. 20

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