第2講　集合、復(fù)數(shù)及常用邏輯用語(yǔ) 集　合 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩?UA＝(　　) A．{1，6}　　　　　　　　　 B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} 解析：選C.依題意得?UA＝{1，6，7}，故B∩?UA＝{6，7}．故選C. 2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，1) B．(－2，1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 解析：選A.因?yàn)锳＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故選A. 3．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)已知集合A＝{x|lg(x－2)<1}，集合B＝{x|x2－2x－3<0}，則A∪B＝(　　) A．(2，12) B．(－1，3) C．(－1，12) D．(2，3) 解析：選C.由lg(x－2)<1＝lg 10，得0<x－2<10，所以2<x<12，集合A＝{x|2<x<12}，由x2－2x－3<0得－1<x<3，所以集合B＝{x|－1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<12}，故選C. 4．(2018·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 解析：選A.法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的個(gè)數(shù)為3×3＝9，故選A. 法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A. 5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)≥2 解析：選D.集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B?A，所以a≥2.故選D. 集合運(yùn)算的4個(gè)技巧 (1)先“簡(jiǎn)”后“算”．進(jìn)行集合的基本運(yùn)算之前要先對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要準(zhǔn)確把握元素的性質(zhì)特征，區(qū)分?jǐn)?shù)集與點(diǎn)集等． (2)遵“規(guī)”守“矩”．定義是進(jìn)行集合基本運(yùn)算的依據(jù)，交集的運(yùn)算要抓住“公共元素”，補(bǔ)集的運(yùn)算要關(guān)注“你有我無(wú)”的元素． (3)活“性”減“量”．靈活利用交集與并集以及補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)，特別是摩根定律，即?U(M∩N)＝(?UM)∪(?UN)，?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)等簡(jiǎn)化運(yùn)算，減少運(yùn)算量． (4)借“形”助“數(shù)”．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀(guān)化，一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．　 復(fù)　數(shù) [考法全練] 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝(　　) A．－1－i　　　　　　　　　 B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：選D.z＝＝＝＝1＋i. 2．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝，則復(fù)數(shù)z的虛部為(　　) A．－ B．－i C.i D. 解析：選A.因?yàn)閦＝＝＝－＝－＝－－i，所以虛部為－，故選A. 3．已知復(fù)數(shù)z＝，則·z＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D. 解析：選B.z＝＝－－i，＝－＋i，所以·z＝1，故選B. 4．(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：選C.通解：因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)， 所以z＝x＋yi(x，y∈R)． 因?yàn)閨z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1， 所以x2＋(y－1)2＝1.故選C. 優(yōu)解一：因?yàn)閨z－i|＝1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0，1)的距離為1，所以x2＋(y－1)2＝1.故選C. 優(yōu)解二：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(1，1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝1＋i滿(mǎn)足|z－i|＝1，但點(diǎn)(1，1)不在選項(xiàng)A，D的圓上，所以排除A，D；在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(0，2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝2i滿(mǎn)足|z－i|＝1，但點(diǎn)(0，2)不在選項(xiàng)B的圓上，所以排除B.故選C. 復(fù)數(shù)運(yùn)算中的4個(gè)常見(jiàn)結(jié)論 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N. (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N.　 常用邏輯用語(yǔ) [考法全練] 1．(2019·唐山市摸底考試)命題“?x>0，ln x≥1－”的否定是(　　) A．?x0≤0，ln x0≥1－ B．?x0≤0，ln x0<1－ C．?x0>0，ln x0≥1－ D．?x0>0，ln x0<1－ 解析：選D.若命題為?x∈M，p(x)，則其否定為?x0∈M，綈p(x0)．所以“?x>0，ln x≥1－”的否定是“?x0>0，ln x0<1－”，故選D. 2．下列命題中為真命題的是(　　) A．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題 B．命題“若x>1，則x2>1”的否命題 C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題 D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題 解析：選A.對(duì)于A(yíng)，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因?yàn)閤>|y|＝必有x>y.對(duì)于B，其否命題：若x≤1，則x2≤1，是假命題，如x＝－5，x2＝25>1.對(duì)于C，其否命題：若x≠1，則x2＋x－2≠0，因?yàn)閤＝－2時(shí)，x2＋x－2＝0，所以是假命題．對(duì)于D，若x2>0，則x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A. 3．(2019·高考天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B.由“x2－5x<0”可得“0<x<5”；由“|x－1|<1”可得“0<x<2”．由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．故選B. 4．(2019·高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos x＋bsin x(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件　　　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C.因?yàn)閒(x)＝cos x＋bsin x為偶函數(shù)， 所以對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)， 即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x， 所以2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0. 故f(x)為偶函數(shù)?b＝0.必要性成立． 反過(guò)來(lái)，若b＝0，則f(x)＝cos x是偶函數(shù)．充分性成立． 所以“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件． 故選C. 5．已知命題p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命題q：若a＞b，則a2＞b2.下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧綈q C．綈p∧q D．綈p∧綈q 解析：選B.因?yàn)?x＞0，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以命題p為真命題；當(dāng)b＜a＜0時(shí)，a2＜b2，故命題q為假命題，由真值表可知B正確，故選B. (1)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的等價(jià)關(guān)系 ①p∨q真?p，q至少一個(gè)真?(綈p)∧(綈q)假． ②p∨q假?p，q均假?(綈p)∧(綈q)真． ③p∧q真?p，q均真?(綈p)∨(綈q)假． ④p∧q假?p，q至少一個(gè)假?(綈p)∨(綈q)真． ⑤綈p真?p假；綈p假?p真． (2)充分、必要條件的3種判斷方法 利用定義判斷 直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假 從集合的 角度判斷 若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈A”的必要條件；若A＝B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件 利用等價(jià)轉(zhuǎn) 化法判斷 條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)判斷真假 　 一、選擇題 1．命題“若x2＝1，則x＝1”的逆否命題為(　　) A．若x≠1，則x≠1或x≠－1 B．若x＝1，則x＝1或x＝－1 C．若x≠1，則x≠1且x≠－1 D．若x＝1，則x＝1且x＝－1 解析：選C.命題：“若x2＝1，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2≠1”，即“若x≠1，則x≠1且x≠－1”． 2．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)滿(mǎn)足z＝3＋2i2＋i5，則的值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 解析：選A.z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi?x＝1，y＝1，所以＝.故選A. 3．(一題多解)(2019·唐山市摸底考試)設(shè)z＝，則|z|＝(　　) A. B．2 C. D．1 解析：選D.通解：因?yàn)閦＝＝＝＝＋i，所以|z|＝＝1，故選D. 優(yōu)解：|z|＝||＝＝＝＝1，故選D. 4．(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，則A∩(?UB)＝(　　) A．(－1，0) B．[0，1) C．(0，1) D．(－1，0] 解析：選D.A＝{x|1－x2>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以?UB＝{y|y≤0}，所以A∩(?UB)＝(－1，0]，故選D. 5．(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知p：(2－x)(x＋1)>0；q：0≤x≤1，則p成立是q成立的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.若p成立，則x滿(mǎn)足－1<x<2，則p成立是q成立的必要不充分條件，故選A. 6．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1，－1)，(3，1)，則等于(　　) A．1－2i B．1＋2i C.－i D.－i 解析：選B.因?yàn)閦1＝1－i，z2＝3＋i，所以＝＝1＋2i. 7．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝＋|i|(a∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則a＝(　　) A．－5 B．－ C．－1 D．－ 解析：選B.z＝＋|i|＝＋1＝＋1＋i，因?yàn)椋?＝－，所以a＝－. 8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是(　　) A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2) C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1] 解析：選C.因?yàn)榧螦＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以陰影部分表示的集合為?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故選C. 9．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1＋i)z＝2－i，則z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選A.z＝＝＝－i， 則z＝＋i， 即z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限． 10．已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，則a的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，4] 解析：選C.集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，則a≤－2，即a的取值范圍是(－∞，－2]，故選C. 11．(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知命題p：?x∈R，x－1≥lg x，命題q：?x∈(0，π)，sin x＋>2，則下列判斷正確的是(　　) A．p∨q是假命題 B．p∧q是真命題 C．p∨(綈q)是假命題 D．p∧(綈q)是真命題 解析：選D.對(duì)于命題p，當(dāng)x＝10時(shí)，x－1≥lg x成立，所以命題p是真命題；對(duì)于命題q，當(dāng)x＝時(shí)，sin x＋>2不成立，所以命題q是假命題．根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷，可知p∧(綈q)是真命題，故選D. 12．下列命題是真命題的是(　　) A．?x∈(2，＋∞)，x2>2x B．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要條件 C．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件 D．a(chǎn)⊥b的充要條件是a·b＝0 解析：選C.當(dāng)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}遞減；當(dāng)a1<0，數(shù)列{an}遞增時(shí)，0<q<1.A選項(xiàng)當(dāng)x＝4時(shí)，x2與2x顯然相等．B選項(xiàng)由x2＋5x－6>0得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}?{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分條件，D選項(xiàng)，當(dāng)a＝0或b＝0時(shí)，a·b＝0但不垂直． 二、填空題 13．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)锽＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}， 所以a＝1或a2＋3＝1， 因?yàn)閍∈R， 所以a＝1.經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意． 答案：1 14．若z1＝3－2i，z2＝1＋ai(a∈R)，z1·z2為實(shí)數(shù)，則a等于________． 解析：由z1＝3－2i，z2＝1＋ai(a∈R)， 則z1·z2＝(3－2i)(1＋ai)＝3＋3ai－2i－2ai2 ＝(3＋2a)＋(3a－2)i. 因?yàn)閦1·z2為實(shí)數(shù)，所以3a－2＝0，解得a＝. 答案： 15．命題p：“?x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”，命題q：“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閜∨q為假命題，所以命題p和q都是假命題，命題p是真命題的充要條件是a＝0或?0≤a<3，所以其為假的充要條件是a<0或a≥3，命題q的否定是真命題，即對(duì)?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3，所以－1≤a<0或a＝3. 答案：－1≤a<0或a＝3 16．已知命題：“?x∈[1，2]，x2＋2x＋a<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：原命題等價(jià)于“?x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0”．即“?x∈[1，2]，使a≥－x2－2x”為真命題，設(shè)f(x)＝－x2－2x，x∈[1，2]，f(x)min＝f(2)＝－8.所以a≥－8. 答案：a≥－8 - 9 -