《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第3課時 用空間向量解決空間角與距離問題學(xué)案 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 第3課時 用空間向量解決空間角與距離問題學(xué)案 新人教A版選修2-1（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3課時　用空間向量解決空間角與距離問題 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解直線與平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解決空間角和距離問題.3.體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲． 知識點　空間三種角的向量求法 空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應(yīng)的取值范圍，結(jié)合它們的取值范圍可以用向量法進(jìn)行求解． 角的分類 向量求法 范圍 異面直線所成的角 設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝ 直線與平面所成的角 設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈a，n

2、〉|＝ 二面角 設(shè)二面角α－l－β為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π] (1)直線與平面所成的角α與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角β互余．(×) (2)二面角的大小范圍是.(×) (3)二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角的大?。?×) (4)直線與平面所成角的范圍是.(√) 類型一　求線線角、線面角 例1　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為________． 考點　向量法求直

3、線與直線所成的角 題點　向量法求線線角 答案　 解析　如圖所示，以C為坐標(biāo)原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz. 設(shè)CA＝CB＝CC1＝1，則B(0,1,0)， M，A(1,0,0)， N，故＝，＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. (2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點． ①求證：PB⊥DM； ②求BD與平面ADMN所成的角． 考點　向量法求直線與直線所成的角 題點　向量法求線線角 ①證明　如圖，以A為坐標(biāo)原點

4、，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 設(shè)BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M. ∵·＝(2,0，－2)·＝0， ∴PB⊥DM. ②解　∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0， ∴PB⊥AD. 又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D， ∴PB⊥平面ADMN. 即為平面ADMN的一個法向量． 因此〈，〉的余角即是BD與平面ADMN所成的角． ∵cos〈，〉＝＝＝， 且〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝， ∴BD與平面ADMN所成的角為. 反思與感悟　用向量法解決線線角

5、、線面角問題時，首先需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后求解相應(yīng)的向量表達(dá)式，再借助于空間向量的運算進(jìn)行求解． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AB1與D1E所成角的余弦值為(　　) A. B. C．－ D．－ 考點　向量法求線線角 題點　向量法求線線角 答案　A 解析　∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)， ∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)， ∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2， ∴cos〈，〉＝＝＝， 又異面直線所成角的范圍是， ∴AB1與

6、ED1所成角的余弦值為. (2)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. ①證明：AB⊥A1C； ②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值． 考點　向量法求線面角 題點　向量法求線面角 ①證明　取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B. ∵CA＝CB，∴OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B為等邊三角形， ∴OA1⊥AB. ∵OC∩OA1＝O， ∴AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C. ②解　由①知OC⊥AB，OA1⊥A

7、B. 又平面ABC⊥平面AA1B1B， 交線為AB，OC?平面ABC， ∴OC⊥平面AA1B1B， 故OA，OA1，OC兩兩垂直． 以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OA1，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 設(shè)AB＝2，則A(1,0,0)，A1(0，，0)， C(0,0，)，B(－1,0,0)， 則＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)， ＝(0，－，)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量， 則即 可取n＝(，1，－1)． 故cos〈n，〉＝＝－， ∴A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 類型二　求二面角問題 例2　

8、如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角A－A1D－B的余弦值． 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面角 解　取BC的中點O，連接AO，因為△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 設(shè)

9、平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)， ＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)． 因為n⊥，n⊥， 所以得 所以 令z＝1，得n＝(－，0,1)為平面A1AD的一個法向量． 又因為＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)， ＝(－1,2，)， 所以·＝－2＋2＋0＝0， ·＝－1＋4－3＝0， 所以⊥，⊥， 即AB1⊥BD，AB1⊥BA1， 且BD∩BA1＝B， 所以AB1⊥平面A1BD， 所以是平面A1BD的一個法向量， 所以cos〈n，〉＝＝＝－， 又二面角A－A1D－B為銳二面角， 所以二面角A－A1D－B的余弦值為. 反思與感悟　求角二面角時，可以用方

10、向向量法，也可以采用法向量法求解． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A－PB－C的余弦值． 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面角 解　以C為坐標(biāo)原點，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，取PB的中點D，連接DC，可知DC⊥PB，作AE⊥PB于點E，則向量與的夾角的大小為二面角A－PB－C的大?。? ∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)， D為PB的中點， ∴D. 在Rt△PAB中，由△PAB∽△AEB∽△PEA， 得＝＝， ∴E. ∴＝，＝，

11、∴·＝. 又||＝，||＝1， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴二面角A－PB－C的余弦值為. 1．已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　) A．30°B．60°C．120°D．150° 考點　向量法求線面角 題點　向量法求線面角 答案　A 解析　設(shè)l與α所成的角為θ，則 sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.∴θ＝30°. 2．已知二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量分別為a，b，若〈a，b〉＝，則二面角α－l－β的大小為(　　) A. B. C.或 D.或 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面

12、角 答案　C 解析　由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個半平面α與β的法向量都有兩個方向，因此二面角α－l－β的大小為或，故選C. 3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為(　　) A.B．－C.D．－ 考點　向量法求解直線與平面所成的角 題點　向量法解決直線與平面所成的角 答案　A 解析　取AC的中點E，連接BE， 則BE⊥AC，以B為坐標(biāo)原點，BE，BB1所在直線分別為x軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz， 則A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E， 則＝，＝.

13、∵平面ABC⊥平面AA1C1C， 平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE?平面ABC， ∴BE⊥平面AA1C1C， ∴＝為平面AA1C1C的一個法向量． 設(shè)AD與平面AA1C1C所成角為α， ∵cos〈，〉＝－， ∴sin α＝|cos〈，〉|＝. 4．設(shè)a，b是直線，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a在a上，向量b在b上，a＝(1,1,1)，b＝(－3,4,0)，則α，β所成二面角中較小的一個角的余弦值為________． 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面角 答案　 解析　設(shè)α，β所成二面角中較小的一個角為θ， 由題意得，cosθ＝|cos〈a

14、，b〉|＝＝＝. 5．已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C－AB－D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點，則EM，AN所成角的余弦值為________． 考點　向量法求線線角 題點　向量法求線線角 答案　 解析　過C點作CO⊥平面ABDE，垂足為點O，取AB的中點F，連接CF，OF，則∠CFO為二面角C－AB－D的平面角． 設(shè)AB＝1，則CF＝， ∴OF＝CF·cos∠CFO＝×＝， ∴OC＝，且O為正方形ABDE的中心． 以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則E，M，A，N，

15、 ∴＝，＝， ∴cos〈，〉＝＝， 又異面直線所成角的范圍是， ∴EM，AN所成角的余弦值為. 向量法求角 (1)兩條異面直線所成的角θ可以借助這兩條直線的方向向量的夾角φ求得，即cosθ＝|cosφ|. (2)直線與平面所成的角θ可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角φ求得，即sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ. (3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾角或其補角． 一、選擇題 1．在一個二面角的兩個半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，－1,3)，(2,2,4)，則這個二面角的余弦值為(　　) A.

16、 B.－ C. D.或－ 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面角 答案　D 解析　由＝＝， 知這個二面角的余弦值為或－， 故選D. 2．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 考點　向量法求面面角 題點　向量法求面面角 答案　C 解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.所以兩平面所成二面角為45°或180°－45°＝135°. 3．設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝，則l與α所成的角為(　　)

17、A.B.C.D. 考點　向量法求線面角 題點　向量法求線面角 答案　C 解析　線面角的范圍是. ∵〈a，n〉＝，∴l(xiāng)與法向量所在直線所成角為， ∴l(xiāng)與α所成的角為. 4．若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的余弦值為(　　) A．－B.C．－D. 考點　向量法求線面角 題點　向量法求線面角 答案　D 解析　設(shè)α與l所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝＝＝，故直線l與α所成角的余弦值為＝. 5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為(　　) A.B.

18、C.D. 考點　向量法求線面角 題點　向量法求線面角 答案　C 解析　以D為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)， ∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,1)，＝(0,1，－1)， ＝(－1,0，－1)． ∴·＝1－1＝0，·＝1－1＝0. ∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D.又A1B∩A1D＝A1， 且A1B，A1D?平面A1BD，∴AC1⊥平面A1BD. ∴是平面A1BD的一個法向量． ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴

19、直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為. 6.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若∠B1MN＝90°，則∠PMN的大小(　　) A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不確定 考點　向量法求線線角 題點　向量法求線線角 答案　A 解析　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN， ·＝(＋)· ＝·＋·＝0， ∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°. 7.如圖，S是正三角形ABC所在平面外一點，M，N分別是AB和SC的中點，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，則異面直線SM

20、與BN所成角的余弦值為(　　) A．－ B. C．－ D. 考點　向量法求線線角 題點　向量法求線線角 答案　B 解析　不妨設(shè)SA＝SB＝SC＝1，以S為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Sxyz，則相關(guān)各點坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)， S(0,0,0)， M，N. 因為＝，＝， 所以||＝，||＝，·＝－， cos〈，〉＝＝－， 因為異面直線所成的角為銳角或直角， 所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為. 二、填空題 8．如圖，在長方形ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1

21、與平面BB1D1D所成的角的正弦值為________． 答案　 9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________． 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面角 答案　 解析　如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)正方體的棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)， 所以＝(0,1，－1)，＝. 設(shè)平面A1ED的法向量為n1＝(1，y，z)， 則即所以 所以n1＝(1,2,2)． 平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)

22、， 所以cos〈n1，n2〉＝＝＝， 即所求的銳二面角的余弦值為. 10.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為________． 考點　向量法求線線角 題點　向量法求線線角 答案　 解析　以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則E(0,0,1)， F(1,2,0)，B(2,0,0)， D(0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)， 故cos〈，〉＝＝. 11.如圖，已知矩形AB

23、CD與ABEF全等，D-AB-E為直二面角，M為AB的中點，F(xiàn)M與BD所成的角為θ，且cosθ＝.則AB與BC的邊長之比為________． 答案　∶2 解析　設(shè)AB＝a，BC＝b，以A為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則相關(guān)各點坐標(biāo)為F(b,0,0)，M， B(0，a,0)，D(0,0，b)． ＝，＝(0，－a，b)， 所以||＝，||＝， ·＝－， |cos〈，〉|＝＝， 整理得，4＋5－26＝0， 解得＝2或＝－(舍)．所以＝＝. 三、解答題 12.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE

24、，AB⊥AD，M為EC的中點，AF＝AB＝BC＝FE＝AD. (1)求異面直線BF與DE所成的角的大小； (2)證明：平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角A－CD－E的余弦值． 考點　向量法解決二面角問題 題點　求二面角 (1)解　如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. 設(shè)AB＝1，依題意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M，A(0,0,0)． 則＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)， 于是cos〈，〉＝＝＝. 所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°

25、. (2)證明　由＝，＝(－1,0,1)， ＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0. 因此，CE⊥AM，CE⊥AD. 又AM∩AD＝A，AM?平面AMD，AD?平面AMD， 故CE⊥平面AMD. 又CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE. (3)解　設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，可得u＝(1,1,1)． 又由題設(shè)知，平面ACD的一個法向量為v＝(0,0,1)． 所以，cos〈u，v〉＝＝＝. 因為二面角A－CD－E為銳角，所以其余弦值為. 13.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點

26、． (1)求直線A1C與DE所成角的余弦值； (2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值； (3)求平面B1EDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值． 考點　向量法求面面角 題點　向量法求面面角 解　以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. (1)則A1(0,0，a)，C(a，a,0)， D(0，a,0)，E， ∴＝(a，a，－a)，＝， ∴cos〈，〉＝＝， 故A1C與DE所成角的余弦值為. (2)連接DB1，∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上． 又B1EDF為菱形

27、，∴DB1為∠EDF的平分線， 故直線AD與平面B1EDF所成的角為∠ADB1. 由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)， 得＝(0，－a,0)，＝(a，－a，a)， ∴cos〈，〉＝＝， 又直線與平面所成角的范圍是， 故直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值為. (3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)，E，則＝， ＝， 平面ABCD的一個法向量為m＝＝(0,0，a)． 設(shè)平面B1EDF的一個法向量為n＝(1，y，z)， 由得 ∴n＝(1,2,1)，∴cos〈n，m〉＝＝， ∴平面B1EDF與平面AB

28、CD所成銳二面角的余弦值為. 四、探究與拓展 14．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1和BB1的中點，那么異面直線AM與CN所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 考點　向量法求線線角 題點　向量法求線線角 答案　D 解析　如圖所示，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，M， C(0,1,0)，N， ∴＝，＝， ∴·＝，||＝||＝， ∴cos〈，〉＝＝， 又異面直線所成角的范圍是， ∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為. 15.如圖，在以A，B，C，D

29、，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，平面ABEF為正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E與二面角C－BE－F都是60°. (1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值． 考點　向量法求二面角 題點　向量法求二面角 (1)證明　由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，DF?平面EFDC，F(xiàn)E?平面EFDC，所以AF⊥平面EFDC. 又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)解　過D作DG⊥EF，垂足為G，由(1)知DG⊥平面ABEF. 以G為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐

30、標(biāo)系Gxyz. 由(1)知∠DFE為二面角D－AF－E的平面角， 故∠DFE＝60°，則DF＝2，DG＝， 可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)． 由已知得，AB∥EF，EF?平面EFDC， AB?平面EFDC，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD， 故AB∥CD，CD∥EF. 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC， 所以∠CEF為二面角C－BE－F的平面角， 即∠CEF＝60°，從而可得C(－2,0，)． 連接AC，則＝(1,0，)，＝(0,4,0)， ＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，則 即所以可取n＝(3,0，－)． 設(shè)m是平面ABCD的法向量，則 同理可取m＝(0，，4)． 則cos〈n，m〉＝＝－. 故二面角E－BC－A的余弦值為－. 19