9、
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)由題意，知雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)．
設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
將點(diǎn)A(4，－5)代入雙曲線方程，得－＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
(2)若焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
所以解得(舍去)．
若焦點(diǎn)在y軸上，
設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
類型三 雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
例3 在相距
10、2000m的兩個(gè)哨所A，B，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲．已知當(dāng)時(shí)的聲速是330m/s，在A哨所聽到爆炸聲的時(shí)間比在B哨所遲4s，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程．
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 設(shè)爆炸點(diǎn)為P，由已知可得|PA|－|PB|＝330×4＝1 320＞0.
因?yàn)閨AB|＝2 000＞1 320，
所以點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近B處的那一支上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
使A，B兩點(diǎn)在x軸上，以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
由2a＝1 320,2c＝2 000，得a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564
11、 400.
因此，點(diǎn)P所在曲線的方程是－＝1(x≥660)．
反思與感悟 可以結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合雙曲線的定義，建立關(guān)系式，然后化簡，求出相應(yīng)的方程．
跟蹤訓(xùn)練3 已知橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有交點(diǎn)P，且有公共的焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝2α，求證：tanα＝.
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
證明 如圖所示，設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
則在△PF1F2中，
對(duì)于雙曲線有|r2－r1|＝2m，
∴cos2α＝
＝＝
＝－＋1，
∴1－cos2α＝，
∴sinα＝.
則在△PF1F2中，對(duì)于橢圓有
12、r1＋r2＝2a，
cos2α＝＝
＝＝－1，
∴1＋cos2α＝，
∴cosα＝，
∴tanα＝.
1．若方程－＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．－1－1
C．m>3 D．m<－1
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 B
解析 依題意應(yīng)有m＋1>0，即m>－1.
2．已知F1(－8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則P點(diǎn)的軌跡是( )
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C．直線 D．一條射線
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 D
解析 F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，
13、且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線．
3．(2018屆浙江東陽中學(xué)期中)△ABC的頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
答案 C
解析 由條件可得，圓與x軸的切點(diǎn)為T(3,0)，由相切的性質(zhì)得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<10＝|AB|，因此點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
由2a＝6,2c＝10，
得a＝3，b＝4，
所求的雙曲線方程為－＝1.考慮到點(diǎn)C不在直
14、線AB上，故選C.
4．經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________．
考點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程
答案?。?
解析 設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
則解得
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
5．橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為________．
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 1
解析 由題意知解得a＝1.
1．雙曲線定義的理解
(1)定義中距離的差要加絕對(duì)值，否則只為雙曲線的一支．設(shè)F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
15、
若|MF1|－|MF2|＝2a，則點(diǎn)M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，則點(diǎn)M在左支上．
(2)雙曲線定義的雙向運(yùn)用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線；
②若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線上，則||MF1|－|MF2||＝2a.
2．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式．
(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．
特別提醒：若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，為簡單起見，常
16、標(biāo)明條件mn<0.
一、選擇題
1．雙曲線2x2－y2＝8的焦距是( )
A．2B．2C．4D．4
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 C
解析 因?yàn)殡p曲線方程可化為－＝1，
所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4.
2．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，若過焦點(diǎn)F1的直線與雙曲線的同一支相交，且所得弦長|AB|＝m，則△ABF2的周長為( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 C
解析 不妨設(shè)|AF2|＞|AF1|，由雙曲線的定義
17、，
知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周長l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故選C.
3．若k∈R，則“k>5”是“方程－＝1表示雙曲線”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 A
解析 當(dāng)k>5時(shí)，方程表示雙曲線；反之，當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，k>5或k<2.故選A.
4．已知雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，則實(shí)數(shù)m的值是( )
18、
A．1B．－1C．－D.
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 B
解析 由焦點(diǎn)坐標(biāo)，知焦點(diǎn)在y軸上，∴m<0，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
5．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則此雙曲線的方程是( )
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
答案 B
解析 由已知條件，得焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝5.①
∵線段P
19、F1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，4)，將其代入雙曲線的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴雙曲線的方程為x2－＝1.
6．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2等于( )
A.B.C.D.
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 C
解析 由雙曲線定義知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
7．已知雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)
20、為F，P是雙曲線C的左支上一點(diǎn)，M(0,2)，則△PFM的周長的最小值為( )
A．2＋4 B．4＋2
C．3 D．2＋3
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 A
解析 依題意可知，c＝2，a＝1，
所以|MF|＝2，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，
F1為左焦點(diǎn)，當(dāng)M，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，
|PM|＋|PF1|最小，最小值為|MF1|，|MF1|＝2，
故周長的最小值為2＋2＋2＝2＋4.
二、填空題
8．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，PQ是過焦點(diǎn)F1的弦，且PQ的傾斜角為60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值為_
21、_______．
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 16
解析 在雙曲線－＝1中，2a＝8，
由雙曲線定義，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，
所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.
9．若曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為________．
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 由雙曲線方程求參數(shù)
答案 (2，＋∞)
解析 由曲線C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，可得－＝1，
即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2.
22、
10．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
答案?。瓂2＝1
解析 由題意可設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.
根據(jù)勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根據(jù)雙曲線定義有|PF1|－|PF2|＝±2a.
兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|＝2，
得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，
從而b2＝5－
23、4＝1，
所以雙曲線方程為－y2＝1.
11．過雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為________．
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 ，
解析 因?yàn)殡p曲線方程為－＝1，
所以c＝＝13.
設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，
則F1(－13,0)，F(xiàn)2(13,0)．
設(shè)過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(－13，y)(y＞0)，則＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝.
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝.
即所求距離分別為，.
三、解答題
12．已知與雙曲線－＝1
24、共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)P，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
考點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 已知雙曲線－＝1，
由c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)．
依題意知b2＝25－a2，
故所求雙曲線方程可寫為－＝1.
∵點(diǎn)P在所求雙曲線上，
∴－＝1，
化簡得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
當(dāng)a2＝時(shí)，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，
不合題意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1.
13．已知雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分
25、別為F1，F(xiàn)2.
(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且·＝0，求M點(diǎn)到x軸的距離；
(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)，求雙曲線C的方程．
考點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)如圖所示，不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，·＝0，
則MF1⊥MF2，
設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由雙曲線定義，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為
－＝1(－4<λ<16)，
由于雙曲線C過點(diǎn)(3，2
26、)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求雙曲線C的方程為－＝1.
四、探究與拓展
14．若雙曲線－y2＝1(n＞1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為( )
A．1B.C．2D．4
考點(diǎn) 雙曲線的定義
題點(diǎn) 雙曲線定義的應(yīng)用
答案 A
解析 設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2，
已知|PF1|＋|PF2|＝2，
解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|PF1|·|PF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以△
27、PF1F2為直角三角形，
且∠F1PF2＝90°，
于是＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1.
故選A.
15．已知△OFQ的面積為2，且·＝m，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)設(shè)＜m＜4，求與的夾角θ的正切值的取值范圍；
(2)設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為其中一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q，如圖所示，||＝c，m＝c2，當(dāng)||取得最小值時(shí)，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
考點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
題點(diǎn) 待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
解 (1)因?yàn)?
所以tan θ＝.
又＜m＜4，
所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范圍為(1,4)．
(2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，
Q(x1，y1)，則＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，則y1＝±.
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝c，
所以||＝＝≥＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)c＝4時(shí)，取等號(hào)，||最小，
這時(shí)Q的坐標(biāo)為(，)或(，－)．
因?yàn)樗?
于是所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
15
（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1
