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1、高中數(shù)學(xué) 第4章 函數(shù)應(yīng)用測(cè)試題 北師大版必修1
一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.下列圖像與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( )
[答案] A
[解析] 二分法用來求變號(hào)零點(diǎn)的近似值,故選A.
2.方程lgx+x=0的根所在區(qū)間是( )
A.(-∞,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,4)
[答案] B
[解析] 若lgx有意義,∴x>0,故A不正確,
又當(dāng)x>1時(shí),lgx>0,lgx+x>0,C、D不正確,故選B.
3.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示
2、,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 因?yàn)閒(x)與x軸有4個(gè)交點(diǎn),所以共有4個(gè)零點(diǎn).
4.函數(shù)f(x)=x3-2x2+2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案]B
[解析]∵f(x)=x3-2x2+2x=x(x2-2x+2),
若x2-2x+2=0,Δ=4-8<0,
∴x2-2x+2≠0,
∴f(x)的零點(diǎn)只有1個(gè),故選B.
5.夏季高山溫度從山腳起每升高100米,降低0.7攝氏度,已知山頂?shù)臏囟仁?4.1攝氏度,山腳的溫度是26攝氏度,則山的相對(duì)高度為( )
A.1750米 B
3、.1730米
C.1700米 D.1680米
[答案] C
[解析] 設(shè)從山腳起每升高x百米時(shí),溫度為y攝氏度,根據(jù)題意得y=26-0.7x,山頂溫度是14.1攝氏度,代入得14.1=26-0.7x.∴x=17(百米),
∴山的相對(duì)高度是1 700米.
6.用二分法求函數(shù)f(x)=x3+5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
[答案] A
[解析] 二分法求變號(hào)零點(diǎn)時(shí)所取初始區(qū)間[a,b],使f(a)·f(b)<0.
顯然:f(-2)=-3,f(1)=6,
∴f(-2)·f(1)<0.故選A.
7.已知函數(shù)
4、f(x)的圖像是連續(xù)不斷的,x、 f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間為( )
A.區(qū)間[1,2]和[2,3]
B.區(qū)間[2,3]和[3,4]
C.區(qū)間[2,3]和[3,4]和[4,5]
D.區(qū)間[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案] C
[解析] 由圖表可知,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,
f(5)<0.故選C.
8.(xx,湖北文,9)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),
5、f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為( )
A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}
[答案] D
[解析] 令x<0,則-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,
又∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x(x<0),
∴f(x)=.
∴g(x)=.
當(dāng)x≥0時(shí),由x2-4x+3=0,得x=1或x=3.
當(dāng)x<0時(shí),由-x2-4x+3=0,得x=-2-,
∴函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的集合為{-2-,1,3}.
9.
6、某商品零售價(jià)xx年比xx年上漲25%,欲控制xx年比xx年只上漲10%,則xx年應(yīng)比xx年降價(jià)( )
A.15% B.12%
C.10% D.50%
[答案] B
[解析] 1+10%=(1+25%)(1-x%),解得x=12.
10.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-x+a,若f(-t)<0,則f(t+1)的值( )
A.是正數(shù) B.是負(fù)數(shù)
C.是非負(fù)數(shù) D.正負(fù)與t有關(guān)
[答案] B
[解析] 因?yàn)閒(t+1)=(t+1)2-(t+1)+a=t2+t+a,f(-t)=t2+t+a,
又∵f(-t)<0,所以f(t+1)為負(fù)數(shù).
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題
7、(本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上)
11.函數(shù)f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零點(diǎn)為________.
[答案] ±,3,-1
[解析] 令f(x)=0,得x=±,或x=3,或x=-1.
12.關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根大于1,另一根小于1,則a的取值范圍是________.
[答案] a<2
[解析] 設(shè)f(x)=3x2-5x+a.由題意知,f(1)<0,即-2+a<0,∴a<2.
13.用一根長(zhǎng)為12m的細(xì)鐵絲彎折成一個(gè)矩形的鐵框架,則能彎成的框架的最大面積是________.
[答案] 9m2
[解析] 設(shè)框架的一邊
8、長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為(6-x)m.
設(shè)框架面積為ym2,則y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0
9、
[解析] 由已知得,
∴f(x)=,作圖像如圖所示.
由圖像可知f(x)=x的解的個(gè)數(shù)為3.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題,滿分75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.(本小題滿分12分)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出:
(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x3+1.
[解析] (1)因?yàn)閒(x)=-8x2+7x+1
=-(8x+1)(x-1),
令f(x)=0,可解得x=-或x=1,
所以函數(shù)的零點(diǎn)為-和1.
(2)令x2+x+2=0,因?yàn)棣ぃ?2-4×1×2=-7<0,所以方程無實(shí)數(shù)解.
10、
所以f(x)=x2+x+2不存在零點(diǎn).
(3)因?yàn)閒(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令(x+1)(x2-x+1)=0,
解得x=-1.所以函數(shù)的零點(diǎn)為-1.
17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-x+m的零點(diǎn)都在區(qū)間(0,2)內(nèi),求實(shí)數(shù)m的范圍.
[解析] 由題意可得即,
解得0
11、函數(shù),
∴f(x)∈(lg,+∞).故f(x)∈[lg,+∞).
要使方程無實(shí)數(shù)解,則k
12、·ln10.
∴l(xiāng)n(1+x)=×ln10=×2.30=0.161=16.1%.
又由已知條件:ln(1+x)≈x得x≈16.1%.
故每年的平均增長(zhǎng)率約為16.1%.
20.(本小題滿分13分)已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零點(diǎn).
(1)求m的范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn),且其倒數(shù)之和為-4,求m的值.
[解析] (1)當(dāng)m+6=0時(shí),m=-6,
函數(shù)為y=-14x-5顯然有零點(diǎn),
當(dāng)m+6≠0時(shí),m≠-6,
由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)
=-36m-20≥0,得m≤-.
∴當(dāng)m≤-且m≠-6時(shí),二次函數(shù)有零點(diǎn).
13、
綜上,m≤-.
(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),則有
x1+x2=-,x1x2=.
∵+=-4,即=-4,
∴-=-4,解得m=-3.
且當(dāng)m=-3時(shí),m+6≠0,Δ>0符合題意,
∴m的值為-3.
21.(本小題滿分14分)
某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE(如圖所示)上劃出一塊長(zhǎng)方形地面建造一幢公寓,問:如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大?求出最大面積(尺寸單位:m).
[分析] 解答本題可先進(jìn)行分類討論,在各種情況下列出函數(shù)關(guān)系式并求最值,然后比較得到所求解的情況.
[解析] 如圖所示,設(shè)計(jì)長(zhǎng)方形公寓分三種情況:
(1)當(dāng)一頂點(diǎn)在BC上時(shí),只有在B點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形
14、BCDB1面積最大,
∴S1=SBCDB1=5600m2.
(2)當(dāng)一頂點(diǎn)在EA邊上時(shí),只有在A點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形AA1DE的面積最大,
∴S2=SAA1DE=6 000m2.
(3)當(dāng)一頂點(diǎn)在AB邊上時(shí),設(shè)該點(diǎn)為M,則可構(gòu)造長(zhǎng)方形MNDP,并補(bǔ)出長(zhǎng)方形OCDE.
設(shè)MQ=x(0≤x≤20),∴MP=PQ-MQ=80-x.
又OA=20,OB=30,則=,
∴=,∴QB=x,
∴MN=QC=QB+BC=x+70,
∴S3=SMNDP=MN·MP=(70+x)·(80-x)
=-(x-)2+,
當(dāng)x=時(shí),S3=.比較S1,S2,S3,得S3最大,
此時(shí)MQ=m,BM=m,
故當(dāng)長(zhǎng)方形一頂點(diǎn)落在AB邊上離B點(diǎn)m處時(shí)公寓占地面積最大,最大面積為m2.