(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第2課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-1
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1、 第2課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識.3.會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系. 知識點(diǎn)一 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 思考 類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定,你能給出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系的判定嗎? 答案 當(dāng)P在橢圓外時(shí),+>1; 當(dāng)P在橢圓上時(shí),+=1; 當(dāng)P在橢圓內(nèi)時(shí),+<1. 梳理 設(shè)P(x0,y0),橢圓+=1(a>b>0),則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示: 位置關(guān)系 滿足條件 P在橢圓外 +>1 P在橢圓上 +=1 P在橢圓內(nèi) +<1 知識點(diǎn)二 直線與橢圓
2、的位置關(guān)系 思考 類比直線與圓的位置關(guān)系,給出直線與橢圓的位置關(guān)系. 答案 有三種位置關(guān)系:相離、相切和相交. 梳理 判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法 直線y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法: 聯(lián)立消去y,得關(guān)于x的一元二次方程. 當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個不同解,直線與橢圓相交; 當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個相同解,直線與橢圓相切; 當(dāng)Δ<0時(shí),方程無解,直線與橢圓相離. 知識點(diǎn)三 弦長公式 設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0,m為常數(shù))與橢圓+=1(a>b>0)相交,兩個交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦,線段AB的長度叫
3、做弦長.弦長公式:|AB|=·,其中x1+x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到. (1)若直線的斜率一定,則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí),弦長最大.(√) (2)直線-y=1被橢圓+y2=1截得的弦長為.(√) (3)已知橢圓+=1(a>b>0)與點(diǎn)P(b,0),過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線.(×) (4)直線y=k(x-a)與橢圓+=1的位置關(guān)系是相交.(√) 類型一 點(diǎn)、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 命題角度1 點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷 例1 已知點(diǎn)P(k,1),橢圓+=1,點(diǎn)在橢圓外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為____________. 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 點(diǎn)與橢圓的
4、位置關(guān)系 答案 ∪ 解析 由題可知+>1, 解得k<-或k>. 引申探究 若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1,k)”呢? 答案 ∪ 解析 由+>1,解得k2>, 即k<-或k>. 反思與感悟 處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問題時(shí),緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題,注意求解過程與結(jié)果的準(zhǔn)確性. 跟蹤訓(xùn)練1 已知點(diǎn)(3,2)在橢圓+=1(a>b>0)上,則( ) A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上 B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上 C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上 D.以上都不正確 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 答案 C 解析 由已知,得+=1,只有選項(xiàng)C正確
5、. 命題角度2 直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 例2 對不同的實(shí)數(shù)m,討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的位置關(guān)系. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題 解 由消去y, 得5x2+8mx+4m2-4=0, Δ=(8m)2-4×5×(4m2-4)=16×(5-m2). 當(dāng)-<m<時(shí),Δ>0,直線與橢圓相交; 當(dāng)m=-或m=時(shí),Δ=0,直線與橢圓相切; 當(dāng)m<-或m>時(shí),Δ<0,直線與橢圓相離. 反思與感悟 判斷直線與橢圓位置關(guān)系時(shí),準(zhǔn)確計(jì)算出判別式Δ是解題關(guān)鍵. 跟蹤訓(xùn)練2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩
6、個不同的交點(diǎn)P和Q,求k的取值范圍. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題 解 由已知條件知直線l的方程為y=kx+, 代入橢圓方程得+(kx+)2=1, 整理得x2+2kx+1=0, 直線l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>, 所以k的取值范圍為∪. 類型二 弦長問題 例3 已知橢圓4x2+5y2=20的一個焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦長|AB|. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 直線與橢圓相交求弦長與三角形面積 解 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1, a=,b=2,
7、c=1, ∴直線l的方程為y=x+1(不失一般性,設(shè)l過左焦點(diǎn)). 由消去y,得9x2+10x-15=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=-, |AB|=|x1-x2|=· =·=×=. 反思與感悟 求解弦長時(shí),需正確記憶公式內(nèi)容,其次,準(zhǔn)確得到x1+x2和x1x2的值. 跟蹤訓(xùn)練3 橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且橢圓與直線x+2y+8=0相交于P,Q兩點(diǎn),若|PQ|=,求橢圓方程. 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程 解 ∵e=,∴b2=a2, ∴橢圓方程為x2+4y2=a2, 與x+2y+8
8、=0聯(lián)立消去y, 得2x2+16x+64-a2=0, 由Δ>0,得a2>32, 由弦長公式,得10=×[64-2(64-a2)], ∴a2=36,b2=9, ∴橢圓方程為+=1. 類型三 橢圓中的最值(或范圍)問題 例4 已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解 (1)由 消去y,得5x2+2mx+m2-1=0, 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn), 所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤. (
9、2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn), 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0, 所以x1+x2=-,x1x2=(m2-1), 所以|AB|= == ==. 所以當(dāng)m=0時(shí),|AB|最大,此時(shí)直線方程為y=x. 反思與感悟 求最值問題的基本策略 (1)求解形如|PA|+|PB|的最值問題,一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值問題,一般通過二次函數(shù)的最值求解,此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍. (3)求解形如ax+by的最值問題,一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決. (4
10、)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練4 已知動點(diǎn)P(x,y)在橢圓+=1上,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),||=1,且·=0,求||的最小值. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解 由||=1,A(3,0), 知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動, ∵·=0且P在橢圓上運(yùn)動, ∴PM⊥AM,即PM為⊙A的切線,連接PA(如圖),則||= =, ∴當(dāng)||min=a-c=5-3=2時(shí),||min=. 1.若直線l:2x+by+3=0過橢圓C:10x2+y2=10的一個焦點(diǎn),則b的值是( ) A.-1 B.
11、 C.-1或1 D.-或 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓幾何特征求參數(shù) 答案 C 解析 易知橢圓x2+=1的焦點(diǎn)為F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),所以b=1或-1. 2.已知橢圓的方程是x2+2y2-4=0,則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是( ) A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 求橢圓中的直線方程 答案 A 解析 由題意易知所求直線的斜率存在,設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1,即y=kx+1-k. 由消去y, 得(1+2k2)x2+
12、(4k-4k2)x+2k2-4k-2=0, 所以=×=1, 解得k=-, 所以所求直線方程為y=-x+, 即x+2y-3=0. 3.(2017·牌頭中學(xué)期中)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若在直線x=上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓離心率的取值范圍是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 方法一 由題意知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),P, ∵PF1的中垂線過點(diǎn)F2,∴|F1F2|=|F2P|, 即2c=,整理得y2=3c2+2a2-. ∵y2≥0, ∴3c2+2a2-≥0, 即3e2-+2≥0,解
13、得e≥.
又∵0 14、4)=0,
由Δ=0,得a=,
所以橢圓的長軸長為2.
5.橢圓+y2=1被直線x-y+1=0所截得的弦長|AB|=________.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與橢圓相交求弦長與三角形面積
答案
解析 由得交點(diǎn)為(0,1),,
則|AB|==.
解決橢圓中點(diǎn)弦問題的三種方法
(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.
(2)點(diǎn)差法:利用交點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.
(3)共線法:利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,如果弦 15、的中點(diǎn)為P(x0,y0),設(shè)其一交點(diǎn)為A(x,y),則另一交點(diǎn)為B(2x0-x,2y0-y),
則
兩式作差即得所求直線方程.
一、選擇題
1.點(diǎn)A(a,1)在橢圓+=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是( )
A.-<a< B.a(chǎn)<-或a>
C.-2<a<2 D.-1<a<1
考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
答案 A
解析 由題意,得+<1,即a2<2,解得-<a<.
2.已知直線l:x+y-3=0,橢圓+y2=1,則直線與橢圓的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切
C.相離 D.相切或相交
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān) 16、系判定
答案 C
3.(2017·牌頭中學(xué)期中)斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為( )
A.2B.C.D.
答案 C
解析 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,則x1+x2=-t,x1x2=.
∴|AB|=|x1-x2|=·
=×=.
當(dāng)t=0時(shí),|AB|max=.
4.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D. 17、
考點(diǎn) 橢圓的離心率問題
題點(diǎn) 求a,b,c的齊次關(guān)系式得離心率
答案 A
解析 以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,
該圓與直線bx-ay+2ab=0相切,
∴=a,即2b=,
∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴=,∴e==.
5.直線y=x+2與橢圓+=1有兩個公共點(diǎn),則m的取值范圍是( )
A.m>1 B.m>1且m≠3
C.m>3 D.m>0且m≠3
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與橢圓位置關(guān)系的判斷
答案 B
解析 由可得(3+m)x2+4mx+m=0,
∴Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0.
又∵m>0 18、且m≠3,∴m>1且m≠3.
6.已知A,B是橢圓+=1(a>b>0)長軸的兩個端點(diǎn),M,N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2(k1k2≠0),若橢圓的離心率為,則|k1|+|k2|的最小值為( )
A.1B.C.D.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題
答案 A
解析 設(shè)M(x,y),N(x,-y)(-a<x<a),
則k1=,k2=,
又因?yàn)闄E圓的離心率為,
所以==,
|k1|+|k2|=+≥2==1,故選A.
7.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12,直線l與橢 19、圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為M(-2,1),則直線l的斜率為( )
A. B.
C. D.1
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 求橢圓中的直線方程
答案 C
解析 因?yàn)闄E圓+=1的離心率為,
四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12,
所以解得a=2,b=,
所以橢圓的方程為+=1,
因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),
且線段AB的中點(diǎn)為M(-2,1),
所以設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-4,y1+y2=2,
又因?yàn)閮墒较鄿p,
得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,
所以-(x1-x2)+(y1-y2)= 20、0,
所以直線l的斜率為k==,故選C.
二、填空題
8.(2017·牌頭中學(xué)期中)過橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1),且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是__________.
答案 3x+4y-13=0
解析 設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),
由于A,B兩點(diǎn)均在橢圓上,
故+=1,+=1,
兩式相減得
+=0.
又∵P是A,B的中點(diǎn),∴x1+x2=6,y1+y2=2,
∴kAB==-.
∴直線AB的方程為y-1=-(x-3).
即3x+4y-13=0.
9.若直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點(diǎn) 21、個數(shù)為________.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題
答案 2
解析 因?yàn)橹本€mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點(diǎn),
所以>2,所以m2+n2<4,
即點(diǎn)P(m,n)在以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓內(nèi)(不包含邊界),故過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓+=1有兩個交點(diǎn).
10.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與線段AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn).若=6,則k的值為________.
考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 由橢圓幾何特征求參數(shù)
答案 或
解析 依題意得橢圓的方程為+ 22、y2=1,
直線AB,EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0).
如圖,設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),
其中x1 23、答案 [5,21]
三、解答題
12.已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 求橢圓中的直線方程
解 (1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為
+=1(a>2),
其離心率為,故=,解得a=4,
故橢圓C2的方程為+=1.
(2)若將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),
由=2及(1)知,O,A,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx.
將y=kx代入到 24、+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,
所以x=.
將y=kx代入到+=1中,得(4+k2)x2=16,
所以x=.
又由=2,得x=4x,即=,
解得k=±1.故直線AB的方程為x-y=0或x+y=0.
13.已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為+1.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點(diǎn)C(m,0)是線段OF上異于O,F(xiàn)的一個定點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),使得|AC|=|BC|,并說明理由.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題
解 (1)由已知 25、可得
解得∴b=1,
∴橢圓的方程為+y2=1.
(2)由(1)得F(1,0),∴0<m<1.
假設(shè)存在滿足題意的直線l,設(shè)l為y=k(x-1),
代入到+y2=1中,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,①
∴y1+y2=k(x1+x2-2)=-.
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則M.
∵|AC|=|BC|,∴CM⊥AB,即kCMkAB=-1,
∴-2m+·k=0等價(jià)于(1-2m)k2=m,
∴當(dāng)0<m<時(shí),k=± ,
即存在滿足條件的直線l;
當(dāng)≤m<1時(shí),k不存在,即不存在滿足條件的直線l.
26、
四、探究與拓展
14.已知橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,直線l:x=2,點(diǎn)A∈l,線段AF交C于點(diǎn)B,若=3,則||=________.
考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 由橢圓方程研究其他幾何性質(zhì)
答案
解析 設(shè)點(diǎn)A(2,n),B(x0,y0).
由橢圓C:+y2=1,知a2=2,b2=1,
所以c2=1,即c=1,所以右焦點(diǎn)F(1,0),
所以由=3得(1,n)=3(x0-1,y0),
所以1=3(x0-1)且n=3y0,
所以x0=,y0=n.
將x0,y0代入到+y2=1中,
得×2+2=1,
解得n2=1,
所以||===.
15.已知橢圓E 27、:+=1(a>b>0)過點(diǎn)P(2,),且它的離心率為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與圓(x-1)2+y2=1相切的直線l:y=kx+t(k∈R,t∈R)交橢圓E于M,N兩點(diǎn),若橢圓E上一點(diǎn)C滿足+=λ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題
解 (1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),
由已知,得解得
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)因?yàn)橹本€l:y=kx+t與圓(x-1)2+y2=1相切,
所以=1,所以2k=(t≠0).
把y=kx+t代入+=1,并整理得(3+4k2)x2+8ktx+(4t2-24)=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則有x1+x2=-,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=.
因?yàn)棣耍?x1+x2,y1+y2),
所以C,
又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓E上,
所以+=1,
可得λ2==,
因?yàn)閠2>0,所以2++1>1,
所以0<λ2<2,
所以λ的取值范圍為(-,0)∪(0,).
17
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