2、32－22＝5，故C的方程為－＝1，故選B.
3．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線方程為( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝x
解析：選B.依題意，設M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面積為4，所以××p＝4，p＝4，所以拋物線方程為y2＝8x.
4．(xx·南昌模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，上頂點為B，若橢圓C的中心到直線AB的距離為|F1F2|，則橢
3、圓C的離心率e＝( )
A. B.
C. D.
解析：選A.設橢圓C的焦距為2c(c0，b>0)的右焦點為F，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，若△AOF的面積為4，則a的值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：選C.因為e＝＝，所以＝，＝＝，設|AF|＝m，|OA|＝2m，由
4、面積關系得·m·2m＝4，所以m＝2，由勾股定理，得c＝＝2，又＝，所以a＝4，故選C.
6．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( )
A. B．2
C. D.
解析：選D.
不妨取點M在第一象限，如圖所示，設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
所以M點的坐標為(2a，a)．
因為M點在雙曲線上，所以－＝1，a＝b，
所以c＝a，e＝＝.故選D.
7．(xx·高考北京卷)設雙曲線C經(jīng)過點(2，2)，且與－x2＝1具有相同漸近線，則C的
5、方程為________；漸近線方程為________．
解析：設雙曲線C的方程為－x2＝λ，將點(2，2)代入上式，得λ＝－3，所以C的方程為－＝1，其漸近線方程為y＝±2x.
答案：－＝1 y＝±2x
8．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，若以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，則橢圓的標準方程為________．
解析：由以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，得b＝＝.
又離心率為，
所以a2＝3c2＝3(a2－2)，得a＝，
故橢圓的標準方程為＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的
6、頂點都在拋物線上，且滿足＋＋＝0，則＋＋＝________．
解析：設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)，
則＋＋＝(0，0)，
故y1＋y2＋y3＝0.
因為＝
＝＝，
同理可知＝，＝，
所以原式＝＝0.
答案：0
10．(xx·日照二模)已知橢圓＋＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝4px(p>0)有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則橢圓的離心率是________．
解析：依題意，拋物線y2＝4px(p>0)的焦點F(p，0)也是橢圓＋＝1(a>0，b>0)的焦點，所以a2＝b2＋p2.因為點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，橫坐標
7、為p，代入拋物線方程得A(p，2p)或A(p，－2p)，將其代入橢圓方程中得＋＝1，又a2＝b2＋p2，所以＋＝1.而橢圓的離心率e＝，e2＝，所以＋＝＋＝e2＋＝1，得e2＝3±2.又因為橢圓離心率的取值范圍為(0，1)，所以e2＝3－2＝(－1)2，即e＝－1.
答案：－1
11．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點， |AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3
8、，|F1B|＝1.
因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)設|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由橢圓定義可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，
化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0.
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|
9、＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2為等腰直角三角形．
從而c＝a，所以橢圓E的離心率e＝＝.
12．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，其中一個頂點是拋物線x2＝－4y的焦點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若過點P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，求直線l的方程和點M的坐標．
解：(1)設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
由題意得b＝，＝，
解得a＝2，c＝1.
故橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)因為過點P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所
10、以直線l的斜率存在，
故可設直線l的方程為y＝k(x－2)＋1(k≠0)．
由
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①
因為直線l與橢圓C相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.
整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－.
所以直線l的方程為y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.將k＝－代入①式，可以解得M點的橫坐標為1，故切點M的坐標為.
13．(xx·北京西城二模)如圖，橢圓C：x2＋＝1(0
11、求m的值；
(2)若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．
解：(1)依題意，M是線段AP的中點，
因為A(－1，0)，P，
所以點M的坐標為.
由點M在橢圓C上，
所以＋＝1，解得m＝.
(2)設M(x0，y0)，則x＋＝1，①
且－1b>0)的左，右焦點，過F1且斜率為1的直
12、線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．
(1)求E的離心率；
(2)設點P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程．
解：(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
因為2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標滿足方程組
化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝.
因為直線AB的斜率為1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
故a＝，得a2＝2b2，
所以E的離心率e＝＝＝.
(2)設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，
即＝－1，
得c＝3，從而a＝3，b＝3.
故橢圓E的方程為＋＝1.
2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線專題強化精練提能 理
