第2講　空間幾何體的表面積與體積 1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及其側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面 展開圖 側(cè)面 積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝ π(r＋r′)l 2.空間幾何體的表面積與體積公式 　　　　 表面積 體積 柱體 (棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝S底h 錐體 (棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝S底h 臺(tái)體 (棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè) ＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接的常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r； ①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a； ②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2r＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R′＝a. (2)長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. (3)正四面體的棱長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r； ①外接球：球心是正四面體的中心；半徑R＝a； ②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝a. [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．(　　) (2)錐體的體積等于底面積與高之積．(　　) (3)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (4)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差．(　　) (5)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球．(　　) (6)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× [教材衍化] (必修2P27練習(xí)T1改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為________． 解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， 所以r2＝4，所以r＝2. 答案：2 cm [易錯(cuò)糾偏] (1)不能把三視圖正確還原為幾何體而錯(cuò)解表面積或體積； (2)考慮不周忽視分類討論； (3)幾何體的截面性質(zhì)理解有誤； (4)混淆球的表面積公式和體積公式． 1．已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3. 解析：根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長(zhǎng)為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m．故該四棱錐的體積V＝×2×1×3＝2(m3)． 答案：2 2．將一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是________． 解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4π時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積之和是8π；當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8π時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面的面積之和為32π.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2，故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π. 答案：32π2＋8π或32π2＋32π 3．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為________． 解析：因?yàn)檫^直線O1O 2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π×2＝12π. 答案：12π 4．一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為________． 解析：設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個(gè)球的體積為πR3＝π. 答案：π 　　　　　　空間幾何體的表面積 (1)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π　　　　　　　　　 B．18π C．20π D．28π (2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于(　　) A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15 【解析】　(1)由三視圖可得此幾何體為一個(gè)球切割掉后剩下的幾何體，設(shè)球的半徑為r，故×πr3＝π，所以r＝2，表面積S＝×4πr2＋πr2＝17π，選A. (2)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示． 直角梯形斜腰長(zhǎng)為＝，所以底面周長(zhǎng)為4＋，側(cè)面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. 【答案】　(1)A　(2)B 空間幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． (2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積問題注意銜接部分的處理． (3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．　 1．(2020·嘉興期中)若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是(　　) A．4∶3 B．2∶1 C．5∶3 D．3∶2 解析：選A.圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝π×12×＝， 圓錐的底面半徑r＝2π×1×÷2π＝， 圓錐的底面積S底＝π·＝， 圓錐的表面積＝側(cè)面積＋底面積＝， 所以這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比為4∶3. 2．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖為全等的矩形，俯視圖為正方形，則該幾何體的表面積為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體為一長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中挖去一個(gè)四棱錐P­ABCD，如圖所示，易得PA＝PB＝＝，所以S△PAB＝×2×＝， 所以表面積S＝22＋2×3×4＋4×＝28＋4. 答案：28＋4 　　　　　　空間幾何體的體積(高頻考點(diǎn)) 空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)，多與三視圖結(jié)合考查，題型多為選擇題、填空題，難度較小．主要命題角度有： (1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積； (2)求組合體的體積． 角度一　求簡(jiǎn)單幾何體的體積 (1)(2019·高考浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是(　　) A．158 B．162 C．182 D．324 (2)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1­EDF的體積為________． 【解析】　(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直五棱柱，所以其體積V＝×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.故選B. (2)(等積法)三棱錐D1­EDF的體積即為三棱錐F­DD1E的體積． 因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD­A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值，點(diǎn)F到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1­EDF＝VF­DD1E＝××1＝. 【答案】　(1)B　(2) 角度二　求組合體的體積 (分割法)(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 (2)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________． 【解析】　(1)由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐組成的，故該幾何體的體積V＝×π×3＋××2×1×3＝＋1，故選A. (2)由題意知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成，其中長(zhǎng)方體的體積V1＝2×1×1＝2，兩個(gè)圓柱體的體積之和V2＝×π×12×1×2＝，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝2＋. 【答案】　(1)A　(2)2＋ 　 1．(2018·高考浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6.故選C. 2．(2020·寧波十校聯(lián)合模擬)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2. 解析：由已知三視圖得到幾何體是一個(gè)底面直角邊分別為3，4的直角三角形，高為5的三棱柱，割去一個(gè)底面與三棱柱底面相同，高為3的三棱錐，所以該幾何體的體積為V＝×3×4×5－××3×4×3＝24(cm3)； 表面積為S＝×(2＋5)×4＋×(2＋5)×3＋×3×4＋5×5＋×52＝＋(cm2)． 答案：24?。? 　　　　　　球與空間幾何體的接、切問題 (1)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. (2)(2020·溫州七校聯(lián)考)三棱錐P­ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 【解析】　(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－＝，所以，圓柱的體積V＝π×1＝. (2)由題可知，△ABC中AC邊上的高為＝，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設(shè)DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(－x)2，解得x＝，所以R2＝x2＋＝＋1＝(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積S＝4πR2＝π，故選D. 【答案】　(1)B　(2)D (變條件)若本例(2)中的△ABC變?yōu)檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形．求三棱錐外接球的表面積． 解：由題意得，此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PC為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝＝，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π. 處理球的“切”“接”問題的求解策略 (1)“切”的處理 與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作． (2)“接”的處理 把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．　 1．如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　) A.π B. C. D.π 解析：選C.平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓． 因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1， 所以AC＝CD1＝AD1＝， 所以內(nèi)切圓的半徑r＝， 所以S＝πr2＝π×＝π. 2．(2020·麗水模擬)三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：選C.依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為＝3，因此三棱錐P­ABC的高的最大值為5＋3＝8. 核心素養(yǎng)系列15　直觀想象——數(shù)學(xué)文化與三視圖 (2020·金華十校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈；上棱長(zhǎng)2丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈，則該楔體的體積為(　　) A．5 000立方尺　　　　　　 B．5 500立方尺 C．6 000立方尺 D．6 500立方尺 【解析】　該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F­GBCH與三棱柱ADE­GHF的體積之和．又可以將三棱柱ADE­GHF割補(bǔ)成高為EF，底面積為S＝×3×1＝平方丈的一個(gè)直棱柱，故該楔體的體積V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺． 【答案】　A 求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題應(yīng)過的三關(guān) 　 　我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A．4－ B．8－ C．8－π D．8－2π 解析：選C.由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等．根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為23＝8，半圓柱的體積為×(π×12)×2＝π，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8－π，故選C. [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·嘉興期中)某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選C.設(shè)球的半徑為r，則球的體積為 πr3，球的表面積為4πr2. 因?yàn)榍虻捏w積與其表面積的數(shù)值相等， 所以πr3＝4πr2，解得r＝3. 2．(2020·義烏模擬)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．12＋4 B．18＋8 C．28 D．20＋8 解析：選D.由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖． 則該幾何體的表面積為S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8，故選D. 3．(2020·浙江高校招生選考試題)如圖(1)，把棱長(zhǎng)為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如圖(2)所示幾何體，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.把棱長(zhǎng)為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到幾何體的體積： V＝VABCD­A1B1C1D1－VA­A1B1D1－VB­A1B1C1＋VN­A1B1M ＝1×1×1－××1－××1＋××＝. 4．(2020·金華十校聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為(　　) A.π B. C．3π D．3 解析：選A.由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為π＝π，故選A. 5．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(　　) A．48＋π B．48－π C．48＋2π D．48－2π 解析：選A.該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A. 6．(2020·臺(tái)州四校高三聯(lián)考)一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn)，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF­BCE的體積為V2，則＝(　　) A. B. C. D．不是定值，隨點(diǎn)M位置的變化而變化 解析：選B.由三視圖可知多面體ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長(zhǎng)為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長(zhǎng)均為a. 因?yàn)辄c(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn)，且易知AB∥平面DFEC，所以點(diǎn)M到平面DFEC的距離等于點(diǎn)B到平面DFEC的距離，為a，所以V1＝VE­FMC＝VM­EFC＝×a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝，故選B. 7．(2020·寧波市余姚中學(xué)期中檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________ cm3，表面積為________cm2. 解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)半球去掉后得到的幾何體． 所以該幾何體的體積＝×××π×13＝ cm3. 表面積＝××4π×12＋×π×12＋×π×12＝ cm2. 答案：　 8．(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為________，正四棱錐的體積為________． 解析：由正四棱錐的俯視圖，可得到正四棱錐的直觀圖如圖， 則該正四棱錐的正視圖為三角形PEF(點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn))， 因?yàn)檎睦忮F的所有棱長(zhǎng)均為2， 所以PB＝PC＝2，EF＝AB＝2，PF＝， 所以PO＝ ＝＝， 所以該正四棱錐的正視圖的面積為×2×＝； 正四棱錐的體積為×2×2×＝. 答案：　 9．(2020·溫州市高考模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的體積為________，表面積為________． 解析：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，PE⊥平面ABCD，且PE＝2，其中點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF、PA，所以幾何體的體積V＝×2×2×2＝，在△PEB中，PB＝＝，同理可得PC＝， 因?yàn)镻E⊥平面ABCD，所以PE⊥CD， 因?yàn)镃D⊥BC，BC∩PE＝E，所以CD⊥平面PBC，則CD⊥PC， 在△PCD中，PD＝＝＝3， 同理可得PA＝3，則PF⊥AD， 在△PDF中，PF＝＝＝2， 所以此幾何體的表面積S＝2×2＋×2×2＋2××2×＋×2×2＝6＋2＋2. 答案：　6＋2＋2 10．已知球O的表面積為25π，長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于________． 解析：設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝25π，所以R＝，所以球的直徑為2R＝5，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則長(zhǎng)方體的表面積S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50. 答案：50 11.如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，求該多面體的體積． 解：如圖，分別過點(diǎn)A、B作EF的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、H，連接DG、CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，所以S△AGD＝S△BHC＝××1＝， 所以該多面體的體積V＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC ＝××＋××＋×1＝. 12.如圖，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)． (1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米)； (2)若要制作一個(gè)如圖放置的、底面半徑為0.3米的燈籠，請(qǐng)作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時(shí)，不需考慮骨架等因素)． 解：(1)由題意可知矩形的高即圓柱的母線長(zhǎng)為 ＝1.2－2r， 所以塑料片面積S＝πr2＋2πr(1.2－2r) ＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr ＝－3π(r2－0.8r)． 所以當(dāng)r＝0.4米時(shí)，S有最大值，約為1.51平方米． (2)若燈籠底面半徑為0.3米，則高為1.2－2×0.3＝0.6(米)． 制作燈籠的三視圖如圖 [綜合題組練] 1．在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B. C．6π D. 解析：選B.由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R＝，該球的體積最大，Vmax＝πR3＝×＝. 2．(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)如圖，已知在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，PA·AC＝1，∠ABC＝θ，則四棱錐P­ABCD的體積V的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由已知，四邊形ABCD的面積S＝sin θ， 由余弦定理可求得AC＝， 所以PA＝，所以V＝·， 所以V＝·＝·. 所以當(dāng)cos θ＝0，即θ＝時(shí)，四棱錐P­ABCD的體積V的最小值是； 當(dāng)cos θ＝1，即θ＝0時(shí)，四棱錐P­ABCD的體積V的最大值是.因?yàn)?＜θ≤， 所以P­ABCD的體積V的取值范圍是. 3．(2020·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 cm3，則正視圖中的x的值是________cm，該幾何體的表面積是________cm2. 解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖所示，由棱錐的體積公式得，××(1＋2)×x＝?x＝2(cm)，側(cè)面ADS，CDS，ABS為直角三角形，側(cè)面BCS是以BC為底的等腰三角形，所以該幾何體的表面積為S＝[(1＋2)×＋2×2＋×2＋1×＋2×]＝(cm2)． 答案：2　 4．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________． 解析：由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，可得AC＝2，要求四面體PBCD的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積S△BCD和點(diǎn)P到平面BCD的距離h.易知h≤2. 設(shè)AD＝x，則DP＝x，DC＝2－x，S△DBC＝×(2－x)×2×sin 30°＝，其中x∈(0，2)，且h≤x，所以VP­BCD＝×S△BCD×h＝×h≤·x≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)2－x＝x，即x＝時(shí)取等號(hào)．故四面體PBCD的體積的最大值是. 答案： 5．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示． (1)求此幾何體的表面積； (2)如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置，點(diǎn)P為所在線段中點(diǎn)，點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)． 解：(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和． S圓錐側(cè)＝(2πa)·(a)＝πa2， S圓柱側(cè)＝(2πa)·(2a)＝4πa2， S圓柱底＝πa2， 所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2. (2)沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖． 則PQ＝ ＝＝a， 所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為a. 6．已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，求此三棱柱的體積的最大值． 解：如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，則AO1＝×a＝a. 由已知得O1O2⊥底面，在Rt△OAO1中，由勾股定理得OO1＝ ＝， 所以V三棱柱＝a2×2×＝， 令f(a)＝3a4－a6(0＜a＜2)，則f′(a)＝12a3－6a5 ＝－6a3(a2－2)，令f′(a)＝0，解得a＝. 因?yàn)楫?dāng)a∈(0，)時(shí)，f′(a)＞0；當(dāng)a∈(，2)時(shí)，f′(a)＜0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減． 所以f(a)在a＝ 處取得極大值． 因?yàn)楹瘮?shù)f(a)在區(qū)間(0，2)上有唯一的極值點(diǎn)，所以a＝ 也是最大值點(diǎn)．所以(V三棱柱)max＝＝1. 21