2.1　圓錐曲線 學習目標：1.通過用平面截圓錐面，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握它的定義．(重點、難點)　2.通過用平面截圓錐面感受、了解雙曲線、拋物線的定義．(難點) [自 主 預 習·探 新 知] 1．用平面截圓錐面得到的圖形 用平面截圓錐面能得到的曲線圖形是兩條相交直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線． 2．圓錐曲線定義 橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線． 3．三種圓錐曲線 設P為相應曲線上任意一點，常數(shù)為2a. 定義(自然語言) 數(shù)學語言 橢圓 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 PF1＋PF2＝2a＞F1F2 雙曲線 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距 |PF1－PF2|＝2a＜F1F2 拋物線 平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線 PF＝d，其中d為點P到l的距離 [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線．(　　) (3)橢圓上的一點與橢圓的兩焦點，一定構(gòu)成一個三角形．(　　) (4)平面內(nèi)到一定點與一定直線距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) 【解析】　(1)×.當常數(shù)大于兩定點間的距離時，動點的軌跡才是橢圓． (2)×.應該是差的絕對值，否則軌跡是雙曲線的一支． (3)×.當橢圓上的點在F1F2的延長線上時，不能構(gòu)成三角形． (4)×.定點不能在定直線上才是拋物線． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．動點P(x，y)，到定點A(0，－2)，B(0,2)的距離之和為6，則點P的軌跡為________. 【導學號：95902065】 【解析】　∵AB＝4，PA＋PB＝6＞4，∴點P的軌跡為橢圓． 【答案】　橢圓 [合 作 探 究·攻 重 難] 橢圓的定義及應用 　(1)在平面直角坐標系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，則△ABC的頂點C的軌跡為________． (2)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切，和圓C2外切，求動圓圓心的軌跡． [思路探究]　根據(jù)橢圓的定義判斷． 【自主解答】　(1)由正弦定理，得＝，又AB＝8，∴BC＋AC＝10＞AB， 由橢圓定義可知，點C的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓． 【答案】　(1)以點A、B為焦點的橢圓(除去與A、B所在同一直線的兩個定點)． (2)如圖所示，設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r. 由題意得動圓M內(nèi)切于圓C1， ∴MC1＝13－r.圓M外切于圓C2， ∴MC2＝3＋r.∴MC1＋MC2＝16>C1C2＝8， ∴動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓． [規(guī)律方法]　已知平面內(nèi)動點P及兩個定點F1，F(xiàn)2： (1)當PF1＋PF2>F1F2時，點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓； (2)當PF1＋PF2＝F1F2時，點P的軌跡是線段F1F2； (3)當PF1＋PF2<F1F2時，點P的軌跡不存在. [跟蹤訓練] 1．已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周長為16，試確定頂點C的軌跡. 【導學號：95902066】 【解】　由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6， 又△ABC的周長為16， 所以CA＋CB＝16－6＝10＞6， 由橢圓的定義可知點C在以A，B為焦點的橢圓上， 又因為A、B、C為三角形的頂點， 所以A、B、C三點不共線，所以點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓(除去與A、B所在同一直線上的兩個點). 拋物線的定義及應用 　(1)已知點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，則點M的軌跡為________． (2)若A是定直線l外的一定點，則過點A且與l相切的圓的圓心的軌跡是________． [思路探究]　(1)把條件轉(zhuǎn)化為M到定點與定直線的距離相等；(2)利用圓心到A的距離與到切線的距離相等． 【自主解答】　(1)由于動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線． (2)圓心與A點的距離等于圓心到直線l的距離，所以圓心的軌跡是拋物線． 【答案】　(1)拋物線　(2)拋物線 [規(guī)律方法]　 1．(1)要首先判斷定點是否在定直線上； (2)要準確判斷準線的位置． 2．已知平面內(nèi)定點F及定直線l，動點P滿足PF＝d(d為點P到直線l的距離)： (1)當定點F不在定直線l上時，動點P的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線； (2)當定點F在定直線l上時，動點P的軌跡是以定點F為垂足且與定直線l垂直的一條直線． [跟蹤訓練] 2．動點P(x，y)滿足＝，則點P的軌跡為________. 【導學號：95902067】 【解析】　的幾何意義是點P(x，y)到定直線3x－4y＋1＝0的距離，的幾何意義是點P(x，y)到定點(2,1)的距離，由＝可知動點P(x，y)滿足到定直線3x－4y＋1＝0的距離與到定點(2,1)的距離相等，且定點不在定直線上，所以點P的軌跡為拋物線． 【答案】　拋物線 雙曲線的定義及應用 [探究問題] 1．雙曲線的定義是什么？ 【提示】　平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2 的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線． 2．如果把雙曲線定義中的動點設為P，常數(shù)設為 2a，你可以用一個數(shù)學式來表示雙曲線的定義嗎？ 【提示】　|PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2) 3．如果把定義中的“絕對值”去掉，變?yōu)閯狱cP滿足PF1－PF2＝2a(2a＜F1F2)，那么點P的軌跡是什么？ 【提示】　動點P的軌跡是雙曲線的一支(靠近焦點F2的一支)． 4．如果把雙曲線定義中的條件“2a＜F1F2”去掉，動點P的軌跡是什么？ 【提示】　如果2a＝F1F2，則動點P的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線； 如果2a＞F1F2，則動點P的軌跡不存在． 　已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡. 【導學號：95902068】 [思路探究]　根據(jù)動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，分別轉(zhuǎn)化為兩圓外切的條件，利用這兩個條件尋找圓心M與兩定點C1、C2距離之間的關(guān)系，并結(jié)合圓錐曲線的定義進行判斷． 【自主解答】　如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1－AC1|＝MA， |MC2－BC2|＝MB，因為MA＝MB， 所以|MC1－AC1|＝|MC2－BC2|，即|MC2－MC1|＝|BC2－AC1|＝2， 所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于C1C2， 又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)． [規(guī)律方法]　 1．本題以圓與圓的位置關(guān)系為載體融點的軌跡求法于其中，求解時可利用圓與圓的位置關(guān)系找出動點的等量關(guān)系(如本例中得到|MC1－AC1|＝MA，|MC2－BC2|＝MB)在此基礎(chǔ)上對等量關(guān)系化簡變形，得出相應動點的軌跡． 2．在解與雙曲線有關(guān)的軌跡問題時，要注意雙曲線定義中的條件“距離的差的絕對值”，判斷所求的軌跡是雙曲線的一支還是兩支． [跟蹤訓練] 3．已知動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且與圓C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡是________． 【解析】　設動圓M的半徑為r.因為動圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切， 所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相減得|MC1－MC2|＝4. 又因為C1(－3,0)，C2(3,0)，并且C1C2＝6>4， 所以點M的軌跡是以C1，C2為焦點的雙曲線的右支． 【答案】　以C1，C2為焦點的雙曲線的右支 [構(gòu)建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．動點P到兩定點A(－1,0)，B(1,0)的距離之和為4，則點P的軌跡為________． 【解析】　因為AB＝2，PA＋PB＝4，所以點P的軌跡為橢圓． 【答案】　橢圓 2．若動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x＋2＝0的距離相等，則點P的軌跡為________. 【導學號：95902069】 【解析】　動點P到定點F和到定直線x＝－2的距離相等，∴P點的軌跡為拋物線． 【答案】　拋物線 3．平面內(nèi)動點P到定點F1(－4,0)的距離比它到定點F2(4，0)的距離大6，則動點P的軌跡方程是________． 【解析】　由|PF1－PF2|＝6<8＝F1F2知，P點軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支． 【答案】　以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的右支 4．已知F1，F(xiàn)2是定點，F(xiàn)1F2＝8，動點M滿足MF1＋MF2＝8，則動點M的軌跡是________． 【解析】　∵MF1＋MF2＝8＝F1F2，∴點M的軌跡是線段F1F2. 【答案】　線段F1F2 5．已知：圓C1：(x＋1)2＋y2＝1，圓C2：(x－1)2＋y2＝25，動圓C與圓C1外切與圓C2內(nèi)切，求動圓圓心C的軌跡. 【導學號：95902070】 【解】　設圓C的半徑為r，由動圓C與圓C1外切，與圓C2內(nèi)切得CC1＝r＋1，CC2＝5－r，所以CC1＋CC2＝(r＋1)＋(5－r)＝6＞C1C2＝2，故C軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓． 6