《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講　函數(shù)與方程 1．函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點． (2)三個等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． 2．函數(shù)零點的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是f(x)＝0的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理． 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關(guān)系

2、 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋ bx＋c(a＞0) 的圖象 與x軸 的交點 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無交點 零點個數(shù) 兩個 一個 零個 [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點．(　　) (4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則

3、函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [教材衍化] 1．(必修1P92A組T5改編)函數(shù)f(x)＝ln x－的零點所在的大致范圍是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C.和(3，4) D．(4，＋∞) 解析：選B.易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故選B. 2．(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是______． 解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝－3<0，f(0)

4、＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點． 答案：1 [易錯糾偏] (1)錯用零點存在性定理； (2)誤解函數(shù)零點的定義； (3)忽略限制條件； (4)錯用二次函數(shù)在R上無零點的條件． 1．函數(shù)f(x)＝x＋的零點個數(shù)是______． 解析：函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，當(dāng)x>0時，f(x)>0，當(dāng)x<0時，f(x)<0，所以函數(shù)沒有零點． 答案：0 2．函數(shù)f(x)＝x2－3x的零點是______． 解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0， 即x＝0和x＝3. 答案：0和3 3．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在區(qū)間(0，4)上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是_

5、_____． 解析：二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝1.若在區(qū)間(0，4)上存在零點，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8

6、e，3) 【解析】　h(x)＝f(x)－g(x)的零點等價于方程f(x)－g(x)＝0的根， 即為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象的交點的橫坐標(biāo)，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅有一個交點A，橫坐標(biāo)的范圍為(0，1)，故選A. 【答案】　A 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3種方法 (1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上． (2)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點． (3)圖象法：通過畫函數(shù)圖

7、象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．　 1．(2020·金華十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝πx＋log2x的零點所在區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.因為f＝＋log2<0， f＝＋log2>0，所以f·f<0，故函數(shù)f(x)＝πx＋log2x的零點所在區(qū)間為. 2．(2020·杭州市嚴州中學(xué)高三模擬)若a

8、(c，＋∞)內(nèi) 解析：選A.因為f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， 所以f(a)＝(a－b)(a－c)， f(b)＝(b－c)(b－a)， f(c)＝(c－a)(c－b)， 因為a0，f(b)<0，f(c)>0， 所以f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)． 　　　　　　函數(shù)零點個數(shù)的問題 (1)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 (2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(3x)，且當(dāng)x∈[1，3)時，f(x)＝ln x，若在

9、區(qū)間[1，9)內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－ax有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)法一：由f(x)＝0得 或解得x＝－2或x＝e. 因此函數(shù)f(x)共有2個零點． 法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點． (2)因為f(x)＝f(3x)?f(x)＝f，當(dāng)x∈[3，9)時，f(x)＝f＝ln，所以f(x)＝而g(x)＝f(x)－ax有三個不同零點?y＝f(x)與y＝ax的圖象有三個不同交點，如圖所示，可得直線y＝ax應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得

10、B　(2)B 判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)． (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．　 1．函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1

11、 C．2 D．3 解析：選C.由題意可知f(x)的定義域為(0，＋∞)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的圖象，如圖所示． 由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2. 2．已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝則函數(shù)g(x)＝4f(x)－1的零點個數(shù)為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：選D.由f(x)為偶函數(shù)可得，只需作出x∈(0，＋∞)上的圖象，再利用對稱性作另一半圖象即可．當(dāng)x∈(0，2]時，可以通過y＝2x的圖象進行變換作出f(x)的圖象，當(dāng)x>2

12、時，f(x)＝f(x－2)，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進而可作出f(x)在(2，4]，(4，6]，…的圖象，如圖所示．g(x)的零點個數(shù)即f(x)＝的根的個數(shù)，也即f(x)的圖象與y＝的圖象的交點個數(shù)，觀察圖象可知，當(dāng)x>0時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得當(dāng)x<0時，也有5個交點，共計10個交點，故選D. 　　　　　　函數(shù)零點的應(yīng)用(高頻考點) 高考對函數(shù)零點的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有： (1)利用函數(shù)零點比較大??； (2)已知函數(shù)的零點(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍； (3)利用函數(shù)零點的性質(zhì)求參數(shù)的范圍． 角度一　利用函數(shù)零點比較大小

13、(2020·臺州模擬)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點為a，函數(shù)g(x)＝ln x＋x－2的零點為b，則下列不等式中成立的是(　　) A．f(a)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函數(shù)f(x)的零點a∈(0，1)； 由題意，知g′(x)＝＋1>0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又g

14、(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函數(shù)g(x)的零點b∈(1，2)． 綜上，可得0

15、__．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________． 【解析】　(1)令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0. 所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1) ＝log2 ＝log2. 因為1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5. 所以≤≤，≤1－≤. 所以log2 ≤log2≤log2 ， 即log2 ≤m≤log2 . 所以m的取值范圍是. (2)若λ＝2，則當(dāng)x≥2時，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時，令x2－4x＋3<0，得1

16、；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因為函數(shù)f(x)恰有2個零點，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知1<λ≤3或λ>4. 【答案】　(1)　(2)(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞) 角度三　利用函數(shù)零點的性質(zhì)求參數(shù)的范圍 已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，若00)，由00

17、，從而即所以a＋2b＝＋2et，而et>1，又y＝2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以2et＋∈(3，＋∞)．故選C. 【答案】　C 已知函數(shù)的零點(或方程根)的情況求 參數(shù)問題常用的三種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍． (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決． (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．　 1．(2019·高考浙江卷)設(shè)a，b∈R，函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－ax－b恰有3個零點，則(　　) A．a(chǎn)<－1，b<0 B．

18、a<－1，b>0 C．a(chǎn)>－1，b<0 D．a(chǎn)>－1，b>0 解析：選C.由題意可得，當(dāng)x≥0時，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，則b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因為對任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3個不同的實數(shù)根，所以要使?jié)M足條件，則當(dāng)x≥0時，b＝x2[2x－3(a＋1)]必須有2個零點，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故選C. 2．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，轉(zhuǎn)化為f(x)－m＝0的根有3

19、個，進而轉(zhuǎn)化為y＝f(x)，y＝m的交點有3個．畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，則直線y＝m與其有3個公共點．又拋物線頂點為(－1，1)，由圖可知實數(shù)m的取值范圍是(0，1)． 答案：(0，1) 3．(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常數(shù)，且a∈R)恰有兩個不同的零點，則a的取值范圍為________． 解析：由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5. 作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的圖象，觀察可以知道，當(dāng)－2

20、(－2，2) [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·浙江省名校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點至少有(　　) A．2個　　　　　　　　　 B．3個 C．4個 D．5個 解析：選B.依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據(jù)零點存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個零點，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零

21、點至少有3個． 2．(2020·溫州十校聯(lián)考(一))設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選B.法一：因為f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因為函數(shù)f(x)＝ln x＋x－2的圖象是連續(xù)的，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1，2)． 法二：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為函數(shù)g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2

22、)． 3．已知函數(shù)f(x)＝－cos x，則f(x)在[0，2π]上的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.作出g(x)＝與h(x)＝cos x的圖象如圖所示，可以看到其在[0，2π]上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0，2π]上的零點個數(shù)為3，故選C. 4．已知函數(shù)f(x)＝－tan x，若實數(shù)x0是函數(shù)y＝f(x)的零點，且0

23、f(x0)＝0.故選B. 5．(2020·蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選C.因為函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝－f(λ－x)?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實數(shù)根，所以Δ＝(

24、－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－.故選C. 6．(2020·寧波市余姚中學(xué)期中檢測)已知函數(shù)f(x)＝－kx2(k∈R)有四個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．k<0 B．k<1 C．01 解析：選D.分別畫出y＝與y＝kx2的圖象如圖所示， 當(dāng)k<0時，y＝kx2的開口向下，此時與y＝只有一個交點，顯然不符合題意； 當(dāng)k＝0時，此時與y＝只有一個交點，顯然不符合題意， 當(dāng)k>0，x≥0時， 令f(x)＝－kx2＝0， 即kx3＋2kx2－x＝0， 即x(kx2＋2kx－1)＝0， 即x＝0或kx2＋2kx－1＝0，

25、 因為Δ＝4k2＋4k>0，且－<0，所以方程有一正根，一負根，所以當(dāng)x>0時，方程有唯一解．即當(dāng)x≥0時，方程有兩個解． 當(dāng)k>0，x<0時，f(x)＝－kx2＝0， 即kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0， 此時必須有兩個解才滿足題意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得k>1， 綜上所述k>1. 7．(2020·金麗衢十二校高三聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，則f(f(e))＝________，函數(shù)y＝f(x)－1的零點為________． 解析：因為f(x)＝， 所以f(e)＝ln e＝1， f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0， 若0

26、n[(x－1)]＝1， 方程無解； 若x>1，f(x)＝1?ln x＝1?x＝e. 答案：0　e 8．已知函數(shù)f(x)＝＋a的零點為1，則實數(shù)a的值為________． 解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－. 答案：－ 9．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(x)－的零點所構(gòu)成的集合為________． 解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以或解得x＝－1或x＝或x＝，故函數(shù)g(x)＝f(x)－的零點所構(gòu)成的集合為. 答案： 10．(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________．

27、 解析：函數(shù)f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2個零點即函數(shù)y＝|x3－4x|與y＝2－ax的圖象有2個不同的交點．作出函數(shù)y＝|x3－4x|的圖象如圖，當(dāng)直線y＝2－ax與曲線y＝－x3＋4x，x∈[0，2]相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，－x＋4x0)，則切線方程為y－(－x＋4x0)＝(－3x＋4)(x－x0)，且經(jīng)過點(0，2)，代入解得x0＝1，此時a＝－1，由函數(shù)圖象的對稱性可得實數(shù)a的取值范圍為a<－1或a>1. 答案：a<－1或a>1 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的零點； (2)若對任意b∈R，函數(shù)f

28、(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 所以函數(shù)f(x)的零點為3和－1. (2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不同實根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即對于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0?a2－a<0，解得0

29、 A．當(dāng)k>0時，有3個零點；當(dāng)k<0時，有4個零點 B．當(dāng)k>0時，有4個零點；當(dāng)k<0時，有3個零點 C．無論k為何值，均有3個零點 D．無論k為何值，均有4個零點 解析：選C.令f[f(kx)＋1]＋1＝0得， 或， 解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝； 由f(kx)＋1＝0得， 或； 即x＝0或kx＝； 由f(kx)＋1＝得， 或； 即ekx＝1＋(無解)或kx＝e－1； 綜上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1； 故無論k為何值，均有3個解，故選C. 2．(2020·寧波市高三教學(xué)評估)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a>0)，則

30、“f<0”是“f(x)與f(f(x))都恰有兩個零點”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.由已知a>0，函數(shù)f(x)開口向上，f(x)有兩個零點，最小值必然小于0，當(dāng)取得最小值時，x＝－，即f<0，令f(x)＝－，則f(f(x))＝f，因為f<0，所以f(f(x))<0，所以f(f(x))必有兩個零點．同理f<0?f<0?x＝－，因為x＝－是對稱軸，a>0，開口向上，f<0，必有兩個零點所以C選項正確． 3．(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)若關(guān)于x的不等式x2＋|x－a|<2至少有一個正數(shù)解，則實數(shù)a的

31、取值范圍是________． 解析：不等式為2－x2>|x－a|，則0<2－x2. 在同一坐標(biāo)系畫出y＝2－x2(y≥0，x≥0)和y＝|x|兩個函數(shù)圖象，將絕對值函數(shù)y＝|x|向左移動，當(dāng)右支經(jīng)過(0，2)點時，a＝－2；將絕對值函數(shù)y＝|x|向右移動讓左支與拋物線y＝2－x2(y≥0，x≥0)相切時， 由，可得x2－x＋a－2＝0， 再由Δ＝0解得a＝. 數(shù)形結(jié)合可得，實數(shù)a的取值范圍是. 答案： 4．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝logx，記函數(shù)h(x)＝則函數(shù)F(x)＝h(x)＋x－5的所有零點的和為________． 解析：由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，函數(shù)F(x)所有零點的和就是函數(shù)y＝h(x)與函數(shù)y＝5－x圖象交點橫坐標(biāo)的和，設(shè)圖象交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，因為兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線y＝x對稱，所以＝5－，所以x1＋x2＝5. 答案：5 14